Movimiento de la LunaEditar
Hiparco también estudió el movimiento de la Luna y confirmó los valores precisos para dos períodos de su movimiento que se presume ampliamente que poseían los astrónomos caldeos antes que él, sea cual sea su origen último. El valor tradicional (del Sistema Babilónico B) para el mes sinódico medio es de 29 días; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29,5305941… días. Expresado como 29 días + 12 horas + 793/1080 horas este valor ha sido utilizado posteriormente en el calendario hebreo. Los caldeos también sabían que 251 meses sinódicos ≈ 269 meses anómalos. Hiparco utilizó el múltiplo de este período por un factor de 17, porque ese intervalo es también un período de eclipse, y también se acerca a un número entero de años (4267 lunas : 4573 períodos anómalos : 4630,53 períodos nodales : 4611,98 órbitas lunares : 344,996 años : 344,982 órbitas solares : 126.007,003 días : 126.351,985 rotaciones). Lo excepcional y útil del ciclo es que todos los pares de eclipses con intervalos de 345 años se producen con una diferencia de poco más de 126.007 días dentro de un estrecho margen de sólo ±1⁄2 horas, lo que garantiza (tras la división por 4267) una estimación del mes sinódico correcta hasta una parte en orden de magnitud de 10 millones. La periodicidad de 345 años es la razón por la que los antiguos podían concebir un mes medio y cuantificarlo con tanta precisión que incluso hoy es correcto en una fracción de segundo de tiempo.
Hiparco pudo confirmar sus cálculos comparando eclipses de su propia época (presumiblemente el 27 de enero de 141 a.C. y el 26 de noviembre de 139 a.C. según ), con eclipses de los registros babilónicos de 345 años antes (Almagest IV.2; ). Ya al-Biruni (Qanun VII.2.II) y Copérnico (de revolutionibus IV.4) señalaron que el período de 4.267 lunas es en realidad unos 5 minutos más largo que el valor del período de eclipse que Ptolomeo atribuye a Hiparco. Sin embargo, los métodos de cronometraje de los babilonios tenían un error de no menos de 8 minutos. Los estudiosos modernos están de acuerdo en que Hiparco redondeó el período del eclipse a la hora más cercana, y lo utilizó para confirmar la validez de los valores tradicionales, en lugar de tratar de derivar un valor mejorado de sus propias observaciones. A partir de las efemérides modernas y teniendo en cuenta el cambio en la duración del día (véase ΔT), estimamos que el error en la supuesta duración del mes sinódico era de menos de 0,2 segundos en el siglo IV a.C. y de menos de 0,1 segundos en la época de Hiparco.
Órbita de la LunaEditar
Desde hace tiempo se sabe que el movimiento de la Luna no es uniforme: su velocidad varía. Esto se llama su anomalía, y se repite con su propio período; el mes anómalo. Los caldeos tenían en cuenta esto aritméticamente, y utilizaban una tabla que daba el movimiento diario de la Luna según la fecha dentro de un período largo. Los griegos, sin embargo, preferían pensar en modelos geométricos del cielo. Apolonio de Perga había propuesto a finales del siglo III a.C. dos modelos para el movimiento lunar y planetario:
- En el primero, la Luna se movería uniformemente a lo largo de un círculo, pero la Tierra sería excéntrica, es decir, a cierta distancia del centro del círculo. Así que la velocidad angular aparente de la Luna (y su distancia) variaría.
- La propia Luna se movería uniformemente (con algún movimiento medio en anomalía) en una órbita circular secundaria, llamada epiciclo, que a su vez se movería uniformemente (con algún movimiento medio en longitud) sobre la órbita circular principal alrededor de la Tierra, llamada deferente; véase deferente y epiciclo. Apolonio demostró que estos dos modelos eran de hecho matemáticamente equivalentes. Sin embargo, todo esto era teoría y no se había llevado a la práctica. Hiparco fue el primer astrónomo que conocemos que intentó determinar las proporciones relativas y los tamaños reales de estas órbitas.
Hiparco ideó un método geométrico para encontrar los parámetros a partir de tres posiciones de la Luna, en fases particulares de su anomalía. De hecho, lo hizo por separado para el modelo excéntrico y el epiciclo. Ptolomeo describe los detalles en el Almagesto IV.11. Hiparco utilizó dos conjuntos de tres observaciones de eclipses lunares, que seleccionó cuidadosamente para satisfacer los requisitos. El modelo excéntrico lo ajustó a estos eclipses a partir de su lista de eclipses de Babilonia: 22/23 de diciembre de 383 a.C., 18/19 de junio de 382 a.C. y 12/13 de diciembre de 382 a.C. El modelo epicicloidal lo ajustó a las observaciones de eclipses lunares realizadas en Alejandría el 22 de septiembre de 201 a.C., el 19 de marzo de 200 a.C. y el 11 de septiembre de 200 a.C..
- Para el modelo excéntrico, Hiparco encontró para la relación entre el radio del excentro y la distancia entre el centro del excentro y el centro de la eclíptica (es decir, el observador en la Tierra): 3144 : 327 2⁄3 ;
- y para el modelo del epiciclo, la relación entre el radio del deferente y el epiciclo: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
Los números un tanto extraños se deben a la engorrosa unidad que utilizó en su tabla de acordes, según un grupo de historiadores, que explican la incapacidad de su reconstrucción para coincidir con estos cuatro números como debida, en parte, a algunos errores de redondeo y cálculo descuidados de Hiparco, por los que Ptolomeo le criticó (él mismo también cometió errores de redondeo). Una reconstrucción alternativa más sencilla coincide con los cuatro números. De todos modos, Hiparco encontró resultados inconsistentes; posteriormente utilizó la proporción del modelo del epiciclo (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), que es demasiado pequeña (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolomeo estableció una relación de 60 : 5 1⁄4. (La máxima desviación angular producible por esta geometría es el arco-seno de 5 1⁄4 dividido por 60, o sea, unos 5° 1′, cifra que a veces se cita, por tanto, como equivalente a la ecuación del centro de la Luna en el modelo de Hiparquia.)
Movimiento aparente del SolEditar
Antes de que Hiparco, Metón, Euctemón y sus alumnos en Atenas hubieran hecho una observación del solsticio (es decir, cronometrado el momento del solsticio de verano) el 27 de junio de 432 a.C. (calendario juliano proléptico). Se dice que Aristarco de Samos lo hizo en el 280 a.C., e Hiparco también tuvo una observación de Arquímedes. Como se muestra en un artículo de 1991, en el año 158 a.C. Hiparco calculó un solsticio de verano muy erróneo a partir del calendario de Calipo. Observó el solsticio de verano en el 146 y el 135 a.C., ambos con una precisión de unas pocas horas, pero las observaciones del momento del equinoccio eran más sencillas, y realizó veinte durante su vida. Ptolomeo da una amplia discusión del trabajo de Hiparco sobre la duración del año en el Almagesto III.1, y cita muchas observaciones que Hiparco hizo o utilizó, abarcando desde el 162 al 128 a.C. El análisis de las diecisiete observaciones del equinoccio realizadas por Hiparco en Rodas muestra que el error medio en la declinación es de siete minutos de arco positivos, lo que casi coincide con la suma de la refracción por el aire y el paralaje de Swerdlow. El ruido aleatorio es de dos minutos de arco o casi un minuto de arco si se tiene en cuenta el redondeo, lo que coincide aproximadamente con la agudeza del ojo. Ptolomeo cita una fecha de equinoccio de Hiparco (el 24 de marzo de 146 a.C. al amanecer) que difiere en 5 horas de la observación realizada en el gran anillo ecuatorial público de Alejandría ese mismo día (una hora antes del mediodía): Hiparco pudo haber visitado Alejandría pero no realizó allí sus observaciones de equinoccio; presumiblemente estuvo en Rodas (casi en la misma longitud geográfica). Ptolomeo afirma que sus observaciones solares se realizaron con un instrumento de tránsito colocado en el meridiano.
La reciente traducción y análisis de expertos realizada por Anne Tihon del papiro P. Fouad 267 A ha confirmado el hallazgo de 1991 citado anteriormente de que Hiparco obtuvo un solsticio de verano en el año 158 a.C. Pero el papiro sitúa la fecha en el 26 de junio, más de un día antes de la conclusión del artículo de 1991 para el 28 de junio. El §M del estudio anterior encontró que Hiparco no adoptó los solsticios del 26 de junio hasta el 146 a.C., cuando fundó la órbita del Sol que Ptolomeo adoptó más tarde. El encaje de estos datos sugiere que Hiparco extrapoló el solsticio de 26 de junio de 158 a.C. a partir de su solsticio de 145 12 años después, un procedimiento que sólo causaría un error minúsculo. El papiro también confirmó que Hiparco había utilizado el movimiento solar calípico en el año 158 a.C., un nuevo hallazgo en 1991 pero no atestiguado directamente hasta P. Fouad 267 A. Otra tabla del papiro es quizás para el movimiento sideral y una tercera tabla es para el movimiento tropical metónico, utilizando un año previamente desconocido de 365 1⁄4 – 1⁄309 días. Esto se encontró presumiblemente dividiendo los 274 años que van del 432 al 158 a.C., en el correspondiente intervalo de 100077 días y 14 3⁄4 horas entre los solsticios de la salida del sol de Metón y la puesta del sol de Hiparco.
Al final de su carrera, Hiparco escribió un libro llamado Peri eniausíou megéthous («Sobre la duración del año») sobre sus resultados. El valor establecido para el año tropical, introducido por Calipo en el año 330 a.C. o antes, era de 365 1⁄4 días. Especular con un origen babilónico para el año de Calipo es difícil de defender, ya que Babilonia no observaba los solsticios, por lo que la única duración del año del Sistema B existente se basaba en los solsticios griegos (véase más adelante). Las observaciones del equinoccio de Hiparco dieron resultados variables, pero él mismo señala (citado en el Almagesto III.1(H195)) que los errores de observación de él mismo y de sus predecesores pueden haber sido tan grandes como 1⁄4 día. Utilizó las antiguas observaciones del solsticio y determinó una diferencia de aproximadamente un día en unos 300 años. Así que fijó la duración del año tropical en 365 1⁄4 – 1⁄300 días (= 365,24666… días = 365 días 5 horas 55 min, lo que difiere del valor real (estimación moderna, incluyendo la aceleración del giro de la Tierra) en su época de unos 365,2425 días, un error de unos 6 min por año, una hora por década, 10 horas por siglo.
Entre la observación del solsticio de Metón y la suya, hubo 297 años que abarcaron 108.478 días. D. Rawlins señaló que esto implica un año tropical de 365,24579… días = 365 días;14,44,51 (sexagesimal; = 365 días + 14/60 + 44/602 + 51/603) y que esta duración exacta del año se ha encontrado en una de las pocas tablillas de arcilla babilónicas que especifica explícitamente el mes del Sistema B. Esto es un indicio de que la obra de Hiparco era conocida por los caldeos.
Otro valor para el año que se atribuye a Hiparco (por el astrólogo Vettius Valens en el siglo I) es 365 + 1/4 + 1/288 días (= 365,25347… días = 365 días 6 horas 5 min), pero esto puede ser una corrupción de otro valor atribuido a una fuente babilónica: 365 + 1/4 + 1/144 días (= 365,25694… días = 365 días 6 horas 10 min). No está claro si éste sería un valor para el año sideral (valor real en su época (estimación moderna) de unos 365,2565 días), pero la diferencia con el valor de Hiparco para el año tropical es consistente con su tasa de precesión (ver más abajo).
Órbita del SolEditar
Antes de Hiparco, los astrónomos sabían que las longitudes de las estaciones no son iguales. Hiparco hizo observaciones del equinoccio y el solsticio, y según Ptolomeo (Almagest III.4) determinó que la primavera (desde el equinoccio de primavera hasta el solsticio de verano) duraba 94½ días, y el verano (desde el solsticio de verano hasta el equinoccio de otoño) 92 1⁄2 días. Esto es inconsistente con la premisa de que el Sol se mueve alrededor de la Tierra en un círculo a velocidad uniforme. La solución de Hiparco fue situar la Tierra no en el centro del movimiento del Sol, sino a cierta distancia del centro. Este modelo describía bastante bien el movimiento aparente del Sol. Hoy se sabe que los planetas, incluida la Tierra, se mueven en elipses aproximadas alrededor del Sol, pero esto no se descubrió hasta que Johannes Kepler publicó sus dos primeras leyes del movimiento planetario en 1609. El valor de la excentricidad atribuido a Hiparco por Ptolomeo es que el desplazamiento es de 1⁄24 del radio de la órbita (que es un poco demasiado grande), y la dirección del apogeo estaría en la longitud 65,5° del equinoccio vernal. Hiparco también puede haber utilizado otros conjuntos de observaciones, lo que llevaría a valores diferentes. Las longitudes solares de uno de sus dos tríos de eclipses son consistentes con que inicialmente adoptara longitudes inexactas para la primavera y el verano de 95 3⁄4 y 91 1⁄4 días. Su otro triplete de posiciones solares es consistente con 94 1⁄4 y 92 1⁄2 días, una mejora de los resultados (94 1⁄2 y 92 1⁄2 días) atribuidos a Hiparco por Ptolomeo, cuya autoría aún cuestionan algunos estudiosos. Ptolomeo no hizo ningún cambio tres siglos después, y expresó longitudes para las estaciones de otoño e invierno que ya estaban implícitas (como muestra, por ejemplo, A. Aaboe).
Distancia, paralaje, tamaño de la Luna y del SolEditar
Hiparco también se dedicó a encontrar las distancias y tamaños del Sol y la Luna. Sus resultados aparecen en dos obras: Perí megethōn kaí apostēmátōn («Sobre tamaños y distancias») de Pappus y en el comentario de Pappus al Almagesto V.11; Teón de Esmirna (siglo II) menciona el trabajo con el añadido «del Sol y la Luna».
Hiparco midió los diámetros aparentes del Sol y la Luna con su dioptría. Al igual que otros antes y después de él, encontró que el tamaño de la Luna varía a medida que se mueve en su órbita (excéntrica), pero no encontró ninguna variación perceptible en el diámetro aparente del Sol. Encontró que a la distancia media de la Luna, el Sol y la Luna tenían el mismo diámetro aparente; a esa distancia, el diámetro de la Luna encaja 650 veces en el círculo, es decir los diámetros aparentes medios son 360⁄650 = 0°33′14″.
Al igual que otros antes y después de él, también observó que la Luna tiene un paralaje notable, es decir, que aparece desplazada de su posición calculada (en comparación con el Sol o las estrellas), y la diferencia es mayor cuando está más cerca del horizonte. Sabía que esto se debe a que en los modelos entonces vigentes la Luna rodea el centro de la Tierra, pero el observador está en la superficie: la Luna, la Tierra y el observador forman un triángulo con un ángulo agudo que cambia todo el tiempo. A partir del tamaño de este paralaje, se puede determinar la distancia de la Luna medida en radios terrestres. Para el Sol, sin embargo, no había ningún paralaje observable (ahora sabemos que es de unos 8,8″, varias veces menor que la resolución del ojo sin ayuda).
En el primer libro, Hiparco supone que el paralaje del Sol es 0, como si estuviera a una distancia infinita. A continuación analiza un eclipse solar, que Toomer (en contra de la opinión de más de un siglo de astrónomos) supone que es el eclipse del 14 de marzo de 190 a.C. Fue total en la región del Helesponto (y en su lugar de nacimiento, Nicea); en la época en que Toomer propone que los romanos se preparaban para la guerra con Antíoco III en la zona, y el eclipse es mencionado por Livio en su Ab Urbe Condita Libri VIII.2. También se observó en Alejandría, donde se informó de que el Sol estaba oscurecido en 4/5 partes por la Luna. Alejandría y Nicea están en el mismo meridiano. Alejandría está a unos 31º Norte, y la región del Helesponto a unos 40º Norte. (Se ha afirmado que autores como Estrabón y Ptolomeo tenían valores bastante decentes para estas posiciones geográficas, por lo que Hiparco también debía conocerlas. Sin embargo, las latitudes dependientes de Hiparco de Estrabón para esta región son al menos 1° demasiado altas, y Ptolomeo parece copiarlas, situando a Bizancio a 2° de latitud). Hiparco pudo dibujar un triángulo formado por los dos lugares y la Luna, y a partir de la geometría simple fue capaz de establecer una distancia de la Luna, expresada en radios terrestres. Como el eclipse se produjo por la mañana, la Luna no estaba en el meridiano, y se ha propuesto que, en consecuencia, la distancia hallada por Hiparco era un límite inferior. En cualquier caso, según Pappus, Hiparco encontró que la menor distancia es de 71 (a partir de este eclipse), y la mayor de 81 radios terrestres.
En el segundo libro, Hiparco parte del supuesto extremo opuesto: asigna una distancia (mínima) al Sol de 490 radios terrestres. Esto correspondería a un paralaje de 7′, que es aparentemente el mayor paralaje que Hiparco pensaba que no se notaría (para comparar: la resolución típica del ojo humano es de unos 2′; Tycho Brahe hizo observaciones a ojo desnudo con una precisión de hasta 1′). En este caso, la sombra de la Tierra es un cono y no un cilindro como en la primera hipótesis. Hiparco observó (en los eclipses lunares) que a la distancia media de la Luna, el diámetro del cono de sombra es de 2 1⁄2 diámetros lunares. Ese diámetro aparente es, como él había observado, de 360⁄650 grados. Con estos valores y una geometría sencilla, Hiparco pudo determinar la distancia media; como fue calculada para una distancia mínima del Sol, es la máxima distancia media posible para la Luna. Con su valor para la excentricidad de la órbita, pudo calcular también las distancias mínima y máxima de la Luna. Según Pappus, encontró una distancia mínima de 62, una media de 67 1⁄3, y en consecuencia una distancia mayor de 72 2⁄3 radios terrestres. Con este método, a medida que la paralaje del Sol disminuye (es decir, su distancia aumenta), el límite mínimo para la distancia media es de 59 radios terrestres – exactamente la distancia media que Ptolomeo derivó más tarde.
Hipparchus tuvo así el resultado problemático de que su distancia mínima (del libro 1) era mayor que su distancia media máxima (del libro 2). Fue intelectualmente honesto sobre esta discrepancia, y probablemente se dio cuenta de que especialmente el primer método es muy sensible a la precisión de las observaciones y los parámetros. (De hecho, los cálculos modernos muestran que el tamaño del eclipse solar de 189 a.C. en Alejandría debe haber estado más cerca de las 9⁄10ths y no de las 4⁄5ths reportadas, una fracción más ajustada al grado de totalidad en Alejandría de los eclipses ocurridos en 310 y 129 a.C. que también fueron casi totales en el Helesponto y que muchos piensan que son posibilidades más probables para el eclipse que Hiparco usó para sus cálculos.)
Ptolomeo midió más tarde la paralaje lunar directamente (Almagest V.13), y utilizó el segundo método de Hiparco con los eclipses lunares para calcular la distancia del Sol (Almagesto V.15). Critica a Hiparco por hacer suposiciones contradictorias, y obtener resultados contradictorios (Almagesto V.11): pero aparentemente no entendió la estrategia de Hiparco de establecer límites consistentes con las observaciones, en lugar de un valor único para la distancia. Sus resultados eran los mejores hasta el momento: la distancia media real de la Luna es de 60,3 radios terrestres, dentro de sus límites del segundo libro de Hiparco.
Teón de Esmirna escribió que, según Hiparco, el Sol es 1.880 veces el tamaño de la Tierra, y la Tierra veintisiete veces el tamaño de la Luna; aparentemente esto se refiere a volúmenes, no a diámetros. De la geometría del libro 2 se deduce que el Sol está a 2.550 radios terrestres, y la distancia media de la Luna es de 60 1⁄2 radios. Del mismo modo, Cleomedes cita a Hiparco para los tamaños del Sol y la Tierra como 1050:1; esto lleva a una distancia lunar media de 61 radios. Al parecer, Hiparco refinó más tarde sus cálculos, y derivó valores únicos precisos que podía utilizar para las predicciones de los eclipses solares.
Ver para una discusión más detallada.
EclipsesEditar
Pliny (Naturalis Historia II.X) nos dice que Hiparco demostró que los eclipses lunares pueden ocurrir con cinco meses de diferencia, y los eclipses solares con siete meses (en lugar de los seis meses habituales); y que el Sol puede ocultarse dos veces en treinta días, pero visto por diferentes naciones. Ptolomeo discutió esto un siglo más tarde en el Almagesto VI.6. La geometría, y los límites de las posiciones del Sol y la Luna cuando es posible un eclipse solar o lunar, se explican en el Almagesto VI.5. Al parecer, Hiparco realizó cálculos similares. El resultado de que dos eclipses solares pueden ocurrir con un mes de diferencia es importante, porque esto no puede basarse en las observaciones: uno es visible en el hemisferio norte y el otro en el hemisferio sur -como indica Plinio- y este último era inaccesible para los griegos.
La predicción de un eclipse solar, es decir, cuándo y dónde será visible exactamente, requiere una teoría lunar sólida y un tratamiento adecuado del paralaje lunar. Hiparco debió ser el primero en poder hacerlo. Un tratamiento riguroso requiere trigonometría esférica, por lo que aquellos que siguen estando seguros de que Hiparco carecía de ella deben especular que pudo haberse conformado con aproximaciones planas. Es posible que haya tratado estas cosas en Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs («Sobre el movimiento mensual de la Luna en latitud»), obra mencionada en la Suda.
Pliny también comenta que «también descubrió por qué razón exacta, aunque la sombra que causa el eclipse debe estar desde el amanecer por debajo de la tierra, ocurrió una vez en el pasado que la Luna se eclipsó en el oeste mientras ambas luminarias eran visibles por encima de la tierra» (traducción H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) argumentó que esto debe referirse al gran eclipse lunar total del 26 de noviembre de 139 a.C., cuando sobre un horizonte de mar limpio visto desde Rodas, la Luna se eclipsó en el noroeste justo después de que el Sol saliera por el sureste. Este sería el segundo eclipse del intervalo de 345 años que Hiparco utilizó para verificar los períodos babilónicos tradicionales: esto pone una fecha tardía al desarrollo de la teoría lunar de Hiparco. No sabemos qué «razón exacta» encontró Hiparco para ver la Luna eclipsada mientras aparentemente no estaba en oposición exacta al Sol. La paralaje hace descender la altura de las luminarias; la refracción las eleva, y desde un punto de vista alto el horizonte queda rebajado.