Das Modell findet die Werte von Ts und Ta, die es ermöglichen, dass die ausgehende Strahlungsleistung, die aus der Atmosphäre entweicht, gleich der absorbierten Strahlungsleistung des Sonnenlichts ist. Bei der Anwendung auf einen Planeten wie die Erde ist die ausgehende Strahlung langwellig und das Sonnenlicht kurzwellig. Diese beiden Strahlungsströme weisen unterschiedliche Emissions- und Absorptionseigenschaften auf. In dem idealisierten Modell gehen wir davon aus, dass die Atmosphäre für das Sonnenlicht völlig transparent ist. Die planetarische Albedo αP ist der Anteil des einfallenden Sonnenstroms, der in den Weltraum zurückreflektiert wird (da die Atmosphäre als völlig transparent für die Sonnenstrahlung angenommen wird, spielt es keine Rolle, ob diese Albedo durch Reflexion an der Oberfläche des Planeten oder an der Oberseite der Atmosphäre oder durch eine Mischung verursacht wird). Die Flussdichte der einfallenden Sonnenstrahlung wird durch die Solarkonstante S0 angegeben. Für die Anwendung auf den Planeten Erde sind die Werte S0=1366 W m-2 und αP=0,30 geeignet. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Oberfläche einer Kugel das Vierfache der Fläche ihres Schnittpunkts (ihres Schattens) ist, beträgt die durchschnittliche einfallende Strahlung S0/4.
Für die langwellige Strahlung wird angenommen, dass die Erdoberfläche einen Emissionsgrad von 1 hat (d. h. die Erde ist ein schwarzer Körper im Infrarotbereich, was realistisch ist). Die Oberfläche emittiert eine Strahlungsflussdichte F nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}
wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstante ist. Ein Schlüssel zum Verständnis des Treibhauseffekts ist das Kirchhoff’sche Gesetz der Wärmestrahlung. Bei einer bestimmten Wellenlänge ist das Absorptionsvermögen der Atmosphäre gleich dem Emissionsvermögen. Die von der Oberfläche ausgehende Strahlung könnte in einem etwas anderen Teil des Infrarotspektrums liegen als die von der Atmosphäre emittierte Strahlung. Das Modell geht davon aus, dass der durchschnittliche Emissionsgrad (Absorptionsgrad) für beide Ströme der Infrarotstrahlung identisch ist, da sie mit der Atmosphäre wechselwirken. Daher bezeichnet das Symbol ε für langwellige Strahlung sowohl den Emissionsgrad als auch das Absorptionsvermögen der Atmosphäre für jeden Strom von Infrarotstrahlung.
Die infrarote Flussdichte aus dem oberen Teil der Atmosphäre:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+ (1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}
Im letzten Term steht ε für den Anteil der langwelligen Aufwärtsstrahlung von der Oberfläche, der absorbiert wird, also für das Absorptionsvermögen der Atmosphäre. Im ersten Term auf der rechten Seite ist ε der Emissionsgrad der Atmosphäre, die Anpassung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Atmosphäre nicht optisch dick ist. Somit spielt ε die Rolle, die beiden Strahlungsströme bei der Berechnung der nach außen gerichteten Flussdichte sauber zu vermischen oder zu mitteln.
Null Nettostrahlung, die den oberen Teil der Atmosphäre verlässt, erfordert:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Null Nettostrahlung, die auf die Oberfläche trifft, erfordert:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
Das Energiegleichgewicht der Atmosphäre kann entweder aus den beiden obigen Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet oder unabhängig davon hergeleitet werden:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Beachten Sie den wichtigen Faktor 2, der sich aus der Tatsache ergibt, dass die Atmosphäre sowohl nach oben als auch nach unten strahlt, so dass das Verhältnis von Ta zu Ts unabhängig von ε ist:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \über 2^{1/4}}={T_{s} \über 1,189}}
Damit kann Ta in Form von Ts ausgedrückt werden, und man erhält eine Lösung fürTs in Abhängigkeit von den Modell-Eingangsparametern:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}\right)\sigma T_{s}^{4}}
oder
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}
Die Lösung kann auch in Form der effektiven Emissionstemperatur Te ausgedrückt werden, d. h. der Temperatur, die die ausgehende Infrarot-Flussdichte F charakterisiert, als ob der Strahler ein perfekter Strahler wäre, der F=σTe4 gehorcht. Dies ist im Rahmen des Modells leicht zu begreifen. Te ist auch die Lösung für Ts, für den Fall, dass ε=0 oder keine Atmosphäre vorhanden ist:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
Mit der Definition von Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}
Für ein perfektes Gewächshaus, bei dem keine Strahlung von der Oberfläche entweicht, oder ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
Unter Verwendung der oben definierten Parameter, die für die Erde geeignet sind,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Für ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
Für ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Dieser Wert von Ts liegt zufällig nahe bei den veröffentlichten 287,2 K der durchschnittlichen globalen „Oberflächentemperatur“, die auf Messungen beruht. ε=0,78 bedeutet, dass 22 % der Oberflächenstrahlung direkt in den Weltraum entweicht, was mit der Aussage übereinstimmt, dass 15 % bis 30 % beim Treibhauseffekt entweichen.
Der Strahlungsantrieb für eine Verdoppelung des Kohlendioxids beträgt 3,71 W m-2 in einer einfachen Parametrisierung. Dies ist auch der vom IPCC bestätigte Wert, der sich aus der Gleichung für F ergibt.
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \links(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\rechts)}
Bei Verwendung der Werte von Ts und Ta für ε=0,78 ergibt sich Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 mit Δε=.019. Somit ist eine Änderung von ε von 0,78 auf 0,80 mit dem Strahlungsantrieb durch eine Verdoppelung des Kohlendioxids vereinbar. Für ε=0,80 ist T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Dieses Modell sagt also eine globale Erwärmung von ΔTs = 1,2 K für eine Verdoppelung des Kohlendioxids voraus. Ein typisches GCM-Modell sagt eine Erwärmung der Erdoberfläche um 3 K voraus, vor allem, weil das GCM eine positive Rückkopplung zulässt, insbesondere durch erhöhten Wasserdampf. Ein einfaches Surrogat für die Einbeziehung dieses Rückkopplungsprozesses ist die Annahme eines zusätzlichen Anstiegs von Δε = 0,02, also insgesamt Δε = 0,04, um den Effekt des Wasserdampfanstiegs anzunähern, der mit einem Temperaturanstieg einhergehen würde. Dieses idealisierte Modell sagt dann eine globale Erwärmung von ΔTs = 2,4 K für eine Verdoppelung des Kohlendioxids voraus, was in etwa mit dem IPCC übereinstimmt.