Bewegung des MondesBearbeiten
Hipparchus untersuchte auch die Bewegung des Mondes und bestätigte die genauen Werte für zwei Perioden seiner Bewegung, die die chaldäischen Astronomen vermutlich schon vor ihm besaßen, unabhängig davon, woher sie letztlich stammen. Der traditionelle Wert (aus dem babylonischen System B) für den mittleren synodischen Monat beträgt 29 Tage; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29.5305941… Tage. Ausgedrückt als 29 Tage + 12 Stunden + 793/1080 Stunden wurde dieser Wert später im hebräischen Kalender verwendet. Die Chaldäer wussten auch, dass 251 synodische Monate ≈ 269 anomalistische Monate sind. Hipparchus verwendete das Vielfache dieser Periode mit dem Faktor 17, weil dieses Intervall auch eine Finsternisperiode ist und ebenfalls nahe an einer ganzen Zahl von Jahren liegt (4267 Monde : 4573 anomalistische Perioden : 4630,53 Knotenperioden : 4611,98 Mondumläufe : 344,996 Jahre : 344,982 Sonnenumläufe : 126.007,003 Tage : 126.351,985 Rotationen). Das Außergewöhnliche und Nützliche an diesem Zyklus ist, dass alle Finsternispaare im 345-Jahres-Intervall etwas mehr als 126.007 Tage auseinander liegen, und zwar in einer engen Spanne von nur etwa ±1⁄2 Stunde, was (nach der Division durch 4267) eine Schätzung des synodischen Monats garantiert, die auf einen Teil in der Größenordnung von 10 Millionen genau ist. Die 345-jährige Periodizität ist der Grund, warum die Alten einen mittleren Monat konzipieren und so genau quantifizieren konnten, dass er auch heute noch auf den Bruchteil einer Sekunde genau ist.
Hipparchus konnte seine Berechnungen bestätigen, indem er Finsternisse aus seiner eigenen Zeit (vermutlich 27. Januar 141 v. Chr. und 26. November 139 v. Chr. nach ) mit Finsternissen aus babylonischen Aufzeichnungen 345 Jahre früher verglich (Almagest IV.2; ). Schon al-Biruni (Qanun VII.2.II) und Kopernikus (de revolutionibus IV.4) stellten fest, dass die Zeitspanne von 4.267 Monden tatsächlich etwa 5 Minuten länger ist als der Wert für die Finsterniszeit, den Ptolemäus Hipparchus zuschreibt. Die Zeitmessungsmethoden der Babylonier wiesen jedoch einen Fehler von nicht weniger als 8 Minuten auf. Moderne Gelehrte sind sich einig, dass Hipparchus die Finsterniszeit auf die nächste Stunde aufgerundet hat, um die Gültigkeit der traditionellen Werte zu bestätigen, anstatt zu versuchen, einen besseren Wert aus seinen eigenen Beobachtungen abzuleiten. Aus modernen Ephemeriden und unter Berücksichtigung der Veränderung der Tageslänge (siehe ΔT) schätzen wir, dass der Fehler in der angenommenen Länge des synodischen Monats im 4. Jahrhundert v. Chr. weniger als 0,2 Sekunden und zu Hipparchus‘ Zeit weniger als 0,1 Sekunden betrug.
Umlaufbahn des MondesBearbeiten
Seit langem war bekannt, dass die Bewegung des Mondes nicht gleichförmig ist: Seine Geschwindigkeit schwankt. Das nennt man seine Anomalie, und sie wiederholt sich mit einer eigenen Periode, dem anomalistischen Monat. Die Chaldäer berücksichtigten dies arithmetisch und benutzten eine Tabelle, die die tägliche Bewegung des Mondes je nach Datum innerhalb eines langen Zeitraums angab. Die Griechen hingegen zogen es vor, in geometrischen Modellen des Himmels zu denken. Apollonius von Perga hatte Ende des 3. Jahrhunderts v. Chr. zwei Modelle für die Bewegung des Mondes und der Planeten vorgeschlagen:
- Im ersten Modell bewegte sich der Mond gleichmäßig auf einem Kreis, aber die Erde war exzentrisch, d. h. in einiger Entfernung vom Mittelpunkt des Kreises. So würde die scheinbare Winkelgeschwindigkeit des Mondes (und seine Entfernung) variieren.
- Der Mond selbst würde sich gleichmäßig (mit einer gewissen mittleren Bewegung in der Anomalie) auf einer sekundären Kreisbahn bewegen, die Epizykel genannt wird, und die sich ihrerseits gleichmäßig (mit einer gewissen mittleren Bewegung in der Länge) über die Hauptkreisbahn um die Erde bewegen würde, die Deferent genannt wird; siehe Deferent und Epizykel. Apollonius zeigte, dass diese beiden Modelle mathematisch gleichwertig waren. All dies war jedoch nur Theorie und wurde noch nicht in die Praxis umgesetzt. Hipparchus war der erste Astronom, von dem wir wissen, dass er versuchte, die relativen Proportionen und die tatsächlichen Größen dieser Bahnen zu bestimmen.
Hipparchus entwickelte eine geometrische Methode, um die Parameter anhand von drei Positionen des Mondes in bestimmten Phasen seiner Anomalie zu bestimmen. Er tat dies sogar getrennt für das exzentrische und das epizyklische Modell. Ptolemäus beschreibt die Einzelheiten im Almagest IV.11. Hipparchus verwendete zwei Sätze von drei Mondfinsternisbeobachtungen, die er sorgfältig auswählte, um die Anforderungen zu erfüllen. Das exzentrische Modell passte er an diese Finsternisse aus seiner babylonischen Finsternisliste an: 22/23 Dezember 383 v. Chr., 18/19 Juni 382 v. Chr. und 12/13 Dezember 382 v. Chr.. Das Epizykelmodell passte er an Mondfinsternisbeobachtungen an, die in Alexandria am 22. September 201 v. Chr., am 19. März 200 v. Chr. und am 11. September 200 v. Chr. gemacht wurden.
- Für das exzentrische Modell fand Hipparchus für das Verhältnis zwischen dem Radius des Exzenters und dem Abstand zwischen dem Zentrum des Exzenters und dem Zentrum der Ekliptik (d. h., dem Beobachter auf der Erde): 3144 : 327 2⁄3 ;
- und für das Epizykelmodell das Verhältnis zwischen dem Radius des Deferenten und dem Epizykel: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
Die etwas seltsamen Zahlen sind nach Ansicht einer Gruppe von Historikern auf die schwerfällige Einheit zurückzuführen, die er in seiner Akkordtabelle verwendete, und sie erklären die Unfähigkeit ihrer Rekonstruktion, mit diesen vier Zahlen übereinzustimmen, zum Teil mit einigen schlampigen Rundungs- und Berechnungsfehlern von Hipparchus, für die ihn Ptolemäus kritisierte (er selbst machte auch Rundungsfehler). Eine einfachere alternative Rekonstruktion stimmt mit allen vier Zahlen überein. Jedenfalls kam Hipparchus zu widersprüchlichen Ergebnissen; er verwendete später das Verhältnis des Epizykelmodells (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), das zu klein ist (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolemäus ermittelte ein Verhältnis von 60 : 5 1⁄4. (Die maximale Winkelabweichung, die mit dieser Geometrie erzeugt werden kann, ist der Bogensinus von 5 1⁄4 geteilt durch 60, also etwa 5° 1′, eine Zahl, die deshalb manchmal als Äquivalent der Mondgleichung des Zentrums im hipparchischen Modell angegeben wird.)
Scheinbare Bewegung der SonneEdit
Bevor Hipparchus, Meton, Euctemon und ihre Schüler in Athen eine Sonnenwendbeobachtung gemacht hatten (d.h., den Zeitpunkt der Sommersonnenwende) am 27. Juni 432 v. Chr. (proleptisch Julianischer Kalender). Aristarchos von Samos soll dies 280 v. Chr. getan haben, und auch Hipparchos hatte eine Beobachtung von Archimedes. Wie in einem Aufsatz aus dem Jahr 1991 gezeigt wird, berechnete Hipparchus 158 v. Chr. die Sommersonnenwende anhand des Kallippus-Kalenders sehr falsch. Er beobachtete die Sommersonnenwende 146 und 135 v. Chr., beide mit einer Genauigkeit von wenigen Stunden, aber die Beobachtungen des Zeitpunkts der Tagundnachtgleiche waren einfacher, und er machte zwanzig während seines Lebens. Ptolemäus diskutiert im Almagest III.1 ausführlich Hipparchus‘ Arbeit über die Länge des Jahres und zitiert viele Beobachtungen, die Hipparchus in den Jahren 162-128 v. Chr. machte oder verwendete. Die Analyse der siebzehn Äquinoktialbeobachtungen des Hipparchus auf Rhodos zeigt, dass der mittlere Fehler in der Deklination sieben Bogenminuten beträgt, was fast mit der Summe der Brechung durch die Luft und der Parallaxe von Swerdlow übereinstimmt. Das zufällige Rauschen beträgt zwei Bogenminuten bzw. fast eine Bogenminute, wenn die Rundung berücksichtigt wird, was ungefähr mit der Schärfe des Auges übereinstimmt. Ptolemäus zitiert eine Tagundnachtgleiche von Hipparchus (am 24. März 146 v. Chr. in der Morgendämmerung), die um 5 Stunden von der Beobachtung abweicht, die am selben Tag auf dem großen öffentlichen Äquatorring in Alexandria gemacht wurde (um 1 Stunde vor Mittag): Hipparchus mag Alexandria besucht haben, aber er machte seine Tagundnachtgleiche-Beobachtungen nicht dort; vermutlich war er auf Rhodos (auf fast der gleichen geografischen Länge). Ptolemäus behauptet, seine Sonnenbeobachtungen seien mit einem Transitinstrument durchgeführt worden, das auf den Meridian eingestellt war.
Die jüngste fachkundige Übersetzung und Analyse des Papyrus P. Fouad 267 A durch Anne Tihon hat die oben zitierte Feststellung von 1991 bestätigt, dass Hipparchus die Sommersonnenwende im Jahr 158 v. Chr. beobachtete, aber der Papyrus gibt das Datum 26. Juni an, mehr als einen Tag früher als die Schlussfolgerung der Studie von 1991 für den 28. Juni. Der §M der früheren Studie stellte fest, dass Hipparchus die 26. Juni-Sonnenwende erst 146 v. Chr. annahm, als er die Sonnenumlaufbahn begründete, die später von Ptolemäus übernommen wurde. Die Verzahnung dieser Daten deutet darauf hin, dass Hipparchus die Sonnenwende am 26. Juni 158 v. Chr. von seiner Sonnenwende am 145. Juni 12 Jahre später extrapoliert hat, ein Verfahren, das nur einen winzigen Fehler verursachen würde. Der Papyrus bestätigte auch, dass Hipparchus 158 v. Chr. die kallippische Sonnenbewegung verwendet hatte, was 1991 neu war, aber erst von P. Fouad 267 A. direkt belegt wurde. Eine weitere Tabelle auf dem Papyrus ist vielleicht für die siderische Bewegung und eine dritte für die metonische tropische Bewegung, wobei ein bisher unbekanntes Jahr von 365 1⁄4 – 1⁄309 Tagen verwendet wurde. Dieses wurde vermutlich gefunden, indem man die 274 Jahre von 432 bis 158 v. Chr. in das entsprechende Intervall von 100077 Tagen und 14 3⁄4 Stunden zwischen Metons Sonnenaufgangs- und Hipparchus‘ Sonnenuntergangssonnenwenden teilte.
Am Ende seiner Laufbahn schrieb Hipparchus ein Buch namens Peri eniausíou megéthous („Über die Länge des Jahres“) über seine Ergebnisse. Der etablierte Wert für das tropische Jahr, der von Kallippus vor 330 v. Chr. eingeführt wurde, betrug 365 1⁄4 Tage. Spekulationen über einen babylonischen Ursprung des kallippischen Jahres sind schwer zu verteidigen, da in Babylon die Sonnenwenden nicht beobachtet wurden und die einzige erhaltene Jahreslänge des Systems B auf den griechischen Sonnenwenden basierte (siehe unten). Hipparchus‘ Tagundnachtgleiche-Beobachtungen ergaben unterschiedliche Ergebnisse, aber er selbst weist darauf hin (zitiert in Almagest III.1(H195)), dass die Beobachtungsfehler von ihm und seinen Vorgängern bis zu 1⁄4 Tag betragen haben können. Er verwendete alte Sonnenwendebeobachtungen und ermittelte eine Abweichung von etwa einem Tag in etwa 300 Jahren. Also setzte er die Länge des tropischen Jahres auf 365 1⁄4 – 1⁄300 Tage (= 365,24666… Tage = 365 Tage 5 Stunden 55 min, was vom tatsächlichen Wert (moderne Schätzung, einschließlich Erddrehungsbeschleunigung) zu seiner Zeit von etwa 365,2425 Tagen abweicht, ein Fehler von etwa 6 Minuten pro Jahr, einer Stunde pro Jahrzehnt, 10 Stunden pro Jahrhundert.
Zwischen der Sonnenwendebeobachtung von Meton und seiner eigenen lagen 297 Jahre mit 108.478 Tagen. D. Rawlins bemerkte, dass dies ein tropisches Jahr von 365,24579… Tagen = 365 Tage;14,44,51 (sexagesimal; = 365 Tage + 14/60 + 44/602 + 51/603) impliziert und dass diese exakte Jahreslänge auf einer der wenigen babylonischen Tontafeln gefunden wurde, die ausdrücklich den Monat des Systems B angibt. Dies ist ein Hinweis darauf, dass Hipparchus‘ Werk den Chaldäern bekannt war.
Ein anderer Wert für das Jahr, der Hipparchus zugeschrieben wird (von dem Astrologen Vettius Valens im 1. Jahrhundert), ist 365 + 1/4 + 1/288 Tage (= 365,25347… Tage = 365 Tage 6 Stunden 5 min), aber dies könnte eine Verfälschung eines anderen Wertes sein, der einer babylonischen Quelle zugeschrieben wird: 365 + 1/4 + 1/144 Tage (= 365.25694… Tage = 365 Tage 6 Stunden 10 min). Es ist nicht klar, ob dies ein Wert für das siderische Jahr wäre (tatsächlicher Wert zu seiner Zeit (moderne Schätzung) etwa 365,2565 Tage), aber der Unterschied zu Hipparchus‘ Wert für das tropische Jahr steht im Einklang mit seiner Präzessionsrate (siehe unten).
Umlaufbahn der SonneEdit
Vor Hipparchus wussten die Astronomen, dass die Längen der Jahreszeiten nicht gleich sind. Hipparchus beobachtete Tagundnachtgleiche und Sonnenwende und stellte nach Ptolemäus (Almagest III.4) fest, dass der Frühling (von der Frühjahrstagundnachtgleiche bis zur Sommersonnenwende) 94½ Tage und der Sommer (von der Sommersonnenwende bis zur Herbsttagundnachtgleiche) 92 1⁄2 Tage dauerte. Dies ist unvereinbar mit der Annahme, dass sich die Sonne mit gleichmäßiger Geschwindigkeit im Kreis um die Erde bewegt. Hipparchus‘ Lösung bestand darin, die Erde nicht in den Mittelpunkt der Sonnenbewegung zu stellen, sondern in einiger Entfernung vom Zentrum. Dieses Modell beschrieb die scheinbare Bewegung der Sonne recht gut. Heute weiß man, dass sich die Planeten, einschließlich der Erde, in annähernden Ellipsen um die Sonne bewegen, aber dies wurde erst entdeckt, als Johannes Kepler 1609 seine ersten beiden Gesetze der Planetenbewegung veröffentlichte. Der Wert für die Exzentrizität, den Ptolemäus Hipparchus zuschreibt, beträgt 1⁄24 des Bahnradius (was ein wenig zu groß ist), und die Richtung des Apogäums läge auf dem Längengrad 65,5° des Frühlingspunktes. Hipparchus könnte auch andere Beobachtungen verwendet haben, die zu anderen Werten führen würden. Die Sonnenlängen eines seiner beiden Finsternistrios stimmen damit überein, dass er ursprünglich ungenaue Längen für Frühling und Sommer von 95 3⁄4 und 91 1⁄4 Tagen angenommen hatte. Sein anderes Sonnentrio entspricht 94 1⁄4 und 92 1⁄2 Tagen, was eine Verbesserung gegenüber den Ergebnissen (94 1⁄2 und 92 1⁄2 Tage) darstellt, die Ptolemäus Hipparchus zuschreibt und deren Urheberschaft von einigen Gelehrten immer noch in Frage gestellt wird. Ptolemäus änderte drei Jahrhunderte später nichts und gab für die Herbst- und Winterzeit Längen an, die bereits implizit waren (wie z. B. von A. Aaboe gezeigt).
Entfernung, Parallaxe, Größe des Mondes und der SonneBearbeiten
Hipparchus unternahm es auch, die Entfernungen und Größen von Sonne und Mond zu bestimmen. Seine Ergebnisse erscheinen in zwei Werken: Perí megethōn kaí apostēmátōn („Über Größen und Entfernungen“) von Pappus und in Pappus‘ Kommentar zum Almagest V.11; Theon von Smyrna (2. Jahrhundert) erwähnt das Werk mit dem Zusatz „der Sonne und des Mondes“.
Hipparchus maß die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Mond mit seinem Diopter. Wie andere vor und nach ihm stellte er fest, dass sich die Größe des Mondes auf seiner (exzentrischen) Umlaufbahn verändert, aber er fand keine wahrnehmbare Veränderung des scheinbaren Durchmessers der Sonne. Er fand heraus, dass bei der mittleren Entfernung des Mondes die Sonne und der Mond den gleichen scheinbaren Durchmesser haben; bei dieser Entfernung passt der Durchmesser des Mondes 650 Mal in den Kreis, d. h., die mittleren scheinbaren Durchmesser sind 360⁄650 = 0°33′14″.
Wie andere vor und nach ihm bemerkte er auch, dass der Mond eine merkliche Parallaxe hat, d.h. dass er gegenüber seiner berechneten Position (im Vergleich zur Sonne oder zu den Sternen) verschoben erscheint, und der Unterschied ist größer, je näher er am Horizont steht. Er wusste, dass dies daran liegt, dass in den damals gängigen Modellen der Mond den Erdmittelpunkt umkreist, der Beobachter sich aber an der Oberfläche befindet – Mond, Erde und Beobachter bilden ein Dreieck mit einem spitzen Winkel, der sich ständig ändert. Aus der Größe dieser Parallaxe lässt sich die Entfernung des Mondes, gemessen in Erdradien, bestimmen. Für die Sonne jedoch gab es keine beobachtbare Parallaxe (wir wissen heute, dass sie etwa 8,8″ beträgt, ein Vielfaches der Auflösung des bloßen Auges).
Im ersten Buch nimmt Hipparchus an, dass die Parallaxe der Sonne 0 ist, als ob sie sich in unendlicher Entfernung befände. Dann analysiert er eine Sonnenfinsternis, von der Toomer (entgegen der Meinung von über einem Jahrhundert Astronomen) annimmt, dass es sich um die Finsternis vom 14. März 190 v. Chr. handelt. Sie war in der Region des Hellespont (und in seinem Geburtsort Nicaea) total; Laut Toomer bereiteten sich die Römer zu dieser Zeit in diesem Gebiet auf einen Krieg mit Antiochus III. vor, und die Sonnenfinsternis wird von Livius in seinem Ab Urbe Condita Libri VIII.2 erwähnt. Sie wurde auch in Alexandria beobachtet, wo die Sonne Berichten zufolge zu 4/5 durch den Mond verdeckt wurde. Alexandria und Nicaea liegen auf demselben Meridian. Alexandria liegt auf etwa 31° Nord, die Region des Hellespont auf etwa 40° Nord. (Es ist behauptet worden, dass Autoren wie Strabo und Ptolemäus ziemlich gute Werte für diese geografischen Positionen hatten, so dass Hipparchus sie auch gekannt haben muss. Allerdings sind Strabos von Hipparchus abhängige Breitengrade für diese Region um mindestens 1° zu hoch, und Ptolemäus scheint sie zu kopieren, indem er Byzanz 2° zu hoch ansetzt). Hipparchus konnte ein Dreieck zeichnen, das von den beiden Orten und dem Mond gebildet wurde, und konnte mit Hilfe einfacher Geometrie die Entfernung des Mondes, ausgedrückt in Erdradien, bestimmen. Da die Sonnenfinsternis am Morgen stattfand, befand sich der Mond nicht im Meridian, und es wurde vorgeschlagen, dass die von Hipparchus ermittelte Entfernung daher eine Untergrenze darstellte. Auf jeden Fall fand Hipparchus laut Pappus heraus, dass der geringste Abstand 71 (von dieser Finsternis) und der größte 81 Erdradien beträgt.
Im zweiten Buch geht Hipparchus von der entgegengesetzten extremen Annahme aus: er weist der Sonne einen (minimalen) Abstand von 490 Erdradien zu. Dies entspräche einer Parallaxe von 7′, was offenbar die größte Parallaxe ist, die Hipparchus für unbemerkt hielt (zum Vergleich: das typische Auflösungsvermögen des menschlichen Auges beträgt etwa 2′; Tycho Brahe machte Beobachtungen mit bloßem Auge mit einer Genauigkeit von bis zu 1′). In diesem Fall ist der Schatten der Erde ein Kegel und nicht ein Zylinder wie bei der ersten Annahme. Hipparchus beobachtete (bei Mondfinsternissen), dass der Durchmesser des Schattenkegels bei der mittleren Entfernung des Mondes 2 1⁄2 Monddurchmesser beträgt. Dieser scheinbare Durchmesser beträgt, wie er beobachtet hatte, 360⁄650 Grad. Mit diesen Werten und einfacher Geometrie konnte Hipparchus die mittlere Entfernung bestimmen; da sie für eine Mindestentfernung der Sonne berechnet wurde, ist sie die maximal mögliche mittlere Entfernung für den Mond. Mit seinem Wert für die Exzentrizität der Umlaufbahn konnte er auch die kleinste und größte Entfernung des Mondes berechnen. Nach Pappus fand er eine kleinste Entfernung von 62, eine mittlere von 67 1⁄3 und folglich eine größte Entfernung von 72 2⁄3 Erdradien. Mit dieser Methode, bei der die Parallaxe der Sonne abnimmt (d.h. ihre Entfernung zunimmt), liegt die Untergrenze für die mittlere Entfernung bei 59 Erdradien – genau die mittlere Entfernung, die Ptolemäus später ableitete.
Hipparchus hatte also das problematische Ergebnis, dass seine minimale Entfernung (aus Buch 1) größer war als seine maximale mittlere Entfernung (aus Buch 2). Er war intellektuell ehrlich in Bezug auf diese Diskrepanz und erkannte wahrscheinlich, dass insbesondere die erste Methode sehr empfindlich auf die Genauigkeit der Beobachtungen und Parameter reagiert. (Tatsächlich zeigen moderne Berechnungen, dass die Größe der Sonnenfinsternis von 189 v. Chr. in Alexandria eher 9⁄10tel und nicht die berichteten 4⁄5tel betragen haben muss, ein Bruchteil, der eher mit dem Totalitätsgrad der Finsternisse von 310 und 129 v. Chr. in Alexandria übereinstimmt, die ebenfalls fast total im Hellespont waren und von vielen als wahrscheinlichere Möglichkeit für die Finsternis angesehen werden, die Hipparchus für seine Berechnungen verwendete.)
Ptolemäus maß später die Mondparallaxe direkt (Almagest V.13), und verwendete die zweite Methode des Hipparchus mit Mondfinsternissen, um die Entfernung der Sonne zu berechnen (Almagest V.15). Er kritisiert Hipparchus dafür, dass er widersprüchliche Annahmen macht und zu widersprüchlichen Ergebnissen kommt (Almagest V.11): aber anscheinend hat er Hipparchus‘ Strategie nicht verstanden, Grenzen festzulegen, die mit den Beobachtungen übereinstimmen, und nicht einen einzigen Wert für die Entfernung. Seine Ergebnisse waren die bisher besten: der tatsächliche mittlere Abstand des Mondes beträgt 60,3 Erdradien, innerhalb seiner Grenzen aus Hipparchus‘ zweitem Buch.
Theon von Smyrna schrieb, dass nach Hipparchus die Sonne 1.880 Mal so groß ist wie die Erde und die Erde siebenundzwanzig Mal so groß wie der Mond; offenbar bezieht sich dies auf Volumen, nicht auf Durchmesser. Aus der Geometrie von Buch 2 ergibt sich, dass die Sonne 2.550 Erdradien entfernt ist und der mittlere Abstand des Mondes 60 1⁄2 Radien beträgt. In ähnlicher Weise zitiert Kleomedes Hipparchus für die Größen von Sonne und Erde mit 1050:1; dies führt zu einem mittleren Mondabstand von 61 Radien. Offenbar verfeinerte Hipparchus später seine Berechnungen und leitete genaue Einzelwerte ab, die er für die Vorhersage von Sonnenfinsternissen verwenden konnte.
Siehe für eine ausführlichere Diskussion.
FinsternisseEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) erzählt uns, dass Hipparchus gezeigt hat, dass Mondfinsternisse im Abstand von fünf Monaten und Sonnenfinsternisse im Abstand von sieben Monaten (statt der üblichen sechs Monate) auftreten können; und die Sonne kann innerhalb von dreißig Tagen zweimal verborgen werden, aber von verschiedenen Völkern gesehen. Ptolemäus diskutierte dies ein Jahrhundert später ausführlich im Almagest VI.6. Die Geometrie und die Grenzen der Positionen von Sonne und Mond, wenn eine Sonnen- oder Mondfinsternis möglich ist, werden im Almagest VI.5 erläutert. Hipparchus hat offenbar ähnliche Berechnungen angestellt. Das Ergebnis, dass zwei Sonnenfinsternisse im Abstand von einem Monat auftreten können, ist wichtig, weil dies nicht auf Beobachtungen beruhen kann: die eine ist auf der nördlichen und die andere auf der südlichen Hemisphäre sichtbar – wie Plinius angibt – und letztere war den Griechen unzugänglich.
Die Vorhersage einer Sonnenfinsternis, d.h. wann und wo genau sie sichtbar sein wird, erfordert eine solide Mondtheorie und eine angemessene Behandlung der Mondparallaxe. Hipparchus muss der erste gewesen sein, der dazu in der Lage war. Für eine gründliche Behandlung ist sphärische Trigonometrie erforderlich, so dass diejenigen, die sich sicher sind, dass Hipparchus sie nicht besaß, spekulieren müssen, dass er sich mit flächigen Näherungen begnügt haben könnte. Möglicherweise hat er diese Dinge in Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs („Über die monatliche Bewegung des Mondes in der geographischen Breite“), einem in den Suda erwähnten Werk, behandelt.
Pliny bemerkt außerdem, dass „er auch entdeckte, aus welchem genauen Grund, obwohl der Schatten, der die Verfinsterung verursacht, vom Sonnenaufgang an unterhalb der Erde sein muss, es einmal in der Vergangenheit geschah, dass der Mond im Westen verfinstert wurde, während beide Gestirne oberhalb der Erde sichtbar waren“ (Übersetzung H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 S. 207). Toomer (1980) argumentiert, dass sich dies auf die große totale Mondfinsternis vom 26. November 139 v. Chr. beziehen muss, als der Mond bei klarem Meereshorizont von Rhodos aus gesehen im Nordwesten verfinstert wurde, kurz nachdem die Sonne im Südosten aufgegangen war. Dies wäre die zweite Finsternis in dem 345-Jahres-Intervall, das Hipparchus zur Überprüfung der traditionellen babylonischen Zeiträume heranzog: Damit wird die Entwicklung der Mondtheorie des Hipparchus auf einen späten Zeitpunkt datiert. Wir wissen nicht, welchen „genauen Grund“ Hipparchus dafür fand, dass er den Mond verfinstert sah, obwohl er offenbar nicht in exakter Opposition zur Sonne stand. Die Parallaxe senkt die Höhe der Gestirne, die Refraktion hebt sie an, und von einem hohen Standpunkt aus wird der Horizont gesenkt.