Die Welt der Mathematik bietet also zahlreiche Zahlentypen, jeder mit seinen besonderen Eigenschaften. Mathematiker formulieren Theorien über die Beziehungen zwischen Zahlen und Zahlengruppen. Sie untermauern ihre Theorien mit Axiomen (vorher aufgestellte Aussagen, die als wahr vorausgesetzt werden) und Theoremen (Aussagen, die auf anderen Theoremen oder Axiomen beruhen).
Der erste Schritt beim Aufbau einer glänzenden, neuen mathematischen Theorie besteht jedoch darin, eine theoretische Frage über die Beziehungen zwischen Zahlen zu stellen. Kann zum Beispiel die Summe von zwei Würfeln ein Würfel sein? Erinnern Sie sich an die pythagoreischen Dreiergruppen von der vorherigen Seite? Diese Dreiergruppen aus drei Zahlen, wie (3, 4, 5), lösen die Gleichung a2 + b2 = c2. Aber was ist mit a3 + b3 = c3? Der Mathematiker Pierre de Fermat stellte sich dieselbe Frage in Bezug auf Würfel und behauptete 1637, einen mathematischen Beweis gefunden zu haben, der mit Hilfe einer Reihe mühsamer logischer Überlegungen zweifelsfrei beweist, dass die Summe von zwei Würfeln nicht ein Würfel sein kann. Wir nennen dies Fermats letzten Satz. Leider schrieb Fermat in seinen Notizen nicht den vollständigen Beweis, sondern lediglich: „Ich habe eine wahrhaft wunderbare Demonstration dieses Satzes, für die dieser Rand zu schmal ist“.
Ankündigung
Mehr als dreieinhalb Jahrhunderte folgten, in denen Mathematiker auf der ganzen Welt vergeblich versuchten, den Fermatschen Beweis wiederzufinden. Was war der Grund für diese Suche? Nichts, außer akademischem Stolz und der Liebe zur reinen, abstrakten Mathematik. Dann, 1993, gelang es dem englischen Mathematiker Andrew Wiles mit Hilfe der zu Fermats Zeiten unentdeckten Computermathematik, das 356 Jahre alte Theorem zu beweisen. Die Fachwelt streitet nach wie vor darüber, ob Fermat in seiner Vor-Computerzeit tatsächlich einen solch phänomenalen Beweis erarbeitet hat, oder ob er sich geirrt hat.
Weitere Fragen der Zahlentheorie beziehen sich auf verschiedene wahrgenommene oder theoretische Muster in Zahlen oder Zahlengruppen. Alles beginnt mit dem wichtigsten Aspekt des intelligenten Denkens: der Mustererkennung. Der Mathematikprofessor Joseph H. Silverman von der Brown University beschreibt fünf grundlegende Schritte in der Zahlentheorie:
- Sammeln Sie mathematische oder abstrakte Daten.
- Untersuchen Sie die Daten und suchen Sie nach Mustern oder Beziehungen.
- Formuliere eine Vermutung (typischerweise in Form einer Gleichung), um diese Muster oder Beziehungen zu erklären.
- Prüfe die Vermutung mit zusätzlichen Daten.
- Erarbeite einen Beweis, der zeigt, dass die Vermutung richtig ist. Der Beweis sollte mit bekannten Fakten beginnen und mit dem gewünschten Ergebnis enden.
Fermats letzter Satz war also 356 Jahre lang eine Vermutung und wurde erst 1993 zu einem echten Satz. Andere, wie Euklids Beweis der unendlichen Primzahlen (der beweist, dass Primzahlen unbegrenzt sind), sind seit 300 v. Chr. ein solides Modell des mathematischen Denkens geblieben. Andere alte und neue Vermutungen der Zahlentheorie bleiben unbewiesen.
Zahlen sind so unendlich, wie der menschliche Verstand endlich ist, und so werden die Zahlentheorie und ihre verschiedenen Teilgebiete die Geister der Mathematikliebhaber noch lange fesseln. Alte Probleme mögen fallen, aber neue und kompliziertere Vermutungen werden aufkommen.
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