Últimamente he tratado de encontrar algunas buenas películas relacionadas con las matemáticas y he encontrado «Good Will Hunting». Es una película antigua (1997), pero aunque he oído hablar mucho de ella nunca la he visto. Así que pensé que era el momento de probarla. La película sigue a un obrero de 20 años, Will Hunting, un genio no reconocido que, como parte de un acuerdo de enjuiciamiento diferido después de agredir a un oficial de policía, se convierte en cliente de un terapeuta y estudia matemáticas avanzadas con un profesor de renombre.
La película es increíble y me encantó. Consigues ver cómo Will reevalúa sus relaciones con la gente que le rodea y cómo se enfrenta a su pasado y decide sobre su futuro. Totalmente recomendable esta película. En este post no quiero hablar de la parte sentimental, pero quiero mencionar algunas matemáticas interesantes que aparecen en ella.
El problema al que me refiero es el que aparece al principio de la película, cuando el profesor pone a sus alumnos una tarea complicada:
El problema no es extremadamente fácil de entender porque sí que implica bastantes matemáticas de nivel universitario: álgebra lineal (teoría elemental de matrices, potencias de matrices, forma normal de Jordan), análisis (convergencia en espacios vectoriales normados, series de potencias, convergencia de series de potencias), combinatoria (función generadora, recuento, fórmulas de recurrencia) y teoría de grafos (matriz de adyacencia, caminos, potencias de la matriz de adyacencia).
El problema proviene principalmente del campo de las matemáticas llamado Teoría de Grafos. Se trata del estudio de los grafos, estructuras matemáticas que modelan las relaciones de pareja entre objetos. Un grafo en este contexto está formado por vértices, nodos o puntos que están conectados por aristas, arcos o líneas. Podemos decir que los grafos pueden ser no dirigidos (no hay distinción entre los 2 vértices asociados a cada arista) y dirigidos (sus aristas se dirigen de un vértice a otro).
Resulta que al final los problemas están relacionados con la fórmula de Cayley que afirma que el número de árboles etiquetados en nodos es nn-2. Luego enumera 8 árboles no etiquetados diferentes con 10 nodos. Para aclarar esto, hay que entender que un árbol es un grafo no dirigido en el que dos vértices cualesquiera están conectados por exactamente un camino. Por si te lo preguntas, las matemáticas también tienen la noción de bosque en este caso: una unión disjunta de árboles.
Para una explicación más matemática, te aconsejo que leas Matemáticas en Good Will Hunting II: Problems from the Students Perspective. También, Numberphile tiene una gran película sobre este problema:
Totalmente te aconsejo que leas más sobre esto y tal vez (¡¿por qué no?!) empieces a leer sobre teoría de grafos (haz clic en la imagen para más información):
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¡No olvides que las matemáticas están en todas partes! Disfrutad!
