V poslední době jsem se snažil najít nějaké skvělé filmy týkající se matematiky a našel jsem „Dobrý Will Hunting“. Je to starý film (1997), ale i když jsem o něm hodně slyšel, nikdy jsem se na něj nedíval. Tak jsem si řekl, že je na čase to zkusit. Film vypráví o dvacetiletém dělníkovi Willu Huntingovi, neuznaném géniovi, který se v rámci dohody o odložení trestního stíhání po napadení policisty stane klientem terapeuta a studuje pokročilou matematiku u renomovaného profesora.
Film je neuvěřitelný a líbil se mi. Můžete vidět, jak Will přehodnocuje své vztahy s lidmi kolem sebe a jak se vyrovnává se svou minulostí a rozhoduje o své budoucnosti. Naprosto doporučuji tento film. V tomto příspěvku nechci mluvit o sentimentální části, ale chci se zmínit o zajímavé matematice, která se v něm objevuje.
Problém, o kterém mluvím, je ten, který se objeví na začátku filmu, když profesor zadá svým studentům záludnou úlohu:
Problém není extrémně jednoduchý na pochopení, protože zahrnuje poměrně hodně matematiky na univerzitní úrovni: lineární algebry (elementární teorie matic, mocniny matic, Jordanova normální forma), analýzy (konvergence v normovaných vektorových prostorech, mocninné řady, konvergence mocninných řad), kombinatoriky (generující funkce, počítání, rekurenční vzorce) a teorie grafů (matice přilehlosti, cesty, mocniny matice přilehlosti).
Problematika většinou pochází z matematického oboru zvaného teorie grafů. Jedná se o studium grafů – matematických struktur, které modelují párové vztahy mezi objekty. Graf se v tomto kontextu skládá z vrcholů, uzlů nebo bodů, které jsou spojeny hranami, oblouky nebo přímkami. Můžeme říci, že grafy mohou být neorientované (nerozlišují se 2 vrcholy spojené s každou hranou) a orientované (jeho hrany jsou směrovány z jednoho vrcholu do druhého).
Ukázalo se, že nakonec problémy souvisí s Cayleyho formulí, která říká, že počet označených stromů na n uzlech je nn-2. V této souvislosti je třeba připomenout, že grafy jsou orientované. Dále uvádí 8 různých neoznačených stromů s 10 uzly. Abychom do toho vnesli více světla, je třeba si uvědomit, že strom je neorientovaný graf, v němž jsou libovolné dva vrcholy spojeny právě jednou cestou. Pokud by vás to zajímalo, matematika má v tomto případě také pojem les: disjunktní sjednocení stromů.
Pro matematičtější vysvětlení vám doporučuji přečíst si knihu Matematika při dobré vůli II: Problémy z pohledu studentů. Také Numberphile má skvělý film o tomto problému:
Takže radím, abyste si o tom přečetli více a možná (proč ne?!) začali číst o teorii grafů (klikněte na obrázek pro více informací):
Přeji krásný týden. Najdete mě na Facebooku, Tumblru, Google+, Twitteru a Instagramu. Budu se tam snažit psát co nejčastěji.
Nezapomeňte, že matematika je všude! Užijte si to!“
.