Bisección

3.2 Aproximación cualitativa con medidas superiores e inferiores e indistinguibilidad transitiva

La consideración psicológica de los umbrales inferiores, para los que los juicios perceptivos u otros juicios comparativos son difíciles, si no imposibles, fue iniciada por Fechner . Un importante análisis matemático temprano fue dado por Wiener . Gran parte de la literatura moderna comienza con la definición de Luce de un semiordo, que fue axiomatizado como una única relación binaria en el caso finito por Scott y Suppes . Algunas de las contribuciones más significativas han sido las de Falmagne.

El análisis probabilístico de los umbrales data al menos de los trabajos de Thurstone . Falmagne también ha sido un contribuyente central a este enfoque, con una serie de otros trabajos escritos con colegas: Falmagne e Iverson , Falmagne y otros, e Iverson y Falmagne . Una extensa revisión de toda esta literatura se da en Suppes et al., .

Casi todos los trabajos referidos asumen que la indistinguibilidad de eventos, objetos o estímulos similares es una relación no transitiva. La suposición implícita es que con muchas observaciones discriminantes diferentes, muchos eventos inicialmente indistinguibles pueden ser separados. Aquí lo contrario es el punto de partida y la razón del uso de la palabra «transitivo» en el título. Es una consecuencia de los axiomas introducidos que la indistinguibilidad es una relación de equivalencia, y por tanto, transitiva. El resto de esta sección se basa en gran medida en Suppes .

En la sección anterior revisé brevemente una extensa medición centrada en la construcción de una representación estándar finita a escala de razón. La base de la indistinguibilidad transitiva es ahora fácil de explicar. Un objeto pesado se asigna a un único intervalo mínimo, por ejemplo, uno entre 1,9 g y 2,0 g. La relación binaria de que dos objetos, a y b, que no forman parte de la secuencia estándar, sean equivalentes en peso, a ≈ b, es que se asignen al mismo intervalo mínimo en la secuencia estándar. Esta relación es obviamente una relación de equivalencia, es decir reflexiva, simétrica y transitiva, pero en el sistema de aproximación desarrollado, estas propiedades no son directamente comprobables, sino más bien consecuencias de las operaciones de ponderación con conjuntos de pesos estándar ya «calibrados».

Así, en la notación utilizada posteriormente, un objeto asignado al intervalo mínimo (1.9 g, 2,0 g) se dice que tiene, como aproximación, medida superior (de peso) w* (a) = 2,0 g y medida inferior w*(a) = 1,9 g. En la práctica, para todos los procedimientos de medición, salvo los más refinados, no se da ningún análisis estadístico de tener peso en tal intervalo mínimo. En los casos en los que el intervalo mínimo de la secuencia estándar está justo en el límite del rendimiento del instrumento se puede dar un análisis estadístico para las mediciones repetidas.

La práctica ordinaria no está completamente de acuerdo con mi uso de un intervalo mínimo y por lo tanto la asignación de un límite superior y uno inferior como la medida aproximada apropiada. Pero lo que se hace está estrecha y simplemente relacionado. Tal y como se enseña en los cursos de física elemental, para expresar una medida como «precisa hasta 0,1 g», por ejemplo, la medida se escribe como 1,9 ± 0,1 g. Lo que se suele recomendar en la práctica es utilizar dos intervalos mínimos adyacentes para reducir la incertidumbre y expresar la propia medición como un único número. Los axiomas dados en la Sección 3 podrían cambiarse fácilmente para acomodar este uso de dos intervalos mínimos adyacentes en lugar de uno.

Esta misma notación ± también se utiliza ampliamente para expresar el error estándar estadístico de las mediciones repetidas. En este caso es conceptualmente importante mantener tanto las medidas superiores como las inferiores, ya que el punto de vista fundacional formalizado en los axiomas es que no se dispone de ninguna medida más fina que la de un intervalo mínimo en las circunstancias dadas. Y ninguna construcción teórica de una distribución de probabilidad para la ubicación dentro del intervalo mínimo tiene mucho sentido científico. El punto que se enfatiza es que la formalización dada pretende ser un paso más cercano a la práctica real de la medición, aunque ciertamente no toda, cuando se dispone de una representación fija a escala estándar.

Como cuestión de terminología, lo que he llamado una estructura extensiva finita igualmente espaciada, podría llamarse también una estructura extensiva finita de secuencia estándar. La terminología de las secuencias estándar es familiar en la literatura sobre los fundamentos de la medición. Este lenguaje sugiere el útil término de conjuntos estándar para los conjuntos de pesos que forman una secuencia estándar.

Para su uso posterior es importante notar que para dos conjuntos de pesos estándar A y B, si no son equivalentes en peso entonces la mínima diferencia posible entre ellos es el peso de un conjunto atómico. Más exactamente, el par ordenado de conjuntos (A, B) es un par mínimo de conjuntos estándar si μ(A) – μ(B) = μ(un conjunto atómico), es decir, su diferencia es realmente la mínima para conjuntos estándar no equivalentes. Nótese que si (A, B) es un par mínimo, A ≥ B. La equivalencia de tales pares es una noción útil de definir. Dos pares mínimos (A, B) y (A′, B′,) son equivalentes si μ(A) = μ(A′) y μ(B) = μ(B′). Aquí hay tres observaciones que son pertinentes para las discusiones posteriores.

Asumiendo ahora una estructura extensiva finita igualmente espaciada (también denominada secuencia estándar finita), se dan axiomas adicionales para medir aproximadamente cualquier objeto físico en el rango de la secuencia estándar. Los conceptos primitivos son ahora

Si (S1, S2) es un par mínimo y S1 ≥ W1 ≥ S2, entonces se dice que (S1 S2) es un par mínimo para W1, y también se dice que W1 tiene un par mínimo.

Es conveniente hacer algunos comentarios sobre estos axiomas. El axioma 1 sólo introduce la estructura de los conjuntos estándar en el marco de la aproximación. El axioma 2 requiere que no haya superposición de objetos entre los de S, calibrados para conjuntos estándar, y los de W, objetos a ponderar. El axioma 3 es el único que se expresa puramente en términos de objetos ponderados, sin pruebas que utilicen pesos estándar. Su requisito de conectividad de ≥ para W es familiar. Los axiomas 4-11 formulan entonces suposiciones comprobables que son suficientes para justificar la medición aproximada de los pesos que caen dentro del rango de los conjuntos estándar. Dado que tanto los conjuntos S como W son finitos, cada axioma puede probarse directamente en una balanza de brazos iguales. El axioma 4 proporciona la prueba de que W1 es estrictamente más pesado que W2, es decir, encontrar un S1 tal que W1 ≥ S1 y S1 ≥ W2. El axioma 5 establece una condición de transitividad, por así decirlo, sobre la relación entre conjuntos estándar y conjuntos u objetos pesados. Si S1 es más pesado que W1 y W1 es más pesado que S2, entonces debe darse el caso de que S1 sea más pesado que S2. El axioma 6 excluye que cualquier objeto pesado W1 tenga exactamente el mismo peso que cualquier conjunto estándar. Son posibles formas más débiles de este axioma, pero atendiendo a las complicaciones de las condiciones de prueba. El axioma es similar a los conocidos axiomas de «elección forzada» en la medición de creencias o acciones. El axioma 7 requiere que cualquier objeto pesado W1 sea más pesado que cualquier conjunto estándar positivo mínimo S1. Este axioma permite que una balanza de brazos iguales o un dispositivo comparable no sea sensible a ningún peso positivo menor que un conjunto estándar mínimo. El axioma 8 es, obviamente, la generalización a la medición aproximada del axioma cualitativo habitual de la adición ejemplificado en el axioma 2 de la definición 1. El axioma 9 garantiza que, dados los conjuntos disjuntos W1 y W2 a ponderar, se pueden encontrar conjuntos estándar disjuntos que sean mínimos superiores, S1 para W1 y S1 para W2, que también sean disjuntos. Esto no se deduce de otros axiomas, porque si W1 ∪ W2 = W, la unión de los límites mínimos superiores disjuntos, S1 ∪ S1 puede ser un conjunto estándar atómico mayor que un límite mínimo superior del propio W, por lo que S debe ampliarse para cubrir este caso. Las posibilidades se explicitan en el Teorema 12. El axioma 10 es una prueba para que W1 sea estrictamente más pesado que W2, y la prueba es, por supuesto, relativa a la tosquedad de los conjuntos estándar. El axioma 11 garantiza que cualquier objeto, o conjunto de objetos, a pesar cae dentro del rango de los conjuntos estándar al tener un par mínimo de conjuntos estándar, es decir, un límite superior mínimo discreto y un límite inferior mayor discreto entre los conjuntos estándar.

Primero se enuncia una muestra de teoremas elementales, centrándose en la transitividad de las relaciones ≥ y ≈ entre conjuntos de objetos a pesar.

TEOREMA 10. Si W1 ≈ W2 y W2 ≥ W3 entonces W1 ≥ W3.

El siguiente teorema muestra que la relación de equivalencia ≈ para conjuntos estándar tiene la propiedad de congruencia para ≥ sobre el conjunto S × W.

TEOREMA 11. Si S1 ≈ S1 y S1 ≥ W1 entonces S1 ≥ W1.

El siguiente teorema afirma el criterio comprobable de que W1 y W2 son indistinguibles.

TEOREMA 12. W1 ≈ W2 si y sólo si W1 y W2 tienen pares mínimos equivalentes.

Por métodos similares, podemos demostrar un resultado estrechamente relacionado.

Ahora estamos en condiciones de afirmar la transitividad de la indistinguibilidad de los pesos.

TEOREMA 14. Si W1 ≈ W2 y W2 ≈ W3 entonces W1 ≈ W3.

La importancia del siguiente teorema para determinar la aproximación que se mantiene bajo la adición de dos conjuntos disjuntos W1 y W2 de objetos a pesar se pone de manifiesto en la discusión que sigue al teorema.

Al sumar el peso aproximado de dos colecciones de objetos físicos, a partir de su pesaje individual, el resultado aproximado no permite inferir cuál de los dos disyuntos formulados en el Teorema 15 se cumple. Estos dos disyuntos describen dos intervalos mínimos adyacentes pero diferentes. Pero hay una característica importante a tener en cuenta. La adición no aumenta el intervalo de aproximación después de la adición. Así, en el Teorema 15, cuando nos dan W1 y W2, sin más información no sabemos en qué intervalo mínimo se encuentra W1 ∪ W2, pero, como afirma la conclusión disyuntiva del axioma, es sólo uno de los dos intervalos mínimos adyacentes, y haciendo la comparación empíricamente, podemos determinar cuál.

La cláusula disyuntiva (iii) del Teorema 15 y la suposición de exactitud, es decir, ninguna aproximación, en la medición de la propia secuencia estándar, marcan una diferencia con respecto a las discusiones y resultados sobre la aproximación en varios lugares diferentes en Foundations of Measurement . De hecho, el concepto estándar de un par (μ*, μ*) de medidas superior e inferior, útiles como medidas de aproximación, no se introduce en ninguna parte de los tres volúmenes de Foundations of Measurement. La definición de tal par (μ*, μ*) sigue en forma la dada anteriormente para una medida μ.

El concepto de un par (μ*, μ*) de medidas superiores e inferiores no es nuevo. Se remonta al menos al uso de las medidas interiores y exteriores en el análisis en la última parte del siglo XIX por Carathedory y otros. El uso en probabilidad se remonta al menos a Koopman.

La representación de la medida aproximada se da explícitamente en términos de medidas superiores e inferiores. El teorema 15, o algo aproximadamente equivalente, es necesario para establecer las propiedades subaditivas y superaditivas de las medidas superiores e inferiores. Estas propiedades se formulan explícitamente en la parte (v) del siguiente teorema.

La comparación de las desigualdades de la cláusula (v) del teorema que se acaba de demostrar con las dos posibilidades cualitativas disyuntivas expresadas en el Teorema 15 sugiere que se puede demostrar una cota más ajustada, y así es. Las desigualdades de la cláusula (v) pueden ajustarse a (v’) mediante la inserción del término μ*(W1) + μ* (W2) que se justifica en el Teorema 15.

COROLARIO 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

No he enunciado un resultado de invariancia para el Teorema 16, pues el obvio se deduce de esta parte del Teorema 1. Pero hay otra consideración relacionada de mayor interés. El intervalo mínimo de la secuencia estándar finita S = (S, F, ≥) que forma parte de cualquier estructura de medida extensiva aproximada, como se caracteriza por la Definición 11, fija la precisión empírica cualitativa de las medidas empíricas. Consideremos ahora una segunda secuencia estándar finita T para medir la misma propiedad de los subconjuntos de W, y dejemos que (T1, T′1) sea el intervalo mínimo de T. Entonces, a diferencia de la aceptación convencional de una unidad de medida extensiva, en el caso de la medida aproximada, tenemos una comparación directamente cualitativa de la precisión dada por la relación empírica de (S1, S′1) con (T1, T′1). Por ejemplo, la «balanza» que utilizo regularmente para pesarme tiene un intervalo mínimo de 0,25 lb, pero otra que utilizo con menos frecuencia tiene un intervalo mínimo de 0,1 kg. Dado que 1 kg = 2,20 lb, la relación entre 0,25 lb y 0,1 kg es de 0,25/,22, es decir, con dos decimales, 1,14. Así pues, la secuencia estándar calibrada en el sistema métrico es ligeramente más precisa, aunque ambas «escalas» proporcionan intervalos mínimos más allá de la precisión observada o registrada habitualmente para la mayoría de los fines. Cualquier refinamiento adicional de cualquiera de ellas es de poco o ningún interés para el propósito de medir el peso corporal.

Se pueden dar fácilmente ejemplos similares para la medición de la longitud utilizando diferentes secuencias estándar finitas. Además, la teoría aproximada desarrollada aquí en términos de medidas superiores e inferiores puede extenderse fácilmente por los mismos métodos a la medida de la diferencia, la medida de la bisección y la medida conjunta, y con algo más de dificultad a varias dimensiones, por ejemplo, la geometría afín o euclidiana. No es de extrañar que las aplicaciones de las medidas superiores e inferiores se hayan aplicado más a la medición aproximada de la probabilidad subjetiva. Walley ofrece una revisión y un análisis exhaustivos. Mi propia contribución anterior, Suppes , utiliza probabilidades superiores e inferiores, pero con indistinguibilidad no transitiva.

El enfoque aquí ha sido en la medición aproximada, pero una teoría muy diferente de las probabilidades superiores e inferiores se puede derivar de una generalización directa de la teoría de conjuntos de las variables aleatorias como funciones aleatorias a las relaciones aleatorias. Una indicación de la diferencia teórica es que las medidas superior e inferior derivadas de las relaciones aleatorias por Suppes y Zanotti son capacidades de orden infinito en el sentido de Choquet . En cambio, las medidas superior e inferior consideradas aquí para la medición aproximada no son ni siquiera capacidades de orden dos. Claramente, el sentido de aproximación introducido aquí y en Suppes no es en ningún sentido la única posibilidad.