Joseph-Louis Lagrange es un gigante de la historia de las matemáticas. Realizó importantes contribuciones al desarrollo de la física, la mecánica celeste, el cálculo, el álgebra, la teoría de números y la teoría de grupos. Fue en gran parte autodidacta y no obtuvo un título universitario.
Fascinado por los máximos y mínimos de las funciones, Lagrange fue el principal fundador del cálculo de variaciones.
En una profunda reformulación de las leyes de Isaac Newton, Lagrange creó una nueva y brillante visión de la mecánica. Lo hizo utilizando el cálculo de variaciones para revelar las amplias implicaciones de un único principio físico, el trabajo virtual. Uno de sus resultados fue la función lagrangiana, indispensable en la física avanzada, que se calcula restando la energía potencial de la energía cinética.
La visión de Lagrange se basaba totalmente en el álgebra y el cálculo. Creía que esto era más riguroso matemáticamente que las ideas intuitivas generadas por la geometría. Consideraba que sus métodos situaban a la mecánica en el ámbito de las matemáticas puras.
En la mecánica celeste, Lagrange descubrió los puntos lagrangianos, amados tanto por los escritores de ciencia ficción como por los planificadores de observatorios y estaciones espaciales.
Lagrange nos dio la conocida notación f′(x) para representar la derivada de una función, f′′(x) una segunda derivada, etc., y de hecho fue él quien nos dio la palabra derivada.
Logros y puntos clave
Joseph-Louis Lagrange fue un prolífico matemático y físico autodidacta. Algunos de sus principales logros son:
Lagrange:
- Se basó en el trabajo anterior de Leonhard Euler para crear el cálculo de variaciones – lo llamó su «método de variaciones».’
- Introdujo la notación ∂ y creó las primeras ecuaciones diferenciales parciales.
- Dio el enunciado más generalizado del principio de mínima acción de su época.
- Creó un campo completamente nuevo de la mecánica, la mecánica lagrangiana, tanto para sólidos como para fluidos, basado en el concepto de trabajo virtual y utilizando la función lagrangiana.
- Introduce el concepto de coordenadas generalizadas. La mecánica lagrangiana puede utilizarse en cualquier sistema de coordenadas – los problemas se simplifican eligiendo uno apropiado.
- Creó el concepto de potencial: el campo gravitatorio, por ejemplo, es un campo potencial.
- Descubrió las órbitas lagrangianas.
- Resolvió problemas centenarios de teoría de números planteados por Fermat que habían derrotado a otros matemáticos.
- Fue uno de los fundadores de la teoría de grupos.
- Jugó un papel clave en la creación del sistema métrico de pesos y medidas.
Inicios
Joseph-Louis Lagrange nació en el seno de una familia próspera (sus padrinos eran aristócratas) en la ciudad italiana de Turín, Piamonte, el 25 de enero de 1736.
Al nacer se llamaba Giuseppe Lodovico Lagrangia. Se suele utilizar la forma francesa de su nombre porque escribió muchos de sus trabajos en francés y, en la última parte de su vida, se estableció en París.
Cuando era adolescente en Italia, Joseph comenzó a llamarse a sí mismo Lagrange. Tenía antepasados franceses por ambos lados de su familia, de lo que parece haberse enorgullecido, aunque siempre se consideró piamontés más que francés. Después de muchos años en París mantuvo su fuerte acento italiano.
José recibió el nombre de su padre, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, tesorero del rey, responsable de las fortificaciones e infraestructuras de Turín. La madre de José era María Teresa Grosso, hija de un eminente médico. José fue el mayor de sus once hijos, de los que sólo dos sobrevivieron a la infancia.
Educación
En 1750, a la edad de 14 años, José ingresó en la Universidad de Turín. Aburrido por la geometría de Euclides y Arquímedes, no tenía interés en estudiar matemáticas.
Pensaba seguir los pasos de su padre y estudiar derecho. Su padre, sin embargo, había tenido problemas financieros por especular de forma imprudente.
El interés de Joseph por las matemáticas se despertó cuando leyó un artículo escrito en el siglo anterior por Edmund Halley en el que éste utilizaba ecuaciones algebraicas para describir el rendimiento óptico de las lentes. En contraste con la geometría, algo del álgebra de Halley le cautivó.
Se alejó del derecho y comenzó a asistir a conferencias de matemáticas y física. Aunque disfrutaba de ellas, fue empaparse de los libros de vanguardia de matemáticos como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin y Jean d’Alembert lo que le catapultó a un ritmo casi milagroso.
Lagrange no dormía mucho. Adquirió el hábito de toda la vida de mantenerse despierto durante largas horas de trabajo con la ayuda del té y el café.
El concepto de las matemáticas de Lagrange
René Descartes y Pierre de Fermat habían demostrado que la geometría y el álgebra son intercambiables. El vínculo se sospechaba desde hacía tiempo. En el siglo XI, Omar Khayyam había escrito:
«Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas ha pensado en vano. No hay que prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se demuestran en las proposiciones 5 y 6 del libro 2 de los Elementos de Euclides.»
Isaac Newton había producido su famoso sistema del mundo en Principia apoyándose en ideas geométricas.
Lagrange creció en la creencia de que los avances en la mecánica se verían inhibidos por la geometría. Se inclinó por el análisis, un enfoque totalmente algebraico del cálculo.
«Los grandes maestros del análisis moderno son Lagrange, Laplace y Gauss, que fueron contemporáneos… Lagrange es perfecto tanto en la forma como en la materia, es cuidadoso al explicar su procedimiento, y aunque sus argumentos son generales son fáciles de seguir. Laplace en cambio no explica nada… Gauss es tan exacto y elegante como Lagrange, pero aún más difícil de seguir que Laplace…»
Matemático novato
En 1754, a los 18 años, Joseph Lagrange publicó su primer trabajo matemático: Carta a Giulio Carlo da Fagnano. En ella describía su descubrimiento de que la expansión del binomio y la fórmula de la diferencial de un producto tienen coeficientes idénticos.
Este no era un resultado nuevo, aunque al principio pensó que lo era.
La vida de Lagrange en su contexto
La vida de Joseph Lagrange y las vidas de matemáticos relacionados.
Obras de Joseph-Louis Lagrange
Cálculo de Variaciones
En agosto de 1755, a la edad de 19 años, Lagrange envió un documento al mayor matemático vivo del mundo, Leonhard Euler. En él describía su nuevo método para hallar los máximos y los mínimos de las funciones, un brillante avance en el cálculo. En septiembre de 1755, Euler le respondió expresando su gran admiración por el trabajo de Lagrange.
Unos días más tarde, a Lagrange se le ofreció y aceptó un trabajo como profesor asistente de matemáticas en una escuela de artillería en Turín – la Real Academia Militar. Dejó la Universidad de Turín sin título y comenzó a enseñar cálculo &mecánico. Sus alumnos eran todos mayores que él y no era el mejor de los profesores: era más bien tímido y sus clases eran demasiado avanzadas para sus alumnos.
La correspondencia posterior entre Lagrange y Euler dio lugar a una nueva rama de las matemáticas: el cálculo de variaciones.
Euler estaba tan abrumado por la importancia del trabajo de Lagrange que propuso que el joven turinés fuera elegido miembro extranjero de la Academia de Berlín. Lagrange fue debidamente elegido el 2 de septiembre de 1756, a la edad de 20 años.
Lagrange siempre creyó que la fundación del cálculo de variaciones era su mayor obra. Le consagró, siendo aún un adolescente, como uno de los mayores matemáticos del siglo XVIII.
Hilbert y el cálculo de variaciones
David Hilbert
En 1900, 145 años después de que Lagrange creara el cálculo de variaciones, éste seguía siendo uno de los campos más importantes de las matemáticas. Cuando David Hilbert planteó sus famosos 23 problemas a los matemáticos del mundo, tres de ellos se referían al cálculo de variaciones:
- Problema 19: ¿Son las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones siempre necesariamente analíticas? Esto fue resuelto por Ennio de Giorgi y John F. Nash. La respuesta es sí.
- Problema 20: ¿Tienen soluciones todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno? Esto generó una enorme cantidad de trabajo realizado por un gran número de matemáticos. La respuesta es sí.
- Problema 23: Se requiere un mayor desarrollo del cálculo de variaciones. Este es un problema que, como reconoció Hilbert, no tiene una solución definitiva. Sin embargo, consideraba que el campo era tan vital para el futuro de las matemáticas que no tuvo inconveniente en convertirlo en su último problema.
Una visión
Lagrange tenía grandes ideas. A los 20 años, su visión era unir toda la mecánica utilizando un solo principio fundamental:
«Deduciré la mecánica completa de los cuerpos sólidos y fluidos utilizando el principio de mínima acción.»
Lagrange logró finalmente su objetivo en la década de 1780, describiendo su éxito en la Mecánica Analítica en 1788. El único principio unificador resultó ser el trabajo virtual y no la mínima acción. La primera vez que utilizó el trabajo virtual fue en 1763, en un artículo sobre la libración de la luna.
Fundación de la Academia de Ciencias de Turín
Lagrange se hartó de las actitudes científicas acartonadas de Turín. En 1757, se reunió con otros dos antiguos alumnos para formar la Sociedad Privada de Turín. El objetivo de la Sociedad era cultivar la investigación científica al estilo de las Academias de Ciencias de Francia y Berlín.
En 1759, la nueva sociedad comenzó a publicar su propia revista en francés y latín: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscelánea de Filosofía y Matemáticas.
En 1783, con el apoyo del Rey, la sociedad se convirtió en la Real Academia de Ciencias de Turín.
Marchando más allá de Newton
Lagrange comenzó a publicar sus trabajos en la revista de su sociedad. En muchos de ellos aplicó su nuevo cálculo de variaciones al mundo físico para descubrir nuevos resultados y arrojar nueva luz sobre los fenómenos. Sus trabajos de esta época aparecen en tres volúmenes históricos, todos ellos con una gran variedad de trabajos innovadores, entre los que destacan:
- La teoría de la propagación del sonido, que incluye la primera descripción matemática completa de una cuerda que vibra como una onda transversal. También, el primer uso del cálculo diferencial en la teoría de la probabilidad.
- La teoría y la notación del cálculo de variaciones, las soluciones a los problemas de dinámica y la deducción del principio de mínima acción.
- Soluciones a más problemas de dinámica, el primer uso de la función lagrangiana, las ecuaciones diferenciales generales que describen tres cuerpos atraídos mutuamente por la gravedad, la integración de las ecuaciones diferenciales y la solución a un problema centenario que Pierre de Fermat había planteado en la teoría de los números.
Bloqueo de mareas &Libración de la Luna
En 1764, Lagrange ganó el premio de la Academia Francesa de Ciencias por su estudio que describe por qué sólo vemos una cara de la Luna y por qué observamos la libración. La libración es un aparente bamboleo y balanceo de la luna causado por efectos orbitales que nos permite ver más de su superficie de lo que podríamos esperar. Como resultado de la libración de la luna, cuando la observamos durante un período de tiempo, podemos ver realmente alrededor del 59 por ciento de su superficie en lugar del 50 por ciento que podríamos esperar inicialmente.
La obra premiada de Lagrange fue también significativa porque utilizó por primera vez el principio del trabajo virtual: más tarde utilizó este principio como fundamento de la mecánica lagrangiana.
Las lunas de Júpiter
En 1766, Lagrange volvió a ganar el premio de la Academia Francesa de Ciencias, esta vez por su explicación de las órbitas de las lunas de Júpiter.
Los años de Berlín: 1766-1786
A la edad de 30 años, Lagrange se trasladó a Berlín, sustituyendo a Euler como director de matemáticas en la Academia Prusiana de Ciencias. La Academia había intentado atraerlo desde los 19 años, pero él se había negado porque sentía que estaría a la sombra de Euler.
Los 20 años que Lagrange pasó en Berlín fueron sus más productivos. Aunque a veces tuvo que dejar de trabajar debido a su mala salud, cuando ésta era buena, publicaba artículos originales y valiosos a razón de uno al mes. La mayoría fueron publicados por la Academia de Berlín, mientras que otros aparecieron en otros dos volúmenes de Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Ecuaciones diferenciales parciales
En la década de 1770 y la primera mitad de la década de 1780, la producción de Lagrange sobre las ecuaciones diferenciales fue prodigiosa, lo que le llevó a crear las matemáticas de las ecuaciones diferenciales parciales.
Ecuaciones diferenciales parciales
Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para describir el cambio en el mundo real. Describen la relación entre una cantidad física, como la velocidad, y su tasa de cambio.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen una única cantidad cambiante, como la velocidad.
Un gráfico de densidad de probabilidad para un electrón en el orbital 2p de un átomo de hidrógeno. El gráfico se construye a partir de la solución de la ecuación de Schrödinger, una ecuación diferencial parcial.
Lagrange creó ecuaciones diferenciales parciales para describir situaciones más complicadas en las que cambia más de una cantidad; en la jerga matemática, las ecuaciones diferenciales parciales describen una función de varias variables cambiantes.
Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial muy conocida en mecánica cuántica cuya solución permite deducir los orbitales de los electrones. Estos orbitales describen el volumen dentro del cual esperamos encontrar un electrón en un átomo.
Teoría de grupos &Simetría
El teorema de Langrange, que data de 1771, consiste en que el orden de un subgrupo siempre debe dividir exactamente el orden del grupo. Este fue uno de los primeros pasos en la teoría de grupos.
Puntos de Lagrange
En 1772, Lagrange volvió a un problema que le intrigaba: el problema de los tres cuerpos en la gravedad. Su tratado sobre el tema, Essai sur le Problème des Trois Corps, le hizo ganar de nuevo el Premio de la Academia Francesa de Ciencias.
Consideró una situación en la que hay dos objetos de masa relativamente alta, como la tierra y el sol, orbitando un centro de gravedad mutuo. Calculó el potencial gravitatorio para este tipo de situación, resumido en el mapa de contornos que se muestra a continuación.
Mapa de contorno del potencial gravitatorio para el sistema Tierra-Sol, mostrando los cinco puntos lagrangianos: L1, L2, L3, L4, L5.
Donde las líneas de contorno están cerca, el potencial gravitatorio es alto. Del mismo modo, donde las líneas están más alejadas, el potencial gravitatorio es menor.
Lagrange identificó cinco puntos de equilibrio, los puntos lagrangianos L1, L2, L3, L4 y L5. Los objetos situados en estos puntos mantienen su posición respecto a las dos masas mayores. (Euler identificó los puntos L1, L2 y L3, unos años antes en un análisis menos exhaustivo.)
Hoy en día el Satélite del Observatorio Solar y Heliosférico de la NASA está situado en el punto L1 Tierra-Sol, lo que permite ver el sol sin interrupción desde una plataforma estable.
El telescopio espacial James Webb, sucesor del telescopio espacial Hubble, está previsto que se sitúe en el punto L2 tierra-sol en 2020.
Mecánica Lagrangiana
Lagrange completó su obra maestra, la Mecánica Analítica, en Berlín a principios de la década de 1780. Pasarían varios años antes de que encontrara un editor.
«Casi he completado un libro sobre mecánica analítica fundado únicamente en el principio . Pero como aún no tengo idea de dónde y cuándo podrá ser publicado, no tengo ninguna prisa por terminarlo.»
Lagrange se enorgullecía de que su libro no contuviera diagramas: consideraba la mecánica como una rama de las matemáticas puras, una geometría de cuatro dimensiones: tres de espacio y una de tiempo. Creía que se encontrarían mayores verdades en el rigor del álgebra y el cálculo fusionados en el análisis que en lo que él veía como un pensamiento intuitivo representado en diagramas. Estaba orgulloso de haber sacado la mecánica de la provincia de la geometría y haberla colocado firmemente en el dominio del análisis.
Lagrange elaboró todo a partir de un único principio fundamental: el trabajo virtual. Partiendo de este principio, al que aplicó el cálculo de variaciones, produjo la función lagrangiana en coordenadas generalizadas, lo que permitió abordar un gran número de problemas de la mecánica desde una nueva dirección, y resolver problemas antes insolubles.
La mecánica lagrangiana condujo a una comprensión más profunda del mundo físico. Por ejemplo, más de 150 años después de que Lagrange escribiera la Mecánica Analítica, el artículo de Paul Dirac The Lagrangian in Quantum Mechanics (El Lagrangiano en la Mecánica Cuántica) condujo a Richard Feynman a una formulación totalmente nueva de la mecánica cuántica, luego a las integrales de trayectoria y, finalmente, a la solución completa de la electrodinámica cuántica que él describió como «la joya de la física.»
Los años de París: 1786-1813
Aunque Lagrange escribió su obra maestra, la Mecánica Analítica, en Berlín, no se publicó hasta 1788, después de haberse trasladado a París por invitación de la Academia Francesa de Ciencias.
En sus primeros años en París, Lagrange se vio abrumado por la depresión y la falta de energía: descubrió que nada podía mantener su interés. Dos cosas le ayudaron a salir de su letargo: su matrimonio en 1792 con una joven y simpática esposa; y ser nombrado presidente de la comisión de pesos y medidas en 1793.
Sobreviviendo al Terror
El Reinado del Terror de la Revolución Francesa comenzó en 1793. Lagrange sobrevivió a él. Le ayudó el hecho de ser extranjero. Además, era de modales suaves y siempre hizo lo posible por evitar las discusiones y la política.
Antoine Lavoisier, miembro de la comisión de pesos y medidas y fundador de la química moderna, no tuvo tanta suerte: perdió la cabeza en 1794. Lagrange se horrorizó ante el destino de Lavoisier, comentando:
«Sólo hizo falta un momento para que su cabeza cayera, pero cien años no bastarían para reproducirla».
El sistema métrico
Lagrange defendió con fuerza la adopción del kilogramo y el metro. Estos fueron aceptados por la comisión en 1799.
Ècole Polytechnique
En 1794, la Ècole Polytechnique se abrió en París, con Lagrange, ahora con 58 años, nombrado profesor de matemáticas. Sus conferencias fueron saboreadas por otros profesores. Sin embargo, todos los estudiantes, excepto los más capaces, las encontraban demasiado difíciles. Esta situación era similar a la de muchos años antes, cuando, siendo un adolescente, daba clases en Turín.
Sophie Germain, excluida de la Politécnica por ser mujer, obtuvo los apuntes de las clases de Análisis de Lagrange y se deleitó con ellos: eran los mejores apuntes de matemáticas que había visto. Lagrange se enteró del talento matemático de Germain, la visitó y difundió su brillantez.
La familia y el fin
En 1767, a los 31 años, Lagrange se casó con su prima Vittoria Conti. No quería tener hijos y los dos eran cómodos compañeros: se conocían desde hacía tiempo. Ninguno de los dos gozaba de buena salud, y Vittoria enfermaba con frecuencia. Murió en 1783 tras 16 años de matrimonio. Lagrange la lloró profundamente y se deprimió.
En París, en 1792, Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier, de 24 años, se convirtió en devota de Lagrange, que tenía 56 años. Lo conoció a través de su padre, el astrónomo Pierre Charles Le Monnier. Renée sintió pena por Lagrange: era un hombre brillante que parecía haber perdido el apetito por la vida; parecía estar inusualmente triste y cansado del mundo. Renée decidió casarse con él y se mantuvo firme contra todas las objeciones. Los dos se casaron y resultó ser una unión feliz para ambos. No tuvieron hijos.
En 1802, Lagrange adquirió la nacionalidad francesa.
Lagrange asistía regularmente a la misa católica romana, aunque por lo demás parece haber hablado poco de su religión.
Joseph-Louis Lagrange murió, a la edad de 77 años, el 10 de abril de 1813 en París. Sobrevivido por su esposa Renée, fue enterrado en el Panteón, lugar de descanso final de muchas personas eminentes como Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin y Pierre & Marie Curie.
Cuando se inauguró la Torre Eiffel en 1889, Lagrange fue uno de los 72 científicos, ingenieros y matemáticos franceses cuyos nombres fueron grabados en placas en la torre.
«Todas sus composiciones matemáticas destacan por una singular elegancia, por la simetría de las formas y la generalidad de los métodos, y si se puede hablar así, por la perfección del estilo analítico».
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Lectura adicional
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, Londres, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Mecánica analítica: Traducido y editado por Auguste Boissonnade y Victor N. Vagliente
Springer Science &Business Media, Abr 2013