El modelo encontrará los valores de Ts y Ta que permitirán que la potencia radiativa saliente, que escapa de la parte superior de la atmósfera, sea igual a la potencia radiativa absorbida de la luz solar. Cuando se aplica a un planeta como la Tierra, la radiación saliente será de onda larga y la luz solar de onda corta. Estas dos corrientes de radiación tendrán características distintas de emisión y absorción. En el modelo idealizado, suponemos que la atmósfera es completamente transparente a la luz solar. El albedo planetario αP es la fracción del flujo solar entrante que se refleja en el espacio (dado que se supone que la atmósfera es totalmente transparente a la radiación solar, no importa si este albedo se imagina causado por la reflexión en la superficie del planeta o en la parte superior de la atmósfera o una mezcla). La densidad de flujo de la radiación solar entrante se especifica mediante la constante solar S0. Para su aplicación al planeta Tierra, los valores adecuados son S0=1366 W m-2 y αP=0,30. Teniendo en cuenta que la superficie de una esfera es 4 veces el área de su intercepción (su sombra), la radiación media entrante es S0/4.
Para la radiación de onda larga, se supone que la superficie de la Tierra tiene una emisividad de 1 (es decir, la Tierra es un cuerpo negro en el infrarrojo, lo cual es realista). La superficie emite una densidad de flujo radiativo F según la ley de Stefan-Boltzmann:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}
donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann. Una clave para entender el efecto invernadero es la ley de Kirchhoff de la radiación térmica. En cualquier longitud de onda, la absorbencia de la atmósfera será igual a la emisividad. La radiación de la superficie podría estar en una porción ligeramente diferente del espectro infrarrojo que la radiación emitida por la atmósfera. El modelo supone que la emisividad (absortividad) media es idéntica para cualquiera de estas corrientes de radiación infrarroja, ya que interactúan con la atmósfera. Así, para la radiación de onda larga, un símbolo ε denota tanto la emisividad como la absortividad de la atmósfera, para cualquier corriente de radiación infrarroja.
La densidad de flujo infrarrojo que sale de la parte superior de la atmósfera:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}.
En el último término, ε representa la fracción de la radiación de onda larga ascendente de la superficie que es absorbida, la absortividad de la atmósfera. En el primer término de la derecha, ε es la emisividad de la atmósfera, el ajuste de la ley de Stefan-Boltzmann para tener en cuenta el hecho de que la atmósfera no tiene espesor óptico. Así, ε desempeña el papel de mezclar o promediar las dos corrientes de radiación en el cálculo de la densidad de flujo hacia el exterior.
La radiación neta cero que sale de la parte superior de la atmósfera requiere:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{frac {1}{4}}S_{0}(1-\alfa _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
La radiación neta cero que entra en la superficie requiere:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}.
El equilibrio energético de la atmósfera puede derivarse de las dos condiciones de equilibrio anteriores o deducirse independientemente:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
Nótese el importante factor de 2, resultante del hecho de que la atmósfera irradia tanto hacia arriba como hacia abajo.Así, la relación entre Ta y Ts es independiente de ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}={T_{s} \\\Nsuperior a 1,189}.
Así, Ta puede expresarse en términos de Ts, y se obtiene una solución paraTs en términos de los parámetros de entrada del modelo:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-\frac {\epsilon }{2}right)\sigma T_{s}^{4}}.
o
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}
La solución también puede expresarse en términos de la temperatura efectiva de emisión Te, que es la temperatura que caracteriza la densidad de flujo infrarrojo saliente F, como si el radiador fuera un radiador perfecto que obedece a F=σTe4. Esto es fácil de conceptualizar en el contexto del modelo. Te es también la solución para Ts, para el caso de ε=0, o sin atmósfera:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\quiv \left^{1/4}}
Con la definición de Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\\\i1/4}
Para un invernadero perfecto, sin que la radiación se escape de la superficie, o ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
Usando los parámetros definidos anteriormente para que sean apropiados para la Tierra,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Para ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
Para ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \T_{a}=242,5~mathrm {K} }
.
Este valor de Ts resulta ser cercano a los 287,2 K publicados de la «temperatura superficial» media mundial basada en mediciones. ε=0,78 implica que el 22% de la radiación superficial se escapa directamente al espacio, lo que coincide con la afirmación de que entre el 15% y el 30% se escapa en el efecto invernadero.
El forzamiento radiativo por duplicar el dióxido de carbono es de 3,71 W m-2, en una parametrización simple. Este es también el valor avalado por el IPCC.A partir de la ecuación para F {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}right)}
La utilización de los valores de Ts y Ta para ε=0,78 permite obtener Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 con Δε=.019. Así, un cambio de ε de 0,78 a 0,80 es consistente con el forzamiento radiativo de una duplicación del dióxido de carbono. Para ε=0,80, T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Así, este modelo predice un calentamiento global de ΔTs = 1,2 K para una duplicación del dióxido de carbono. Una predicción típica de un MCG es de 3 K de calentamiento de la superficie, principalmente porque el MCG permite una retroalimentación positiva, especialmente por el aumento del vapor de agua. Un sustituto sencillo para incluir este proceso de retroalimentación es plantear un aumento adicional de Δε=.02, para un total de Δε=.04, para aproximar el efecto del aumento del vapor de agua que estaría asociado a un aumento de la temperatura. Este modelo idealizado predice entonces un calentamiento global de ΔTs = 2,4 K para una duplicación del dióxido de carbono, lo que coincide aproximadamente con el IPCC.