Tentokrát jsem na Den díkůvzdání trávil čas se svým malým bratrancem, který rozdával karty ze standardního balíčku 52 karet. Položil jsem jí otázku:
„Kolikrát můžeš vyložit celý balíček a uvidíš jedinečné pořadí karet – jiné než při každém jiném vyložení balíčku v minulosti?“
Nebo jinak řečeno,
„Kolik je jedinečných vyložení („permutací“) všech 52 karet?“
Pokud jste se zabývali teorií čísel (nebo jste se podívali na název příspěvku), znáte odpověď – 52! (Tzv. faktoriál 52. Stejně nadšený bych však byl i z toho, kdyby odpověď byla 52 – to by bylo velmi zvláštní a zajímavé)
Na internetu jsem hledal způsoby, jak se pokusit toto číslo vyluštit, a dostal jsem varianty stejné odpovědi, které byly pro mého bratrance dost nevysvětlitelné. Místo toho jsem se tedy rozhodl, že se o to pokusím sám.
Představte si, že jste přestali dělat všechno, co jste dělali, a po zbytek svého života, každou vteřinu svého života, ve dne v noci, jste dostali nový, kouzelně zamíchaný list všech 52 karet. Toto kouzlo způsobuje, že nikdy nedostanete karty, které jste už někdy viděli. Chcete vědět, kolik jedinečných rozdání existuje, a máte hlubokou nedůvěru k matematikům – potřebujete to vidět na vlastní oči.
Nejprve máte ruku, která shodou okolností začíná trumfem, pak srdcovým trumfem, pak pikovým trumfem a pak dalšími 49 kartami. „Hmm, zajímavé!“ Říkáš si… sám pro sebe, protože asi nemáš moc přátel, když je tohle tvůj koníček.
Další vteřinu máš ruku, která začíná srdcovým esem, pak má dalších 51 karet.
Pokračuješ dál a další týden už tě to docela nudí. Kdy už budu hotový? To úterý uvidíte rozdání, ve kterém je srdcový kluk, pak křížový kluk, pak pikový kluk a všechny ostatní karty jsou na úplně stejné pozici, jakou jste získali v prvním rozdání.
„Páni, to je super zajímavé a super blízké prvnímu rozdání, ale přesto je to nové rozdání!“
„Páni, to je super zajímavé a super blízké prvnímu rozdání. Vykřikneš do místnosti plné prázdných krabic od pizzy a v tuto chvíli i imaginárních přátel, protože jsi už týden nespal.
Uvědomíš si, že budeš potřebovat pomoc, abys v tom mohl pokračovat. A tak se ti podaří přesvědčit všechny ostatní lidi na světě, všech 7 miliard, aby to dělali s tebou, každou vteřinu každého dne. Musíš na to přijít! Z nějakého důvodu se ti nedaří přesvědčit matematiky, aby na tvém projektu pracovali, ale zase jsi jim stejně nikdy moc nefandil.
Stále se věci nevyvíjejí dostatečně rychle. Rozhodneš se vynalézt stroj času a Fontánu mládí a všichni se vrátí na počátek vesmíru a začnou znovu se všemi 7 miliardami lidí, kteří budou rozdávat karty, celý den, každý den, jednou za sekundu na osobu. Myslíte si, že to určitě bude fungovat, a pak uvidíte dinosaury! Mezi dneškem a počátkem vesmíru je spousta vteřin – zeptali jste se nějakého astronoma a ten vám řekl, že od té doby uplynulo 4×10^27 vteřin, neboli 4 následované 17 nulami. Matematici jdou s vámi, ale stále vám odmítají pomáhat rozdávat karty. Prý jsou tu jen proto, aby viděli dinosaury. Jeden z nich vykřikne: „Hodně štěstí s vaším malým projektem!“ a všichni se chichotají.
To tě trochu zneklidní, ale nemáš na jejich dovádění čas a rychle na ně zapomeneš, když se vrátíš k rozdávání karet.
Dojde k velkému třesku a vesmír se rozšíří. Vznikají galaxie, vznikají první hvězdy, které vybuchují a osazují vesmír železem a dalšími těžkými prvky. Vzniká sluneční soustava a stále pomaleji i planety. Země se ochladí, vznikne oceán a zažehne se život. Po celou tu dobu 7 miliard lidí každý den, celý den, každou sekundu rozdává jedinečné karty. Dinosauři se potulují po Zemi a pak jsou vyhubeni. Před mnoha eony ses stal nejnenáviděnější osobou na světě, protože jsi vytvořil tento projekt a přesvědčil všechny, aby se k němu připojili. Čas stále plyne a lidé rozdávají karty, dokud nedojdeme zpět k dnešnímu datu.
Pohlédneš zpět na všechen pokrok, kterého jsi dosáhl. Páni! Podařilo se nám udělat 3×10^27 kombinací, to je úžasné! To je trojka následovaná 27 nulami. Tolik různých kombinací balíčku, všechny jedinečné.
„Musíme být blízko!“, říkáš sebevědomě nejbližším vyčerpaným lidem, kteří obracejí karty. Podívají se na tebe s čistou nenávistí v očích. Přeješ si, aby ses možná v první řadě zkusil zeptat nějakého matematika, který by zjistil, jestli je vůbec možné najít všechny jedinečné nabídky (matematici jim říkají „permutace“).
Nejchytřejší a nejlaskavější matematik ti poklepe na rameno. Požádal jsi ji, aby zmapovala tvůj postup při shromažďování všech různých možností, protože se nezdálo, že by se chichotala tak silně jako ostatní, když šla kolem a viděla tě rozdávat karty. Podává ti tabulku.
„Co to má být, nějaký zvrácený vtip?“ „Ne. Dožaduješ se rozzuřeně, protože ti podala tabulku s ukazatelem průběhu, který je prázdný.
„Musíme znovu cestovat časem na počátek vesmíru… potřebuješ víc času, abys to dokončil…“ Opatrně navrhuje.
„Dobře, tak dobře. Kolikrát ještě?“
„10^40krát…“ Odpovíš mu, stále rozzuřený. Nastane pauza, kdy na ni nechápavě zíráš.
„Nech mě říct to číslo,“ řekne, „myslím, že tě ten vědecký zápis moc nezasáhl… Je to:
„Prostě to napiš,“ přerušíš ji a pod nosem si mumláš, že jsi stejně nikdy neměl rád matematiky.
Napíše to na kus papíru a vysvětluje:
„Budeš muset pokračovat v tomto experimentu se všemi sedmi miliardami lidí a opakovaně se vracet na počátek vesmíru, abys získal další vteřiny na rozdání karet.“
„Budeš muset cestovat v čase tolikrát,“ opakuje sebejistě, ale v hlase jí zaznívá lítost. Ta se usměje.
„Víš, mohl ses nás matematiků zeptat hned na začátku. Počet kombinací je 52!, což je prostě 52*51*50…*3*2*1. Vždyť je to jenom jedna kombinace. To se rovná asi 8×10^67, neboli 8 s 67 nulami za sebou.“
Přikývneš a uleví se ti, že znáš odpověď. Pak se podíváš nahoru. Vidíš 7 miliard lidí, kteří právě zanechali své práce a divně se na tebe dívají. Jejich pohled se ti nelíbí. Když se začnou zvedat a pohybovat se směrem k tobě, rozběhneš se ke svému stroji času a nastavíš ho tak, aby do jurského období přenesl pouze tebe.
„Měl jsem věřit matematikům ….. !“ Tvůj hlas zaniká, když začínáš cestovat časem. Stále si nejsi jistý, jestli rozumíš tomu, jak fungují velká čísla nebo pravděpodobnost, ale myslíš si, že je moudré riskovat raději s těmi strašnými ještěry.
V pozadí se matematici opět začnou chichotat.
Čísla:
- Věk vesmíru = 4×10^17
- 7 000 000 000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 miliard / stáří vesmíru v sekundách = 3×10^40