Bisection

3.2 Qualitative Approximation mit oberen und unteren Maßen und transitiver Ununterscheidbarkeit

Die psychologische Betrachtung von Schwellenwerten, für die Wahrnehmungs- oder andere vergleichende Urteile schwierig, wenn nicht unmöglich sind, wurde von Fechner initiiert. Eine wichtige frühe mathematische Analyse wurde von Wiener gegeben. Ein großer Teil der modernen Literatur beginnt mit Luce’S Definition einer Halbordnung, die im endlichen Fall von Scott und Suppes als eine einzige binäre Beziehung axiomatisiert wurde. Einige der wichtigsten Beiträge wurden von Falmagne.

Die probabilistische Analyse von Schwellenwerten stammt mindestens aus Arbeiten von Thurstone. Falmagne hat ebenfalls einen zentralen Beitrag zu diesem Ansatz geleistet und zusammen mit Kollegen eine Reihe weiterer Arbeiten verfasst: Falmagne und Iverson, Falmagne et al. und Iverson und Falmagne. Eine ausführliche Übersicht über die gesamte Literatur findet sich in Suppes et al.

Fast alle genannten Arbeiten gehen davon aus, dass die Ununterscheidbarkeit ähnlicher Ereignisse, Objekte oder Reize eine nicht-übertragbare Beziehung ist. Die implizite Annahme ist, dass bei vielen verschiedenen diskriminierenden Beobachtungen viele zunächst ununterscheidbare Ereignisse getrennt werden können. Hier ist das Gegenteil der Ausgangspunkt und der Grund für die Verwendung des Wortes „transitiv“ im Titel. Es ist eine Folge der eingeführten Axiome, dass die Ununterscheidbarkeit eine Äquivalenzrelation und damit transitiv ist. Der Rest dieses Abschnitts stützt sich stark auf Suppes.

Im vorigen Abschnitt habe ich kurz umfangreiche Messungen besprochen, die sich auf die Konstruktion einer endlichen Standard-Ratio-Skala-Darstellung konzentrierten. Die Grundlage für die transitive Ununterscheidbarkeit ist nun leicht zu erklären. Ein gewogenes Objekt wird einem eindeutigen Minimalintervall zugeordnet, z. B. einem zwischen 1,9 g und 2,0 g. Die binäre Relation, dass zwei Objekte a und b, die nicht zur Standardfolge gehören, äquivalent im Gewicht sind, a ≈ b, besteht darin, dass sie demselben Minimalintervall in der Standardfolge zugeordnet werden. Diese Beziehung ist offensichtlich eine Äquivalenzbeziehung, d. h., Diese Beziehung ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation, d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv, aber in dem entwickelten Approximationssystem sind diese Eigenschaften nicht direkt prüfbar, sondern eher Folgen von Abwägungsoperationen mit bereits „geeichten“ Standardmengen von Gewichten.

In der später verwendeten Notation ist also ein Objekt, das dem minimalen Intervall (1.9 g, 2,0 g) zugeordnet ist, näherungsweise das obere (Gewichts-)Maß w*(a) = 2,0 g und das untere Maß w*(a) = 1,9 g. In der Praxis gibt es für alle außer den raffiniertesten Messverfahren keine statistische Analyse des Gewichts in einem solchen Minimalintervall. In den Fällen, in denen das minimale Intervall der Standardsequenz gerade an der Grenze der Leistungsfähigkeit des Instruments liegt, kann eine statistische Analyse für wiederholte Messungen gegeben werden.

Die übliche Praxis ist nicht ganz in Übereinstimmung mit meiner Verwendung eines minimalen Intervalls und damit der Zuweisung einer oberen und einer unteren Schranke als angemessenes Näherungsmaß. Aber was getan wird, ist eng und einfach verwandt. Wie in den Grundkursen der Physik gelehrt, wird eine Messung mit der Angabe „auf 0,1 g genau“ beispielsweise mit 1,9 ± 0,1 g angegeben. In der Praxis wird in der Regel empfohlen, zwei benachbarte minimale Intervalle zu verwenden, um die Unsicherheit zu verringern und die Messung selbst als eine einzige Zahl auszudrücken. Die in Abschnitt 3 aufgeführten Axiome könnten leicht geändert werden, um diese Verwendung von zwei benachbarten statt einem minimalen Intervall zu ermöglichen.

Die gleiche ±-Notation wird auch häufig verwendet, um den statistischen Standardfehler von wiederholten Messungen auszudrücken. Es ist hier konzeptionell wichtig, sowohl das obere als auch das untere Maß beizubehalten, denn die in den Axiomen formulierte grundlegende Ansicht ist, dass unter den gegebenen Umständen kein feineres Maß als das eines minimalen Intervalls verfügbar ist. Und keine theoretische Konstruktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort innerhalb des minimalen Intervalls macht wissenschaftlich viel Sinn. Der Punkt, der hervorgehoben wird, ist, dass die gegebene Formalisierung dazu gedacht ist, einen Schritt näher an die tatsächliche Praxis der Messung heranzukommen, wenn eine feste Standard-Skala-Darstellung verfügbar ist.

Als eine Frage der Terminologie könnte das, was ich eine endliche extensive Struktur mit gleichen Abständen genannt habe, genauso gut eine endliche extensive Struktur mit Standard-Sequenzen genannt werden. Die Terminologie der Standardsequenzen ist in der Literatur über die Grundlagen der Messung bekannt. Diese Sprache schlägt den nützlichen Begriff Standardmengen für die Mengen von Gewichten vor, die eine Standardfolge bilden.

Für den weiteren Gebrauch ist es wichtig zu beachten, dass für zwei Mengen von Standardgewichten A und B, wenn sie nicht äquivalent im Gewicht sind, der kleinstmögliche Unterschied zwischen ihnen das Gewicht einer atomaren Menge ist. Genauer gesagt ist das geordnete Paar von Mengen (A, B) ein minimales Paar von Standardmengen, wenn μ(A) – μ(B) = μ(eine atomare Menge), d. h. ihre Differenz ist tatsächlich das Minimum für nicht äquivalente Standardmengen. Man beachte, dass, wenn (A, B) ein Minimalpaar ist, A ≥ B. Die Äquivalenz solcher Paare ist ein nützlicher Definitionsbegriff. Zwei Minimalpaare (A, B) und (A′, B′,) sind äquivalent, wenn μ(A) = μ(A′) und μ(B) = μ(B′). Hier sind drei Beobachtungen, die für spätere Diskussionen von Bedeutung sind.

Ausgehend von einer endlichen, gleichmäßig verteilten extensiven Struktur (auch als endliche Standardfolge bezeichnet) werden nun zusätzliche Axiome für die Messung von annähernd jedem physikalischen Objekt im Bereich der Standardfolge gegeben. Die primitiven Begriffe sind nun

Wenn (S1, S2) ein Minimalpaar ist und S1 ≥ W1 ≥ S2, dann sagt man, dass (S1 S2) ein Minimalpaar für W1 ist, und man sagt auch, dass W1 ein Minimalpaar hat.

Ein paar Bemerkungen zu diesen Axiomen sind angebracht. Axiom 1 bringt nur die Struktur der Standardmengen in den Rahmen der Approximation. Axiom 2 verlangt, dass es keine Überschneidungen zwischen den Objekten in S, die für die Standardmengen kalibriert sind, und den Objekten in W, die gewogen werden müssen, gibt. Axiom 3 ist das einzige Axiom, das ausschließlich in Form von gewogenen Objekten ausgedrückt wird, ohne Tests mit Standardgewichten. Seine Forderung nach der Konnektivität von ≥ W ist bekannt. Die Axiome 4-11 formulieren dann prüfbare Annahmen, die ausreichen, um eine annähernde Messung von Gewichten zu rechtfertigen, die in den Bereich der Standardmengen fallen. Da sowohl die Mengen S als auch W endlich sind, kann jedes Axiom direkt auf einer gleicharmigen Waage getestet werden. Axiom 4 liefert den Test dafür, dass W1 strikt schwerer ist als W2, nämlich ein S1 zu finden, bei dem W1 ≥ S1 und S1 ≥ W2 ist. Axiom 5 stellt sozusagen eine Transitivitätsbedingung für die Beziehung zwischen Standardmengen und gewogenen Mengen oder Objekten auf. Wenn S1 schwerer ist als W1 und W1 schwerer ist als S2, dann muss S1 schwerer sein als S2. Axiom 6 schließt aus, dass ein gewogenes Objekt W1 genau das gleiche Gewicht hat wie eine Standardmenge. Schwächere Formen dieses Axioms sind möglich, aber mit Komplikationen bei den Testbedingungen verbunden. Das Axiom ähnelt den bekannten „forced-choice“ Axiomen bei der Messung von Überzeugungen oder Handlungen. Axiom 7 verlangt, dass jedes gewogene Objekt W1 schwerer ist als jede minimale positive Standardmenge S1. Dieses Axiom erlaubt es einer Waage oder einem vergleichbaren Gerät, nicht auf ein positives Gewicht zu reagieren, das kleiner als eine minimale Standardmenge ist. Axiom 8 ist offensichtlich die Verallgemeinerung des üblichen qualitativen Axioms der Addition, wie es in Axiom 2 von Definition 1 dargestellt ist, auf das Näherungsmaß. Axiom 9 garantiert, dass bei gegebenen disjunkten Mengen W1 und W2, die gewichtet werden sollen, disjunkte Standardmengen gefunden werden können, die minimale obere Schranken sind, nämlich S1 für W1 und S1 für W2, die ebenfalls disjunkt sind. Dies folgt nicht aus anderen Axiomen, denn wenn W1 ∪ W2 = W ist, kann die Vereinigung der disjunkten kleinsten oberen Schranken S1 ∪ S1 eine atomare Standardmenge sein, die größer ist als eine kleinste obere Schranke von W selbst, so dass S vergrößert werden muss, um diesen Fall abzudecken. Die Möglichkeiten werden in Theorem 12 explizit gemacht. Axiom 10 ist ein Test dafür, dass W1 streng schwerer ist als W2, und der Test ist natürlich relativ zur Grobheit der Standardmengen. Axiom 11 garantiert, dass alle zu wiegenden Objekte oder Objektmengen in den Bereich der Standardmengen fallen, indem sie ein minimales Paar von Standardmengen haben, d.h. eine diskrete kleinste obere Schranke und eine diskrete größte untere Schranke unter den Standardmengen.

Zunächst werden einige elementare Theoreme angegeben, wobei der Schwerpunkt auf der Transitivität der Beziehungen ≥ und ≈ zwischen den Mengen der zu wiegenden Objekte liegt.

THEOREM 10. Wenn W1 ≈ W2 und W2 ≥ W3, dann ist W1 ≥ W3.

Das nächste Theorem zeigt, dass die Äquivalenzrelation ≈ für Standardmengen die Kongruenz-Eigenschaft für ≥ auf der Menge S × W hat.

THEOREM 11. Wenn S1 ≈ S1 und S1 ≥ W1 ist, dann ist S1 ≥ W1.

Das nächste Theorem behauptet das prüfbare Kriterium dafür, dass W1 und W2 ununterscheidbar sind.

THEOREM 12. W1 ≈ W2 dann und nur dann, wenn W1 und W2 äquivalente Minimalpaare haben.

Mit ähnlichen Methoden können wir ein eng verwandtes Ergebnis beweisen.

Wir sind nun in der Lage, die Transitivität der Ununterscheidbarkeit der Gewichte zu behaupten.

THEOREM 14. Wenn W1 ≈ W2 und W2 ≈ W3 ist, dann ist W1 ≈ W3.

Die Bedeutung des nächsten Satzes für die Bestimmung der Annäherung, die bei der Addition zweier disjunkter Mengen W1 und W2 von zu wägenden Objekten gilt, wird in der auf den Satz folgenden Diskussion deutlich.

Wenn man das ungefähre Gewicht zweier Sammlungen physischer Objekte addiert, kann man aus dem ungefähren Ergebnis nicht ableiten, welche der beiden in Theorem 15 formulierten Disjunktionen gilt. Diese beiden Disjunkte beschreiben zwei benachbarte, aber unterschiedliche Minimalintervalle. Es gibt jedoch ein wichtiges Merkmal zu beachten. Die Addition vergrößert das Intervall der Annäherung nach der Addition nicht. Wenn wir also in Satz 15 W1 und W2 erhalten, wissen wir ohne weitere Informationen nicht, in welchem Minimalintervall W1 ∪ W2 liegt, sondern, wie der disjunktive Schluss des Axioms behauptet, es ist nur eines von zwei benachbarten Minimalintervallen, und indem wir den Vergleich empirisch durchführen, können wir feststellen, welches es ist.

Der disjunktive Satz (iii) von Satz 15 und die Annahme der Exaktheit, d.h., keine Annäherung, bei der Messung der Standardfolge selbst, markieren einen Unterschied zu den Diskussionen und Ergebnissen über die Annäherung an mehreren verschiedenen Stellen in Foundations of Measurement. Tatsächlich wird das Standardkonzept eines Paares (μ*, μ*) von oberen und unteren Maßen, die als Näherungsmaße nützlich sind, nirgendwo in den drei Bänden von Foundations of Measurement eingeführt. Die Definition eines solchen Paares (μ*, μ*) folgt in der Form, die zuvor für ein Maß μ gegeben wurde.

Das Konzept eines Paares (μ*, μ*) von oberen und unteren Maßen ist nicht neu. Es geht zumindest auf die Verwendung innerer und äußerer Maße in der Analysis in der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts durch Carathedory und andere zurück. Die Verwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht mindestens auf Koopman zurück.

Die Darstellung von Näherungsmaßen ist ausdrücklich in Form von oberen und unteren Maßen gegeben. Theorem 15 oder etwas annähernd Gleichwertiges wird benötigt, um die subadditiven und superadditiven Eigenschaften der oberen und unteren Maße zu bestimmen. Diese Eigenschaften werden in Teil (v) des nächsten Satzes explizit formuliert.

Der Vergleich der Ungleichungen in Satz (v) des soeben bewiesenen Satzes mit den beiden disjunktiven qualitativen Möglichkeiten in Satz 15 legt nahe, dass eine engere Schranke bewiesen werden kann, und das ist auch der Fall. Die Ungleichungen in Satz (v) können durch Einfügen des Terms μ*(W1) + μ* (W2) zu (v‘) verschärft werden, was durch Theorem 15 gerechtfertigt ist.

COROLLARY 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Ich habe kein Invarianzresultat für Theorem 16 angegeben, denn das offensichtliche folgt aus diesem Teil von Theorem 1. Aber es gibt eine andere damit zusammenhängende Überlegung, die von größerem Interesse ist. Das minimale Intervall der endlichen Standardfolge S = (S, F, ≥), das Teil einer beliebigen Struktur der approximativen extensiven Messung ist, wie sie durch Definition 11 charakterisiert wird, legt die qualitative empirische Präzision der empirischen Messungen fest. Betrachten wir nun eine zweite endliche Standardfolge T zur Messung derselben Eigenschaft der Teilmengen von W, und sei (T1, T′1) das minimale Intervall von T. Dann haben wir im Gegensatz zur herkömmlichen Annahme einer Einheit der extensiven Messung im Fall der approximativen Messung einen direkten qualitativen Vergleich der Präzision, der durch das empirische Verhältnis von (S1, S′1) zu (T1, T′1) gegeben ist. Die „Waage“, die ich regelmäßig benutze, um mich zu wiegen, hat zum Beispiel einen Mindestabstand von 0,25 lb, aber eine andere, die ich seltener benutze, hat einen Mindestabstand von 0,1 kg. Da 1 kg = 2,20 lb ist, beträgt das Verhältnis von 0,25 lb zu 0,1 kg 0,25/.22, was auf zwei Dezimalstellen genau 1,14 ist. Die im metrischen System geeichte Normreihe ist also etwas genauer, obwohl beide „Skalen“ Mindestintervalle bieten, die über die für die meisten Zwecke üblicherweise beobachtete oder aufgezeichnete Genauigkeit hinausgehen. Jede weitere Verfeinerung einer der beiden Skalen ist für die Messung des Körpergewichts von geringem oder gar keinem Interesse.

Ähnliche Beispiele lassen sich leicht für die Messung der Länge unter Verwendung verschiedener endlicher Standardfolgen anführen. Darüber hinaus lässt sich die hier entwickelte Näherungstheorie für obere und untere Maße mit denselben Methoden leicht auf die Differenzmessung, die Halbierungsmessung und die gemeinsame Messung ausdehnen, und mit etwas mehr Schwierigkeiten auf mehrere Dimensionen, z. B. die affine oder euklidische Geometrie. Es überrascht nicht, dass die Anwendungen von oberen und unteren Maßen am häufigsten auf die ungefähre Messung der subjektiven Wahrscheinlichkeit angewendet wurden. Ein umfassender Überblick und eine Analyse werden von Walley gegeben. Mein eigener früherer Beitrag, Suppes, verwendet obere und untere Wahrscheinlichkeiten, aber mit nicht transitiver Ununterscheidbarkeit.

Der Schwerpunkt lag hier auf der approximativen Messung, aber eine ganz andere Theorie der oberen und unteren Wahrscheinlichkeiten lässt sich aus einer direkten mengentheoretischen Verallgemeinerung von Zufallsvariablen als Zufallsfunktionen zu Zufallsbeziehungen ableiten. Ein Hinweis auf den theoretischen Unterschied ist, dass die von Suppes und Zanotti aus Zufallsrelationen abgeleiteten oberen und unteren Maße Kapazitäten unendlicher Ordnung im Sinne von Choquet sind. Im Gegensatz dazu sind die hier betrachteten oberen und unteren Maße für die approximative Messung nicht einmal Kapazitäten der Ordnung zwei. Es ist klar, dass der hier und bei Suppes eingeführte Sinn der Annäherung keineswegs die einzige Möglichkeit ist.