An diesem Erntedankfest war ich mit meiner kleinen Cousine zusammen, die Karten aus einem Standarddeck mit 52 Karten austeilte. Ich stellte ihr die Frage:
„Wie oft könntest du das ganze Deck austeilen und eine einzigartige Reihenfolge der Karten sehen – anders als jedes Mal, wenn du das Deck in der Vergangenheit ausgeteilt hast?“
Oder, um es anders auszudrücken,
„Wie viele einzigartige Austeilungen (‚Permutationen‘) aller 52 Karten gibt es?“
Wenn du dich mit Zahlentheorie beschäftigt hast (oder dir den Titel dieses Beitrags angesehen hast), kennst du die Antwort – 52! (Auch bekannt als 52 faktoriell. Ich wäre allerdings genauso begeistert, wenn 52 die Antwort wäre – das wäre sehr seltsam und interessant)
Ich habe im Internet nachgeschaut, wie man diese Zahl entschlüsseln kann, und habe Variationen der gleichen Antwort erhalten, die für meinen Cousin ziemlich unerklärlich waren. Also habe ich beschlossen, es selbst zu versuchen.
Stellen Sie sich vor, Sie hören mit allem auf, was Sie gerade tun, und für den Rest Ihres Lebens, jede Sekunde Ihres Lebens, Tag und Nacht, erhalten Sie ein neues, auf magische Weise gemischtes Blatt mit allen 52 Karten. Diese Magie sorgt dafür, dass Sie nie ein Blatt erhalten, das Sie schon einmal gesehen haben. Sie wollen wissen, wie viele einzigartige Kartenspiele es gibt, und haben ein tiefes Misstrauen gegenüber Mathematikern – Sie müssen es mit eigenen Augen sehen.
Sie haben zunächst ein Blatt, das zufällig mit dem Kreuzbuben beginnt, dann mit dem Herzbuben, dann mit dem Pikbuben und dann mit den 49 anderen Karten. „Hmm, das ist interessant!“ Denkst du… zu dir selbst, denn du hast wahrscheinlich nicht viele Freunde, wenn das dein Hobby ist.
In der nächsten Sekunde hast du ein Blatt, das mit dem Herz-Ass beginnt und dann die 51 anderen Karten hat.
Du machst weiter, und in der nächsten Woche bist du ziemlich gelangweilt. Wann werde ich endlich fertig sein? An diesem Dienstag siehst du ein Blatt, das den Herzbuben, dann den Kreuzbuben, dann den Pikbuben und alle anderen Karten in genau der gleichen Position wie beim ersten Blatt hat.
„Wow, das ist super interessant und super nah am ersten Blatt, aber trotzdem ein neues Blatt!“ rufst du einem Raum voller leerer Pizzakartons und imaginärer Freunde zu, da du seit einer Woche nicht mehr geschlafen hast.
Du merkst, dass du Hilfe brauchst, um so weiterzumachen. Also schaffst du es, jeden anderen Menschen auf der Erde, alle 7 Milliarden, davon zu überzeugen, es mit dir zu tun, jede Sekunde eines jeden Tages. Du musst das herausfinden! Aus irgendeinem Grund gelingt es dir nicht, die Mathematiker davon zu überzeugen, an deinem Projekt mitzuarbeiten, aber du warst sowieso noch nie ein großer Fan von ihnen.
Doch die Dinge gehen dir nicht schnell genug voran. Du beschließt, eine Zeitmaschine und einen Jungbrunnen zu erfinden, und jeder geht zurück an den Anfang des Universums und fängt wieder mit allen 7 Milliarden Menschen an, die alle Karten spielen, den ganzen Tag, jeden Tag, einmal pro Sekunde pro Person. Du denkst, das wird bestimmt klappen, und dann wirst du Dinosaurier sehen können! Zwischen jetzt und dem Beginn des Universums liegen viele Sekunden – du hast einen Astronomen gefragt und er hat dir gesagt, dass es seitdem 4×10^27 Sekunden gab, also 4 gefolgt von 17 Nullen. Die Mathematiker kommen mit dir, weigern sich aber trotzdem, beim Kartengeben zu helfen. Sie sind nur dabei, um Dinosaurier zu sehen, sagen sie. Einer schreit: „Viel Glück mit eurem kleinen Projekt!“ und sie kichern alle.
Das macht dich ein bisschen unruhig, aber du hast keine Zeit für ihre Possen und vergisst sie schnell, als du wieder Karten gibst.
Der Urknall passiert, und das Universum dehnt sich aus. Die Galaxien bilden sich, die ersten Sterne entstehen und explodieren, wodurch der Kosmos mit Eisen und anderen schweren Elementen angereichert wird. Das Sonnensystem entsteht, und nach und nach bilden sich die Planeten. Die Erde kühlt ab, ein Ozean bildet sich und Leben entsteht. Währenddessen teilen 7 Milliarden Menschen jeden Tag, jede Sekunde, einzigartige Karten aus. Dinosaurier durchstreifen die Erde und werden dann ausgerottet. Vor vielen Äonen wurdest du zur meistgehassten Person der Welt, weil du dieses Projekt ins Leben gerufen und alle davon überzeugt hast, sich dir anzuschließen. Die Zeit vergeht, und die Menschen geben weiter Karten, bis wir wieder beim heutigen Datum ankommen.
Du schaust zurück auf all die Fortschritte, die du gemacht hast. Wow! Wir haben es geschafft, 3×10^27-te Kombinationen zu machen, das ist erstaunlich! Das ist eine 3 gefolgt von 27 Nullen. So viele verschiedene Kartenspiele, alle einzigartig.
„Wir müssen nah dran sein!“, sagst du zuversichtlich zu den nächsten erschöpften Kartenumdrehern. Sie sehen dich mit purem Hass in ihren Augen an. Du wünschst dir, du hättest einfach versucht, einen Mathematiker zu fragen, um herauszufinden, ob es überhaupt möglich ist, alle einzigartigen Karten zu finden (die Mathematiker nennen das ‚Permutationen‘).
Die klügste und freundlichste Mathematikerin klopft dir auf die Schulter. Du hast sie gebeten, den Fortschritt, den du beim Sammeln der verschiedenen Möglichkeiten gemacht hast, aufzuzeichnen, da sie nicht so sehr zu kichern schien wie die anderen, als sie vorbeikam und dich beim Kartengeben sah. Sie reicht dir eine Karte.
„Soll das ein kranker Scherz sein?“ verlangst du wütend, als sie dir ein Diagramm mit einem leeren Fortschrittsbalken reicht.
„Wir müssen noch einmal an den Anfang des Universums reisen… du brauchst mehr Zeit, um fertig zu werden…“ schlägt sie vorsichtig vor.
„Okay, gut, schön. Wie viele Male noch?“ Du schießt zurück, immer noch wütend.
„10^40 Mal…“ Es gibt eine Pause, während du sie ausdruckslos anstarrst.
„Lass mich die Zahl sagen“, sagt sie, „ich glaube, die wissenschaftliche Schreibweise ist dir nicht ganz klar… Es ist: Drei, Null, Null, Null, Null, Null, Null…“
„Schreib es einfach auf“, unterbrichst du sie und murmelst vor dich hin, dass du Mathematiker sowieso noch nie wirklich gemocht hast.
Sie schreibt es auf ein Stück Papier und erklärt: „Sie müssen dieses Experiment mit allen 7 Milliarden Menschen fortsetzen und immer wieder an den Anfang des Universums zurückkehren, um mehr Sekunden zum Austeilen der Karten zu bekommen.“
„So oft müssen Sie in der Zeit zurückreisen“, wiederholt sie selbstbewusst, mit einem Hauch von Mitleid in ihrer Stimme.
Auf dem Zettel steht: „30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Mal“.
Deine Knie geben nach und du sackst zu Boden.
In der Tiefe der Verzweiflung siehst du zu der Mathematikerin auf. Sie lächelt.
„Weißt du, du hättest uns Mathematiker am Anfang einfach fragen können. Die Anzahl der Kombinationen ist 52!, das ist einfach 52*51*50…*3*2*1. Das entspricht ungefähr 8×10^67, oder 8 mit 67 Nullen dahinter.“
Du nickst und bist erleichtert, dass du die Antwort kennst. Dann schaust du nach oben. Du siehst 7 Milliarden Menschen, die alle gerade ihre Arbeit aufgegeben haben und dich seltsam ansehen. Ihr Blick gefällt dir nicht. Als sie aufstehen und sich auf dich zubewegen, rennst du zu deiner Zeitmaschine und stellst sie so ein, dass sie nur dich in die Jurazeit transportiert.
„Ich hätte den Mathematikern vertrauen sollen …. !“ Deine Stimme verklingt, als du die Zeitreise beginnst. Du bist dir immer noch nicht sicher, ob du verstehst, wie große Zahlen oder Wahrscheinlichkeiten funktionieren, aber du hältst es für klug, es stattdessen mit den schrecklichen Echsen zu versuchen.
Im Hintergrund beginnen die Mathematiker wieder zu kichern.
Zahlen:
- Alter des Universums = 4×10^17
- 7.000.000.000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 Milliarden / Alter des Universums in Sekunden = 3×10^40