Joseph-Louis Lagrange ist ein Gigant in der Geschichte der Mathematik. Er leistete wichtige Beiträge zur Entwicklung von Physik, Himmelsmechanik, Kalkül, Algebra, Zahlentheorie und Gruppentheorie. Er war weitgehend Autodidakt und erwarb keinen Universitätsabschluss.
Fasziniert von Maxima und Minima von Funktionen, war Lagrange der Hauptbegründer der Variationsrechnung.
In einer weitreichenden Neuformulierung der Gesetze von Isaac Newton schuf Lagrange eine brillante neue Vision der Mechanik. Dabei nutzte er die Variationsrechnung, um die weitreichenden Implikationen eines einzigen physikalischen Prinzips, der virtuellen Arbeit, aufzuzeigen. Ein Ergebnis davon war die Lagrange-Funktion, die in der fortgeschrittenen Physik unverzichtbar ist und durch Subtraktion der potentiellen Energie von der kinetischen Energie berechnet wird.
Lagranges Vision basierte vollständig auf Algebra und Kalkül. Er glaubte, dass dies mathematisch strenger sei als intuitive Ideen, die durch Geometrie erzeugt werden. Er war der Meinung, dass seine Methoden die Mechanik in den Bereich der reinen Mathematik einordneten.
In der Himmelsmechanik entdeckte Lagrange die Lagrange-Punkte, die bei Science-Fiction-Autoren und Planern von Weltraumobservatorien und -stationen gleichermaßen beliebt sind.
Lagrange gab uns die vertraute Notation f′(x), um die Ableitung einer Funktion darzustellen, f′′(x) eine zweite Ableitung, usw., und in der Tat war er es, der uns das Wort Ableitung gab.
Errungenschaften und Schlüsselpunkte
Joseph-Louis Lagrange war ein produktiver autodidaktischer Mathematiker und Physiker. Einige seiner wichtigsten Errungenschaften sind:
Lagrange:
- Er baute auf früheren Arbeiten von Leonhard Euler auf und schuf die Variationsrechnung – er nannte sie seine „Methode der Variationen“
- Er führte die ∂-Notation ein und schuf die ersten partiellen Differentialgleichungen.
- Er gab die verallgemeinertste Erklärung des Prinzips der kleinsten Wirkung seiner Ära.
- Er schuf ein völlig neues Gebiet der Mechanik, die Lagrangesche Mechanik, sowohl für Festkörper als auch für Flüssigkeiten, basierend auf dem Konzept der virtuellen Arbeit und unter Verwendung der Lagrangeschen Funktion.
- Einführung des Konzepts der verallgemeinerten Koordinaten. Die Lagrangesche Mechanik kann in jedem Koordinatensystem angewendet werden – Probleme werden durch die Wahl eines geeigneten Systems vereinfacht.
- Er schuf das Konzept des Potentials: das Gravitationsfeld ist zum Beispiel ein Potentialfeld.
- Entdeckte Lagrangesche Bahnen.
- Löste jahrhundertealte Probleme in der Zahlentheorie, die von Fermat gestellt wurden und andere Mathematiker besiegt hatten.
- Begründer der Gruppentheorie.
- Schlüsselrolle bei der Schaffung des metrischen Systems von Gewichten und Maßen.
Anfänge
Joseph-Louis Lagrange wurde am 25. Januar 1736 in der italienischen Stadt Turin im Piemont in eine wohlhabende Familie hineingeboren (seine Pateneltern waren Aristokraten).
Bei seiner Geburt war sein Name Giuseppe Lodovico Lagrangia. Die französische Form seines Namens wird in der Regel verwendet, da er viele seiner Arbeiten in französischer Sprache verfasste und sich in der zweiten Hälfte seines Lebens in Paris niederließ.
Als Jugendlicher in Italien begann Joseph, sich Lagrange zu nennen. Er hatte auf beiden Seiten seiner Familie französische Vorfahren, worauf er anscheinend stolz war, obwohl er sich immer eher als Piemonteser denn als Franzose betrachtete. Nach vielen Jahren in Paris behielt er seinen starken italienischen Akzent bei.
Joseph wurde nach seinem Vater Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia benannt, dem Schatzmeister des Königs, der für die Befestigungen und die Infrastruktur von Turin verantwortlich war. Josephs Mutter war Maria Teresa Grosso, die Tochter eines angesehenen Arztes. Joseph war das älteste ihrer 11 Kinder, von denen nur zwei die Kindheit überlebten.
Ausbildung
Im Jahr 1750, im Alter von 14 Jahren, wurde Joseph Student an der Universität von Turin. Gelangweilt von der Geometrie von Euklid und Archimedes, hatte er kein Interesse an einem Mathematikstudium.
Er wollte in die Fußstapfen seines Vaters treten und Jura studieren. Sein Vater war jedoch durch unkluge Spekulationen in finanzielle Schwierigkeiten geraten.
Josephs Interesse an der Mathematik wurde geweckt, als er eine im vorigen Jahrhundert von Edmund Halley verfasste Arbeit las, in der Halley algebraische Gleichungen zur Beschreibung der optischen Leistung von Linsen verwendete. Im Gegensatz zur Geometrie zog ihn Halleys Algebra in ihren Bann.
Er entfernte sich von den Rechtswissenschaften und begann, Vorlesungen über Mathematik und Physik zu besuchen. Obwohl er diese genoss, war es die Lektüre der neuesten Bücher von Mathematikern wie Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin und Jean d’Alembert, die ihn in einem fast wundersamen Tempo vorwärts katapultierte.
Lagrange schlief nicht viel. Er machte es sich zur lebenslangen Gewohnheit, sich mit Hilfe von Tee und Kaffee für lange Arbeitsstunden wach zu halten.
Lagranges Konzept der Mathematik
René Descartes und Pierre de Fermat hatten gezeigt, dass Geometrie und Algebra austauschbar sind. Die Verbindung war schon lange vermutet worden. Im elften Jahrhundert hatte Omar Khayyam geschrieben:
„Wer glaubt, Algebra sei ein Trick, um Unbekannte zu erhalten, hat vergeblich daran gedacht. Man sollte nicht darauf achten, dass Algebra und Geometrie sich äußerlich unterscheiden. Algebren sind geometrische Tatsachen, die durch die Sätze 5 und 6 des Buches 2 von Euklids Elementen bewiesen werden.“
Isaac Newton hatte sein berühmtes System der Welt in den Principia auf der Grundlage geometrischer Ideen erstellt.
Lagrange wuchs zunehmend in der Überzeugung, dass weitere Fortschritte in der Mechanik durch die Geometrie gehemmt würden. Er bevorzugte die Analysis – einen vollständig algebraischen Ansatz für die Infinitesimalrechnung.
„Die großen Meister der modernen Analysis sind Lagrange, Laplace und Gauß, die Zeitgenossen waren… Lagrange ist sowohl in der Form als auch in der Sache perfekt, er ist sorgfältig darauf bedacht, sein Verfahren zu erklären, und obwohl seine Argumente allgemein sind, sind sie leicht zu verstehen. Laplace hingegen erklärt nichts… Gauß ist so genau und elegant wie Lagrange, aber noch schwieriger zu verstehen als Laplace…“
Novice Mathematician
Im Jahr 1754, im Alter von 18 Jahren, veröffentlichte Joseph Lagrange seine erste mathematische Arbeit: Brief an Giulio Carlo da Fagnano. Darin beschrieb er seine Entdeckung, dass die Binomialentwicklung und die Formel für das Differential eines Produkts identische Koeffizienten haben.
Dies war kein neues Ergebnis, auch wenn er zunächst dachte, es sei eines.
Lagranges Lebenszeit im Kontext
Joseph Lagranges Lebenszeit und die Lebenszeiten verwandter Mathematiker.
Joseph-Louis Lagranges Werke
Variationsrechnung
Im August 1755, im Alter von 19 Jahren, schickte Lagrange ein Papier an den größten lebenden Mathematiker der Welt, Leonhard Euler. Er beschrieb darin seine neue Methode zum Auffinden von Maxima und Minima von Funktionen, ein brillanter Fortschritt in der Kalkulation. Im September 1755 schrieb Euler zurück und drückte seine große Bewunderung für Lagranges Arbeit aus.
Wenige Tage später wurde Lagrange eine Stelle als Assistenzprofessor für Mathematik an einer Artillerieschule in Turin – der Königlichen Militärakademie – angeboten und angenommen. Er verließ die Universität von Turin ohne Abschluss und begann, Kalkül & und Mechanik zu unterrichten. Seine Studenten waren alle älter als er und er war nicht der beste Lehrer – er war eher schüchtern und seine Vorlesungen waren zu fortgeschritten für seine Studenten.
Der anschließende Briefwechsel zwischen Lagrange und Euler führte zu einem neuen Zweig der Mathematik – der Variationsrechnung.
Euler war so überwältigt von der Bedeutung von Lagranges Arbeit, dass er vorschlug, den jungen Mann aus Turin als ausländisches Mitglied in die Berliner Akademie zu wählen. Lagrange wurde am 2. September 1756 im Alter von 20 Jahren gewählt.
Lagrange war immer der Meinung, dass die Begründung der Variationsrechnung sein größtes Werk war. Es etablierte ihn, während er noch ein Teenager war, als einen der größten Mathematiker des achtzehnten Jahrhunderts.
Hilbert und die Variationsrechnung
David Hilbert
Im Jahr 1900, 145 Jahre nachdem Lagrange die Variationsrechnung geschaffen hatte, blieb sie eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik. Als David Hilbert seine berühmten 23 Probleme an die Mathematiker der Welt stellte, betrafen drei davon die Variationsrechnung:
- Problem 19: Sind die Lösungen regelmäßiger Probleme in der Variationsrechnung immer notwendigerweise analytisch? Dies wurde von Ennio de Giorgi und John F. Nash gelöst. Die Antwort ist ja.
- Problem 20: Haben alle Variationsprobleme mit bestimmten Randbedingungen Lösungen? Dieses Problem hat eine enorme Menge an Arbeit verursacht, die von einer großen Anzahl von Mathematikern durchgeführt wurde. Die Antwort ist ja.
- Problem 23: Die Variationsrechnung muss weiterentwickelt werden. Dies ist ein Problem, für das es, wie Hilbert einräumte, keine endgültige Lösung gibt. Er hielt das Gebiet jedoch für so wichtig für die Zukunft der Mathematik, dass er es gerne zu seinem letzten Problem machte.
Eine Vision
Lagrange hatte große Ideen. Im Alter von 20 Jahren hatte er die Vision, die gesamte Mechanik mit Hilfe eines einzigen Grundprinzips zu vereinen:
„Ich werde die gesamte Mechanik von festen und flüssigen Körpern mit Hilfe des Prinzips der geringsten Wirkung ableiten.“
Lagrange erreichte sein Ziel schließlich in den 1780er Jahren und beschrieb seinen Erfolg in der Analytischen Mechanik im Jahr 1788. Das einzige verbindende Prinzip erwies sich als virtuelle Arbeit und nicht als geringste Aktion. Er verwendete die virtuelle Arbeit erstmals 1763 in einer Abhandlung über die Libration des Mondes.
Gründung der Turiner Akademie der Wissenschaften
Lagrange hatte genug von der spießigen wissenschaftlichen Einstellung in Turin. 1757 schloss er sich mit zwei anderen ehemaligen Studenten zusammen und gründete die Turiner Privatgesellschaft. Ziel der Gesellschaft war es, die wissenschaftliche Forschung nach dem Vorbild der französischen und Berliner Akademien der Wissenschaften zu fördern.
Ab 1759 gab die neue Gesellschaft eine eigene Zeitschrift in französischer und lateinischer Sprache heraus: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
Im Jahr 1783 wurde die Gesellschaft mit Unterstützung des Königs in die Königliche Akademie der Wissenschaften von Turin umgewandelt.
Moving Beyond Newton
Lagrange begann, seine Arbeiten in der Zeitschrift seiner Gesellschaft zu veröffentlichen. In vielen wandte er seine neue Variationsrechnung auf die physikalische Welt an, um neue Ergebnisse zu entdecken und Phänomene neu zu beleuchten. Seine Arbeiten aus dieser Zeit erscheinen in drei historischen Bänden, die alle eine Vielzahl bahnbrechender Arbeiten enthalten, darunter:
- Die Theorie der Schallausbreitung, einschließlich der ersten vollständigen mathematischen Beschreibung einer Saite, die als Transversalwelle schwingt. Außerdem die erste Anwendung der Differentialrechnung in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
- Die Theorie und Notation der Variationsrechnung, Lösungen zu dynamischen Problemen und die Herleitung des Prinzips der kleinsten Wirkung.
- Lösungen zu weiteren dynamischen Problemen, die erste Anwendung der Lagrangeschen Funktion, allgemeine Differentialgleichungen zur Beschreibung von drei Körpern, die von der Schwerkraft gegenseitig angezogen werden, die Integration von Differentialgleichungen und die Lösung eines jahrhundertealten Problems, das Pierre de Fermat in der Zahlentheorie gestellt hatte.
Tidal Locking & Libration des Mondes
Im Jahr 1764 erhielt Lagrange den Preis der französischen Akademie der Wissenschaften für seine Studie, in der er beschrieb, warum wir nur ein Gesicht des Mondes sehen und warum wir Libration beobachten. Bei der Libration handelt es sich um ein scheinbares Wackeln und Schaukeln des Mondes, das durch orbitale Effekte verursacht wird und es uns ermöglicht, mehr von seiner Oberfläche zu sehen, als wir erwarten würden. Infolge der Libration des Mondes können wir, wenn wir ihn über einen längeren Zeitraum beobachten, etwa 59 Prozent seiner Oberfläche sehen, statt der 50 Prozent, die wir ursprünglich erwarten würden.
Lagranges preisgekrönter Beitrag war auch deshalb bedeutsam, weil er zum ersten Mal das Prinzip der virtuellen Arbeit anwandte: Später nutzte er dieses Prinzip als Grundlage der Lagrangeschen Mechanik.
Die Monde des Jupiter
Im Jahr 1766 gewann Lagrange erneut den Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften, diesmal für seine Erklärung der Bahnen der Jupitermonde.
Die Berliner Jahre: 1766-1786
Im Alter von 30 Jahren zog Lagrange nach Berlin und löste Euler als Direktor der Mathematik an der Preußischen Akademie der Wissenschaften ab. Die Akademie hatte versucht, ihn zu gewinnen, seit er 19 Jahre alt war, aber er hatte abgelehnt, weil er das Gefühl hatte, er würde in Eulers Schatten stehen.
Die 20 Jahre, die Lagrange in Berlin verbrachte, waren seine produktivsten. Obwohl er zeitweise seine Arbeit aus gesundheitlichen Gründen unterbrechen musste, veröffentlichte er bei guter Gesundheit etwa einmal im Monat wertvolle Originalarbeiten. Die meisten wurden von der Berliner Akademie veröffentlicht, während andere in zwei weiteren Bänden der Mélanges de Philosophie et de Mathématique erschienen.
Partielle Differentialgleichungen
In den 1770er und in der ersten Hälfte der 1780er Jahre war Lagranges Arbeit über Differentialgleichungen sehr umfangreich und führte dazu, dass er die Mathematik der partiellen Differentialgleichungen schuf.
Partielle Differentialgleichungen
Differentialgleichungen können verwendet werden, um Veränderungen in der realen Welt zu beschreiben. Sie beschreiben die Beziehung zwischen einer physikalischen Größe, z. B. der Geschwindigkeit, und ihrer Änderungsrate.
Ordinäre Differentialgleichungen beschreiben eine einzelne sich ändernde Größe, z. B. die Geschwindigkeit.
Eine Wahrscheinlichkeitsdichtekurve für ein Elektron im 2p-Elektronenorbital eines Wasserstoffatoms. Die Darstellung ist aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung – einer partiellen Differentialgleichung – konstruiert.
Lagrange schuf partielle Differentialgleichungen, um kompliziertere Situationen zu beschreiben, in denen sich mehr als eine Größe ändert – im mathematischen Jargon beschreiben partielle Differentialgleichungen eine Funktion mehrerer sich ändernder Variablen.
Die Schrödinger-Gleichung ist zum Beispiel eine bekannte partielle Differentialgleichung in der Quantenmechanik, aus deren Lösung sich Elektronenorbitale ableiten lassen. Diese Orbitale beschreiben das Volumen, in dem wir erwarten, ein Elektron in einem Atom zu finden.
Gruppentheorie & Symmetrie
Langranges Theorem aus dem Jahr 1771 besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe immer genau teilen muss. Dies war einer der frühesten Schritte in der Gruppentheorie.
Lagrangesche Punkte
Im Jahr 1772 kehrte Lagrange zu einem Problem zurück, das ihn faszinierte – das Dreikörperproblem in der Gravitation. Seine Abhandlung zu diesem Thema, Essai sur le Problème des Trois Corps, brachte ihm erneut den Preis der französischen Akademie der Wissenschaften ein.
Er betrachtete eine Situation, in der zwei relativ massereiche Objekte, wie die Erde und die Sonne, einen gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen. Er berechnete das Gravitationspotenzial für diese Art von Situation, das in der folgenden Konturenkarte zusammengefasst ist.
Konturenkarte des Gravitationspotentials für das Erde-Sonne-System, mit den fünf Lagrange-Punkten: L1, L2, L3, L4, L5.
Wo die Konturlinien nahe beieinander liegen, ist das Gravitationspotenzial hoch. Wo die Linien weiter auseinander liegen, ist das Gravitationspotential niedriger.
Lagrange identifizierte fünf Gleichgewichtspunkte, die Lagrange-Punkte L1, L2, L3, L4 und L5. In diesen Punkten halten die Objekte ihre Position relativ zu den beiden größeren Massen. (Euler identifizierte die Punkte L1, L2 und L3 einige Jahre zuvor in einer weniger gründlichen Analyse.)
Heute befindet sich der NASA-Satellit für das Sonnen- und Heliosphärenobservatorium am L1-Punkt Erde-Sonne, so dass die Sonne von einer stabilen Plattform aus ohne Unterbrechung beobachtet werden kann.
Das James-Webb-Weltraumteleskop, Nachfolger des Hubble-Weltraumteleskops, soll 2020 am Punkt L2 der Erde-Sonne positioniert werden.
Lagrangesche Mechanik
Lagrange vollendete sein Meisterwerk, die Analytische Mechanik, in den frühen 1780er Jahren in Berlin. Es sollte noch einige Jahre dauern, bis er einen Verleger fand.
„Ich habe ein Buch über analytische Mechanik, das allein auf dem Prinzip beruht, fast vollendet. Aber da ich noch nicht weiß, wo und wann es veröffentlicht werden kann, habe ich es nicht eilig, es fertigzustellen.“
Lagrange war stolz darauf, dass sein Buch keine Diagramme enthielt: er betrachtete die Mechanik als einen Zweig der reinen Mathematik – eine Geometrie mit vier Dimensionen – drei des Raums und eine der Zeit. Er glaubte, dass die Strenge der Algebra und der Infinitesimalrechnung, die in der Analyse verschmolzen sind, mehr Wahrheiten enthielten als das, was er als intuitives, in Diagrammen dargestelltes Denken ansah. Er war stolz darauf, die Mechanik aus dem Bereich der Geometrie herausgelöst und fest in den Bereich der Analysis eingeordnet zu haben.
Lagrange ging bei seiner Arbeit von einem einzigen Grundprinzip aus: der virtuellen Arbeit. Ausgehend von diesem Prinzip, auf das er die Variationsrechnung anwandte, entwickelte er die Lagrangesche Funktion in verallgemeinerten Koordinaten, die es ermöglichte, eine große Anzahl von Problemen in der Mechanik aus einer neuen Richtung anzugehen und zuvor unlösbare Probleme zu lösen.
Die Lagrangesche Mechanik führte zu einem tieferen Verständnis der physikalischen Welt. Mehr als 150 Jahre nachdem Lagrange die Analytische Mechanik geschrieben hatte, führte zum Beispiel Paul Diracs Arbeit The Lagrangian in Quantum Mechanics Richard Feynman zu einer völlig neuen Formulierung der Quantenmechanik, dann zu Pfadintegralen und schließlich zur vollständigen Lösung der Quantenelektrodynamik, die er als „das Juwel der Physik“ bezeichnete.
Die Pariser Jahre: 1786-1813
Obwohl Lagrange sein Meisterwerk Analytische Mechanik in Berlin schrieb, wurde es erst 1788 veröffentlicht, nachdem er auf Einladung der Französischen Akademie der Wissenschaften nach Paris gezogen war.
In seinen ersten Jahren in Paris wurde Lagrange von Depressionen und Energielosigkeit überwältigt – er fand, dass nichts sein Interesse halten konnte. Zwei Dinge halfen ihm aus seiner Lethargie heraus: seine Heirat 1792 mit einer jungen, sympathischen Frau und seine Ernennung zum Präsidenten der Kommission für Maße und Gewichte im Jahr 1793.
Überleben des Terrors
Die Schreckensherrschaft der Französischen Revolution begann 1793. Lagrange überlebte sie. Es half, dass er Ausländer war. Außerdem war er milde gestimmt und tat stets sein Bestes, um Streit und Politik zu vermeiden.
Antoine Lavoisier, ein früheres Mitglied der Kommission für Maße und Gewichte und Begründer der modernen Chemie, hatte nicht so viel Glück: Er verlor 1794 seinen Kopf. Lagrange war entsetzt über Lavoisiers Schicksal und kommentierte:
„Es dauerte nur einen Augenblick, bis sein Kopf fiel, aber hundert Jahre würden nicht ausreichen, um ihn zu reproduzieren.“
Das metrische System
Lagrange setzte sich für die Einführung des Kilogramms und des Meters ein. Diese wurden 1799 von der Kommission angenommen.
Ècole Polytechnique
Im Jahr 1794 wurde die Ècole Polytechnique in Paris eröffnet, und Lagrange, inzwischen 58 Jahre alt, wurde zum Professor für Mathematik ernannt. Seine Vorlesungen wurden von den anderen Professoren geschätzt. Alle außer den fähigsten Studenten fanden sie jedoch zu schwierig. Dies ähnelt der Situation viele Jahre zuvor, als er als Jugendlicher in Turin Vorlesungen hielt.
Sophie Germain, die als Frau vom Polytechnikum ausgeschlossen war, besorgte sich Lagranges Analysis-Vorlesungsunterlagen und war begeistert: es waren die besten Mathematikunterlagen, die sie gesehen hatte. Lagrange erfuhr von Germains mathematischem Talent, besuchte sie und verbreitete die Nachricht von ihrer Brillanz.
Familie und das Ende
Im Jahr 1767, im Alter von 31 Jahren, heiratete Lagrange seine Cousine Vittoria Conti. Er wollte keine Kinder, und die beiden waren bequeme Gefährten – sie kannten sich schon seit einiger Zeit. Keiner von ihnen erfreute sich guter Gesundheit, und Vittoria war häufig krank. Sie starb 1783 nach 16 Jahren Ehe. Lagrange trauert sehr um sie und wird depressiv.
In Paris verliebt sich 1792 die 24-jährige Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier in Lagrange, der 56 Jahre alt ist. Sie lernte ihn durch ihren Vater, den Astronomen Pierre Charles Le Monnier, kennen. Renée hatte Mitleid mit Lagrange – er war ein brillanter Mann, der die Lust am Leben verloren zu haben schien; er wirkte ungewöhnlich traurig und der Welt überdrüssig. Renée beschloss, ihn zu heiraten, und setzte sich gegen alle Einwände durch. Die beiden heirateten und es wurde eine glückliche Verbindung für beide. Sie hatten keine Kinder.
Im Jahr 1802 wurde Lagrange französischer Staatsbürger.
Lagrange besuchte regelmäßig die römisch-katholische Messe, obwohl er sich ansonsten kaum zu seiner Religion geäußert zu haben scheint.
Joseph-Louis Lagrange starb im Alter von 77 Jahren am 10. April 1813 in Paris. Er wurde von seiner Frau Renée überlebt und im Panthéon beigesetzt, der letzten Ruhestätte vieler bedeutender Persönlichkeiten, darunter Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin und Pierre & Marie Curie.
Als der Eiffelturm 1889 eröffnet wurde, gehörte Lagrange zu den 72 französischen Wissenschaftlern, Ingenieuren und Mathematikern, deren Namen auf Tafeln am Turm eingraviert wurden.
„Alle seine mathematischen Kompositionen zeichnen sich durch eine einzigartige Eleganz aus, durch die Symmetrie der Formen und die Allgemeinheit der Methoden, und wenn man so sagen darf, durch die Vollkommenheit des analytischen Stils.“
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Weiterführende Literatur
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagranges frühe Beiträge zu den Prinzipien und Methoden der Mechanik
Archiv für Geschichte der exakten Wissenschaften, Bd. 28, S. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytische Mechanik: Übersetzt und herausgegeben von Auguste Boissonnade und Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013