La conjetura de los primos gemelos, también conocida como conjetura de Polignac, en teoría de los números, afirmación de que existen infinitos primos gemelos, o pares de primos que difieren en 2. Por ejemplo, 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, y 17 y 19 son primos gemelos. A medida que los números son más grandes, los primos son menos frecuentes y los primos gemelos son aún más raros.
La primera afirmación de la conjetura del primo gemelo fue dada en 1846 por el matemático francés Alphonse de Polignac, quien escribió que cualquier número par puede ser expresado de infinitas maneras como la diferencia entre dos primos consecutivos. Cuando el número par es 2, se trata de la conjetura del primo gemelo; es decir, 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = …. (Aunque la conjetura se llama a veces la conjetura del primo gemelo de Euclides, él dio la prueba más antigua conocida de que existe un número infinito de primos, pero no conjeturó que hay un número infinito de primos gemelos). Se avanzó muy poco en esta conjetura hasta 1919, cuando el matemático noruego Viggo Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge a una suma, ahora conocida como la constante de Brun. (Por el contrario, la suma de los recíprocos de los primos diverge hasta el infinito). La constante de Brun se calculó en 1976 en aproximadamente 1,90216054 utilizando los primos gemelos hasta 100.000 millones. En 1994, el matemático estadounidense Thomas Nicely utilizaba un ordenador personal equipado con el entonces nuevo chip Pentium de Intel Corporation cuando descubrió un fallo en el chip que producía resultados incoherentes en sus cálculos de la constante de Brun. La publicidad negativa de la comunidad matemática llevó a Intel a ofrecer chips de reemplazo gratuitos que habían sido modificados para corregir el problema. En 2010 Nicely dio un valor para la constante de Brun de 1,902160583209 ± 0,000000000781 basado en todos los primos gemelos menores de 2 × 1016.
El siguiente gran avance se produjo en 2003, cuando el matemático estadounidense Daniel Goldston y el matemático turco Cem Yildirim publicaron un artículo, «Small Gaps Between Primes», que establecía la existencia de un número infinito de pares primos dentro de una pequeña diferencia (16, con algunos otros supuestos, sobre todo el de la conjetura de Elliott-Halberstam). Aunque su prueba era defectuosa, la corrigieron con el matemático húngaro János Pintz en 2005. El matemático estadounidense Yitang Zhang se basó en su trabajo para demostrar en 2013 que, sin ninguna suposición, había un número infinito que difería en 70 millones. Este límite se mejoró a 246 en 2014, y al asumir la conjetura de Elliott-Halberstam o una forma generalizada de esa conjetura, la diferencia era de 12 y 6, respectivamente. Estas técnicas pueden permitir avanzar en la hipótesis de Riemann, que está relacionada con el teorema de los números primos (una fórmula que da una aproximación al número de primos menores que cualquier valor dado). Véase también Problema del Milenio.