Joseph-Louis Lagrange je velikánem v historii matematiky. Významně přispěl k rozvoji fyziky, nebeské mechaniky, matematiky, algebry, teorie čísel a teorie grup. Byl převážně samoukem a nezískal univerzitní vzdělání.
Lagrange byl fascinován maximy a minimy funkcí a byl hlavním zakladatelem variačního počtu.
V dalekosáhlé reformulaci zákonů Isaaca Newtona vytvořil Lagrange brilantní novou vizi mechaniky. Učinil tak pomocí variačního počtu, aby odhalil široké důsledky jediného fyzikálního principu, virtuální práce. Jedním z výsledků byla Lagrangeova funkce, nepostradatelná v pokročilé fyzice, vypočtená odečtením potenciální energie od energie kinetické.
Lagrangeova vize byla založena výhradně na algebře a počtech. Domníval se, že je to matematicky přísnější než intuitivní představy vytvářené geometrií. Soudil, že jeho metody řadí mechaniku do oblasti čisté matematiky.
V nebeské mechanice Lagrange objevil Lagrangeovy body, které si oblíbili jak autoři vědeckofantastické literatury, tak projektanti vesmírných observatoří a stanic.
Lagrange nám dal známý zápis f′(x) pro vyjádření derivace funkce, f′′(x) druhé derivace atd. a skutečně to byl on, kdo nám dal slovo derivace.
Úspěchy a klíčové body
Joseph-Louis Lagrange byl plodný matematik a fyzik samouk. Mezi jeho hlavní úspěchy patří:
Lagrange:
- Navázal na dřívější práci Leonharda Eulera a vytvořil variační počet – nazval jej „variační metoda“.
- Zavedl zápis ∂ a vytvořil první parciální diferenciální rovnice.
- Dal nejobecnější vyjádření principu nejmenší akce své doby.
- Vytvořil zcela nový obor mechaniky, Lagrangeovu mechaniku pro tělesa i tekutiny, založenou na konceptu virtuální práce a využívající Lagrangeovu funkci.
- Zavedl pojem zobecněných souřadnic. Lagrangeovu mechaniku lze použít v libovolné souřadnicové soustavě – problémy se zjednoduší volbou vhodné souřadnicové soustavy.
- Vytvořil pojem potenciálu: například gravitační pole je potenciálním polem.
- Objevil Lagrangeovy dráhy.
- Vyřešil staleté problémy v teorii čísel, které kladl Fermat a nad kterými ostatní matematici vítězili.
- Byl zakladatelem teorie grup.
- Sehrál klíčovou roli při vytváření metrické soustavy měr a vah.
Počátky
Joseph-Louis Lagrange se narodil 25. ledna 1736 v italském městě Turín v Piemontu do zámožné rodiny (jeho kmotři byli šlechtici).
Při narození se jmenoval Giuseppe Lodovico Lagrangia. Obvykle se používá francouzská podoba jeho jména, protože mnoho svých prací napsal ve francouzštině a v druhé části svého života se usadil v Paříži.
Jako dospívající mladík v Itálii si Joseph začal říkat Lagrange. Měl francouzské předky z obou stran rodiny, na což byl zřejmě hrdý, i když se vždy považoval spíše za Piemonťana než za Francouze. Po mnoha letech strávených v Paříži si ponechal silný italský přízvuk.
Josef dostal jméno po svém otci Giuseppe Francescovi Lodovicovi Lagrangia, královském pokladníkovi, který byl zodpovědný za turínské opevnění a infrastrukturu. Josefova matka byla Maria Teresa Grosso, dcera významného lékaře. Josef byl nejstarší z jejich 11 dětí, z nichž pouze dvě přežily dětství.
Vzdělání
V roce 1750, ve věku 14 let, se Josef stal studentem turínské univerzity. Znuděný Euklidovou a Archimédovou geometrií neměl o studium matematiky zájem.
Plánoval jít ve stopách svého otce a studovat práva. Jeho otec se však nerozumnými spekulacemi dostal do finančních potíží.
Josefův zájem o matematiku vzbudila četba článku Edmunda Halleye z minulého století, v němž Halley pomocí algebraických rovnic popisoval optické vlastnosti čoček. Na rozdíl od geometrie ho na Halleyově algebře něco zaujalo.
Odklonil se od práv a začal navštěvovat přednášky z matematiky a fyziky. Ty ho sice bavily, ale teprve nasávání nejmodernějších knih matematiků, jako byli Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin a Jean d’Alembert, ho katapultovalo vpřed téměř zázračným tempem.
Lagrange toho moc nenaspal. Získal celoživotní zvyk udržovat se při dlouhých hodinách práce vzhůru pomocí čaje a kávy.
Lagrangeovo pojetí matematiky
René Descartes a Pierre de Fermat ukázali, že geometrie a algebra jsou zaměnitelné. Tato souvislost byla již dlouho tušena. V jedenáctém století Omar Chajjám napsal:
„Kdo si myslí, že algebra je trik při získávání neznámých, myslel si to zbytečně. Neměli bychom věnovat pozornost tomu, že algebra a geometrie se liší svým vzhledem. Algebry jsou geometrická fakta, která jsou dokázána 5. a 6. větou 2. knihy Eukleidových Elementů.“
Isaac Newton vytvořil svůj slavný systém světa v Principiích opírající se o geometrické představy.
Lagrange stále více nabýval přesvědčení, že další pokrok v mechanice bude brzděn geometrií. Upřednostňoval analýzu – zcela algebraický přístup ke kalkulu.
„Velkými mistry moderní analýzy jsou Lagrange, Laplace a Gauss, kteří byli současníky… Lagrange je dokonalý po formální i věcné stránce, pečlivě vysvětluje svůj postup, a přestože jsou jeho argumenty obecné, lze je snadno sledovat. Laplace naproti tomu nic nevysvětluje… Gauss je stejně přesný a elegantní jako Lagrange, ale ještě obtížnější na sledování než Laplace…“.
Novější matematik
V roce 1754, ve svých 18 letech, publikoval Joseph Lagrange svou první matematickou práci: Lagrange napsal dopis Giulovi Carlovi da Fagnano. V něm popsal svůj objev, že binomický rozvoj a vzorec pro diferenciál součinu mají shodné koeficienty.
Nešlo o nový výsledek, i když si to zpočátku myslel.
Lagrangeův život v souvislostech
Život Josepha Lagrange a život příbuzných matematiků.
Díla Josepha-Louise Lagrangea
Variační kalkul
V srpnu 1755, když mu bylo 19 let, poslal Lagrange největšímu žijícímu matematikovi světa Leonhardu Eulerovi článek. Popsal v něm svou novou metodu hledání maxim a minim funkcí, která byla geniálním skokem vpřed v počtech. V září 1755 Euler odepsal a vyjádřil svůj velký obdiv k Lagrangeově práci.
O několik dní později dostal Lagrange nabídku a přijal místo docenta matematiky na dělostřelecké škole v Turíně – Královské vojenské akademii. Z turínské univerzity odešel bez titulu a začal vyučovat výpočetní & mechaniku. Všichni jeho studenti byli starší než on a on sám nebyl zrovna nejlepším učitelem – byl spíše nesmělý a jeho přednášky byly pro studenty příliš pokročilé.
Následná korespondence mezi Lagrangem a Eulerem vedla ke vzniku nového odvětví matematiky – variačního počtu.
Euler byl natolik ohromen významem Lagrangeovy práce, že navrhl, aby byl mladík z Turína zvolen zahraničním členem Berlínské akademie. Lagrange byl řádně zvolen 2. září 1756 ve věku 20 let.
Lagrange se vždy domníval, že založení variačního počtu je jeho největším dílem. Díky němu se stal ještě jako mladík jedním z největších matematiků osmnáctého století.
Hilbert a variační kalkul
David Hilbert
Ještě v roce 1900, 145 let po Lagrangeově vytvoření variačního kalkulu, patřil tento obor k nejdůležitějším v matematice. Když David Hilbert položil světovým matematikům svých slavných 23 problémů, tři z nich se týkaly variačního kalkulu:
- Problém 19: Jsou řešení regulárních úloh variačního kalkulu vždy nutně analytická? Vyřešili jej Ennio de Giorgi a John F. Nash. Odpověď zní ano.
- Problém 20: Mají všechny variační úlohy s určitými okrajovými podmínkami řešení? To vyvolalo obrovské množství práce, kterou vykonalo velké množství matematiků. Odpověď zní ano.
- Problém 23: Je třeba dále rozvíjet variační kalkul. Jedná se o problém, který, jak Hilbert uznal, nemá jednoznačné řešení. Považoval jej však za natolik zásadní pro budoucnost matematiky, že jej rád učinil svým posledním problémem.
Vize
Lagrange měl velké myšlenky. Ve svých dvaceti letech měl vizi, že sjednotí celou mechaniku pomocí jediného základního principu:
„Odvodím úplnou mechaniku pevných a tekutých těles pomocí principu nejmenšího působení“.
Lagrange nakonec dosáhl svého cíle v 80. letech 19. století a svůj úspěch popsal v Analytické mechanice v roce 1788. Ukázalo se, že jediným jednotícím principem je spíše virtuální práce než nejmenší činnost. Poprvé použil virtuální práci v roce 1763 v článku pojednávajícím o libraci Měsíce.
Založení Turínské akademie věd
Lagrange měl už dost dusného vědeckého přístupu v Turíně. V roce 1757 se dal dohromady s dalšími dvěma bývalými studenty a založil Turínskou soukromou společnost. Cílem společnosti bylo pěstovat vědecký výzkum po vzoru francouzské a berlínské akademie věd.
V roce 1759 začala nová společnost vydávat vlastní časopis ve francouzštině a latině: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
V roce 1783 se společnost s podporou krále stala turínskou Královskou akademií věd.
Přesahující Newtona
Lagrange začal publikovat své práce v časopise své společnosti. V mnoha z nich aplikoval svůj nový variační kalkul na fyzikální svět, aby objevil nové výsledky a vrhl nové světlo na jevy. Jeho práce z tohoto období vyšly ve třech historických svazcích, které obsahují řadu převratných prací, včetně:
- Teorie šíření zvuku, včetně prvního úplného matematického popisu struny kmitající jako příčná vlna. Také první použití diferenciálního počtu v teorii pravděpodobnosti.
- Teorie a zápis variačního počtu, řešení problémů dynamiky a odvození principu nejmenší akce.
- Řešení dalších problémů dynamiky, první použití Lagrangeovy funkce, obecné diferenciální rovnice popisující tři tělesa vzájemně přitahovaná gravitací, integrace diferenciálních rovnic a řešení sto let starého problému, který si Pierre de Fermat položil v teorii čísel.
Slapové uzamykání & Librace Měsíce
V roce 1764 získal Lagrange cenu Francouzské akademie věd za studii popisující, proč vidíme pouze jednu tvář Měsíce a proč pozorujeme libraci. Librace je zdánlivé kývání a houpání Měsíce způsobené orbitálními efekty, které nám umožňuje vidět větší část jeho povrchu, než bychom očekávali. V důsledku librace Měsíce můžeme při jeho pozorování po určitou dobu vidět přibližně 59 % jeho povrchu, nikoliv 50 %, jak bychom původně očekávali.
Lagrangeův oceněný příspěvek byl významný také tím, že poprvé použil princip virtuální práce: později tento princip použil jako základ Lagrangeovy mechaniky.
Jupiterovy měsíce
V roce 1766 získal Lagrange opět cenu Francouzské akademie věd, tentokrát za vysvětlení oběžných drah Jupiterových měsíců.
Berlínská léta: Ve věku 30 let se Lagrange přestěhoval do Berlína, kde nahradil Eulera na pozici ředitele matematického ústavu Pruské akademie věd. Akademie se ho snažila získat už od jeho 19 let, ale on odmítl, protože měl pocit, že by zůstal v Eulerově stínu.
Dvacet let strávených v Berlíně bylo Lagrangeových nejproduktivnějších. Ačkoli někdy musel kvůli špatnému zdraví práci přerušit, když mu zdraví sloužilo, publikoval originální, hodnotné práce tempem zhruba jedna měsíčně. Většinu z nich vydala Berlínská akademie, další vyšly v dalších dvou svazcích Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Parciální diferenciální rovnice
V sedmdesátých a první polovině osmdesátých let 17. století byla Lagrangeova produkce v oblasti diferenciálních rovnic ohromná, což vedlo k vytvoření matematiky parciálních diferenciálních rovnic.
Parciální diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice lze použít k popisu změn v reálném světě. Popisují vztah mezi fyzikální veličinou, například rychlostí, a rychlostí její změny.
Originální diferenciální rovnice popisují jednu měnící se veličinu, například rychlost.
Kresba hustoty pravděpodobnosti pro elektron v elektronovém orbitalu 2p atomu vodíku. Graf je sestaven z řešení Schrödingerovy rovnice – parciální diferenciální rovnice.
Lagrange vytvořil parciální diferenciální rovnice pro popis složitějších situací, ve kterých se mění více než jedna veličina – v matematickém žargonu parciální diferenciální rovnice popisují funkci několika měnících se veličin.
Například Schrödingerova rovnice je známá parciální diferenciální rovnice v kvantové mechanice, jejíž řešení umožňuje odvodit elektronové orbitaly. Tyto orbitaly popisují objem, v němž očekáváme elektron v atomu.
Teorie grup & Symetrie
Langrangeova věta z roku 1771 říká, že řád podgrupy musí vždy přesně dělit řád grupy. Byl to jeden z prvních kroků v teorii grup.
Lagrangeovy body
V roce 1772 se Lagrange vrátil k problému, který ho zaujal – k problému tří těles v gravitaci. Za své pojednání Essai sur le Problème des Trois Corps získal opět cenu Francouzské akademie věd.
Uvažoval o situaci, kdy existují dvě relativně hmotná tělesa, například Země a Slunce, obíhající kolem vzájemného těžiště. Pro tento typ situace vypočítal gravitační potenciál, který shrnul do obrysové mapy níže.
Konturní mapa gravitačního potenciálu pro soustavu Země-Slunce, znázorňující pět Lagrangiových bodů: L1, L2, L3, L4, L5.
Kde jsou obrysové čáry blízko sebe, je gravitační potenciál vysoký. Podobně tam, kde jsou čáry dále od sebe, je gravitační potenciál nižší.
Lagrange určil pět rovnovážných bodů, Lagrangeovy body L1, L2, L3, L4 a L5. Objekty v těchto bodech udržují svou polohu vzhledem ke dvěma větším hmotám. (Euler o několik let dříve v méně důkladné analýze identifikoval body L1, L2 a L3.)
Dnes je v bodě L1 Země-Slunce umístěna družice NASA Solar and Heliospheric Observatory, která umožňuje pozorovat Slunce bez přerušení ze stabilní platformy.
V roce 2020 má být v bodě Země-Slunce L2 umístěn vesmírný dalekohled Jamese Webba, nástupce Hubbleova vesmírného dalekohledu.
Lagrangeova mechanika
Lagrange dokončil své mistrovské dílo, Analytickou mechaniku, v Berlíně na počátku 80. let 17. století. Trvalo několik let, než našel vydavatele.
„Téměř jsem dokončil knihu o analytické mechanice založenou výhradně na principu . Protože však stále ještě netuším, kde a kdy by mohla být vydána, nespěchám s jejím dokončením.“
Lagrange byl hrdý na to, že jeho kniha neobsahuje žádné diagramy: mechaniku považoval za odvětví čisté matematiky – geometrii čtyř rozměrů – tří prostorových, jednoho časového. Věřil, že větší pravdy nalezneme v přísnosti algebry a kalkulu sloučených do analýzy než v tom, co považoval za intuitivní myšlení reprezentované diagramy. Byl hrdý na to, že vyňal mechaniku z oblasti geometrie a pevně ji umístil do oblasti analýzy.
Lagrange vše vypracoval na základě jediného základního principu: virtuální práce. Vycházeje z tohoto principu, na který aplikoval variační kalkul, vytvořil Lagrangeovu funkci v zobecněných souřadnicích, což umožnilo přistoupit k velkému množství problémů mechaniky z nového směru a vyřešit dříve neřešitelné problémy.
Lagrangeova mechanika vedla k hlubšímu pochopení fyzikálního světa. Například více než 150 let poté, co Lagrange napsal Analytickou mechaniku, vedl článek Paula Diraca Lagrangián v kvantové mechanice Richarda Feynmana ke zcela nové formulaci kvantové mechaniky, poté k dráhovým integrálům a nakonec k úplnému řešení kvantové elektrodynamiky, kterou označil za „klenot fyziky“.
Pařížská léta:
V prvních letech pobytu v Paříži Lagrange propadl depresi a nedostatku energie – zjistil, že ho nic nedokáže zaujmout. Z letargie mu pomohly dvě věci: sňatek s mladou sympatickou manželkou v roce 1792 a jmenování předsedou komise pro míry a váhy v roce 1793.
Přežití teroru
V roce 1793 začala ve Francii vláda teroru. Lagrange ji přežil. Pomohlo mu, že byl cizinec. Také byl mírný a vždy se snažil vyhýbat hádkám a politice.
Antoine Lavoisier, dřívější člen komise pro míry a váhy a zakladatel moderní chemie, takové štěstí neměl: v roce 1794 přišel o hlavu. Lagrange byl Lavoisierovým osudem zděšen a poznamenal:
„Stačil okamžik, aby jeho hlava spadla, ale ani sto let by nestačilo k tomu, aby se mu vyrovnala.“
Metrická soustava
Lagrange se důrazně zasazoval o přijetí kilogramu a metru. Ty byly komisí přijaty v roce 1799.
Čcole Polytechnique
V roce 1794 byla v Paříži otevřena Čcole Polytechnique a Lagrange, nyní 58letý, byl jmenován profesorem matematiky. Jeho přednášky si ostatní profesoři vychutnávali. Všem studentům kromě těch nejschopnějších však připadaly příliš obtížné. Byla to podobná situace jako o mnoho let dříve, když jako mladík přednášel v Turíně.
Sophie Germainová, vyloučená z Polytechniky, protože byla žena, získala Lagrangeovy poznámky z přednášek Analýzy a nadchla se jimi: byly to nejlepší poznámky z matematiky, jaké kdy viděla. Lagrange se dozvěděl o Germainově matematickém talentu, navštívil ji a šířil zvěsti o její genialitě.
Rodina a konec
V roce 1767, ve věku 31 let, se Lagrange oženil se svou sestřenicí Vittorií Contiovou. Nechtěl mít děti a oba byli pohodlnými společníky – znali se už nějakou dobu. Ani jeden z nich se netěšil dobrému zdraví a Vittoria byla často nemocná. Zemřela v roce 1783 po 16 letech manželství. Lagrange pro ni hluboce truchlil a propadl depresi.
V Paříži se v roce 1792 čtyřiadvacetiletý Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier věnoval šestapadesátiletému Lagrangeovi. Seznámila se s ním prostřednictvím svého otce, astronoma Pierra Charlese Le Monniera. Renée bylo Lagrange líto – byl to geniální muž, který jako by ztratil chuť do života; působil nezvykle smutně a unaveně. Renée se rozhodla, že se za něj provdá, a pevně stála proti všem námitkám. Oba se vzali a ukázalo se, že to byl pro oba šťastný svazek. Neměli žádné děti.
V roce 1802 se Lagrange stal francouzským občanem.
Lagrange pravidelně navštěvoval římskokatolickou mši, ačkoli jinak se zdá, že o svém náboženství příliš nemluvil.
Joseph-Louis Lagrange zemřel ve věku 77 let 10. dubna 1813 v Paříži. Přežil svou ženu Renée a byl pohřben v Panthéonu, místě posledního odpočinku mnoha významných osobností včetně Voltaira, Victora Huga, Lazare Carnota, Marcellina Berthelota, Paula Langevina a Pierra &Marie Curie.
Když byla v roce 1889 otevřena Eiffelova věž, byl Lagrange jedním ze 72 francouzských vědců, inženýrů a matematiků, jejichž jména byla vyryta na deskách na věži.
„Všechny jeho matematické kompozice se vyznačují neobyčejnou elegancí, symetrií forem a obecností metod, a lze-li tak mluvit, i dokonalostí analytického stylu.“
Autor této stránky: The Doc
© Všechna práva vyhrazena.
Citujte tuto stránku
Prosím, použijte následující citace v souladu s MLA:
Vydal FamousScientists.org
Další literatura
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: Lagrange: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: V překladu a redakci Auguste Boissonnade a Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, duben 2013
.