Model najde hodnoty Ts a Ta, které umožní, aby se vyzařovací výkon vycházející z horní části atmosféry rovnal pohlcenému vyzařovacímu výkonu slunečního záření. Při aplikaci na planetu, jako je Země, bude vycházející záření dlouhovlnné a sluneční záření krátkovlnné. Tyto dva proudy záření budou mít odlišné emisní a absorpční charakteristiky. V idealizovaném modelu předpokládáme, že atmosféra je pro sluneční záření zcela průhledná. Planetární albedo αP je podíl příchozího slunečního toku, který se odráží zpět do vesmíru (protože se předpokládá, že atmosféra je pro sluneční záření zcela průhledná, nezáleží na tom, zda si toto albedo představujeme jako způsobené odrazem na povrchu planety nebo na vrcholu atmosféry či směsi). Hustota toku přicházejícího slunečního záření je určena sluneční konstantou S0. Pro aplikaci na planetu Zemi jsou vhodné hodnoty S0=1366 W m-2 a αP=0,30. Při zohlednění skutečnosti, že plocha povrchu koule je 4krát větší než plocha jejího průsečíku (jejího stínu), je průměrná hodnota přicházejícího záření S0/4.
Pro dlouhovlnné záření se předpokládá, že povrch Země má emisivitu 1 (tj. Země je v infračervené oblasti černé těleso, což je reálné). Povrch vyzařuje hustotu zářivého toku F podle Stefanova-Boltzmannova zákona:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}.
kde σ je Stefanova-Boltzmannova konstanta. Klíčem k pochopení skleníkového efektu je Kirchhoffův zákon tepelného záření. Při libovolné vlnové délce se pohltivost atmosféry bude rovnat emisivitě. Záření z povrchu může být v trochu jiné části infračerveného spektra než záření vyzařované atmosférou. Model předpokládá, že průměrná emisivita (pohltivost) je stejná pro oba tyto proudy infračerveného záření, protože interagují s atmosférou. Pro dlouhovlnné záření tedy jeden symbol ε označuje emisivitu i pohltivost atmosféry pro libovolný proud infračerveného záření.
Hustota infračerveného toku z horní části atmosféry:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}.
V posledním členu ε představuje podíl dlouhovlnného záření od povrchu směrem nahoru, který je pohlcen, absorpční schopnost atmosféry. V prvním členu vpravo je ε emisivita atmosféry, úprava Stefanova-Boltzmannova zákona, která zohledňuje skutečnost, že atmosféra není opticky hustá. Při výpočtu hustoty vnějšího zářivého toku tak ε hraje roli úhledného smíšení nebo zprůměrování obou proudů záření.
Nulové čisté záření opouštějící vrchol atmosféry vyžaduje:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alfa _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Nulové čisté záření vstupující na povrch vyžaduje:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alfa _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
Energetickou rovnováhu atmosféry lze buď odvodit z obou výše uvedených rovnovážných podmínek, nebo ji odvodit nezávisle:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Všimněte si důležitého faktoru 2, který vyplývá ze skutečnosti, že atmosféra vyzařuje jak směrem nahoru, tak dolů, takže poměr Ta a Ts je nezávislý na ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \nad 2^{1/4}}={T_{s} \nad 1,189}}.
Takto lze vyjádřit Ta v termínech Ts a získat řešení proTs v termínech vstupních parametrů modelu:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alfa _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}\right)\sigma T_{s}^{4}}.
nebo
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\levice^{1/4}}
Řešení lze také vyjádřit pomocí efektivní emisní teploty Te, což je teplota, která charakterizuje hustotu vycházejícího infračerveného toku F, jako by zářič byl dokonalým zářičem, který se řídí F=σTe4. To si lze v kontextu tohoto modelu snadno představit. Te je také řešením pro Ts pro případ ε=0 neboli bez atmosféry:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}.
S definicí Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}}
Pro dokonalý skleník, kde z povrchu neuniká žádné záření, neboli ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}.
Při použití výše definovaných parametrů vhodných pro Zemi,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Pro ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
Pro ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242,5~\mathrm {K} }
.
Tato hodnota Ts se shodou okolností blíží publikované hodnotě 287,2 K průměrné globální „povrchové teploty“ na základě měření. ε=0,78 znamená, že 22 % povrchového záření uniká přímo do vesmíru, což je v souladu s tvrzením, že při skleníkovém efektu uniká 15 % až 30 %.
Záření pro zdvojnásobení oxidu uhličitého je při jednoduché parametrizaci 3,71 W m-2 . To je také hodnota schválená IPCC. z rovnice pro F {\displaystyle F\uparrow }.
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\right)}
Použití hodnot Ts a Ta pro ε=0,78 umožňuje získat Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 s Δε=,019. Změna ε z 0,78 na 0,80 tedy odpovídá radiačnímu působení zdvojnásobení oxidu uhličitého. Pro ε=0,80, T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Tento model tedy předpovídá globální oteplení ΔTs = 1,2 K pro zdvojnásobení oxidu uhličitého. Typická předpověď GCM je oteplení povrchu o 3 K, a to především proto, že GCM připouští pozitivní zpětnou vazbu, zejména v důsledku zvýšeného množství vodní páry. Jednoduchým náhradním řešením pro zahrnutí tohoto procesu zpětné vazby je předpokládat dodatečné zvýšení Δε =,02, celkem Δε =,04, aby se přiblížil účinek zvýšení vodní páry, které by bylo spojeno se zvýšením teploty. Tento idealizovaný model pak předpovídá globální oteplení ΔTs = 2,4 K pro zdvojnásobení oxidu uhličitého, což zhruba odpovídá IPCC.