Die Zwillingsprimatvermutung, auch bekannt als Polignac-Vermutung, behauptet in der Zahlentheorie, dass es unendlich viele Zwillingsprimzahlen oder Paare von Primzahlen gibt, die sich um 2 unterscheiden. Zum Beispiel sind 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13 und 17 und 19 Zwillingsprimzahlen. Je größer die Zahlen werden, desto seltener werden Primzahlen und noch seltener Zwillingsprimzahlen.
Die erste Aussage der Zwillingsprimzahlvermutung stammt aus dem Jahr 1846 von dem französischen Mathematiker Alphonse de Polignac, der schrieb, dass jede gerade Zahl auf unendlich viele Arten als Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen ausgedrückt werden kann. Wenn die gerade Zahl 2 ist, handelt es sich um die Zwillingsprimzahlvermutung, d. h. 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = …. (Obwohl die Vermutung manchmal als Euklids Zwillingsprimzahlvermutung bezeichnet wird, hat er den ältesten bekannten Beweis dafür geliefert, dass es eine unendliche Anzahl von Primzahlen gibt, aber er hat nicht vermutet, dass es eine unendliche Anzahl von Zwillingsprimzahlen gibt). Bis 1919 wurden kaum Fortschritte bei dieser Vermutung gemacht, als der norwegische Mathematiker Viggo Brun zeigte, dass die Summe der Kehrwerte der Zwillingsprimzahlen zu einer Summe konvergiert, die heute als Bruns Konstante bekannt ist. (Im Gegensatz dazu divergiert die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ins Unendliche.) Bruns Konstante wurde 1976 als ungefähr 1,90216054 berechnet, wobei die Zwillingsprimzahlen bis zu 100 Milliarden verwendet wurden. Im Jahr 1994 verwendete der amerikanische Mathematiker Thomas Nicely einen Personal Computer mit dem damals neuen Pentium-Chip der Intel Corporation, als er einen Fehler im Chip entdeckte, der zu widersprüchlichen Ergebnissen bei seinen Berechnungen der Brunschen Konstante führte. Negative Publicity in der Mathematikgemeinde veranlasste Intel dazu, kostenlose Ersatzchips anzubieten, die zur Behebung des Problems modifiziert worden waren. Im Jahr 2010 gab Nicely einen Wert für die Brunsche Konstante von 1,902160583209 ± 0,000000000781 an, der auf allen Zwillingsprimzahlen unter 2 × 1016 basiert.
Der nächste große Durchbruch gelang 2003, als der amerikanische Mathematiker Daniel Goldston und der türkische Mathematiker Cem Yildirim eine Arbeit mit dem Titel „Small Gaps Between Primes“ (Kleine Lücken zwischen Primzahlen) veröffentlichten, in der sie die Existenz einer unendlichen Anzahl von Primzahlpaaren innerhalb einer kleinen Differenz (16, mit bestimmten anderen Annahmen, vor allem der Elliott-Halberstam-Vermutung) nachwiesen. Obwohl ihr Beweis fehlerhaft war, korrigierten sie ihn zusammen mit dem ungarischen Mathematiker János Pintz im Jahr 2005. Der amerikanische Mathematiker Yitang Zhang baute auf ihrer Arbeit auf und zeigte 2013, dass es ohne jegliche Annahmen eine unendliche Zahl gibt, die sich um 70 Millionen unterscheidet. Diese Grenze wurde 2014 auf 246 verbessert, und wenn man entweder die Elliott-Halberstam-Vermutung oder eine verallgemeinerte Form dieser Vermutung annimmt, beträgt die Differenz 12 bzw. 6. Diese Techniken könnten Fortschritte bei der Riemann-Hypothese ermöglichen, die mit dem Primzahlensatz verbunden ist (eine Formel, die eine Annäherung an die Anzahl der Primzahlen kleiner als ein bestimmter Wert liefert). Siehe auch Millennium-Problem.