Entonces, el mundo de las matemáticas ofrece numerosos tipos de números, cada uno con sus propiedades particulares. Los matemáticos formulan teorías sobre las relaciones entre los números y los grupos de números. Defienden sus teorías con axiomas (afirmaciones previamente establecidas que se suponen verdaderas) y teoremas (afirmaciones basadas en otros teoremas o axiomas).
Sin embargo, el primer paso para construir una nueva y brillante teoría matemática es formular una pregunta teórica sobre las relaciones entre los números. Por ejemplo, ¿puede la suma de dos cubos ser un cubo? ¿Recuerdas los triples pitagóricos de la página anterior? Estos tríos de tres números, como (3, 4, 5), resuelven la ecuación a2 + b2 = c2. ¿Pero qué pasa con a3 + b3 = c3? El matemático Pierre de Fermat se hizo la misma pregunta sobre los cubos y, en 1637, afirmó haber elaborado una prueba matemática que, a través de una línea tras otra de lógica minuciosa, demostraba sin lugar a dudas que no, la suma de dos cubos no puede ser un cubo. Lo llamamos el último teorema de Fermat. Desgraciadamente, en lugar de proporcionar la prueba completa en sus notas, Fermat se limitó a escribir: «Tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener».
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Siguieron más de tres siglos y medio durante los cuales los matemáticos de todo el mundo intentaron en vano redescubrir la prueba de Fermat. ¿Qué es lo que se buscaba en esta búsqueda? Nada, salvo el orgullo académico y el amor por las matemáticas puras y abstractas. Luego, en 1993, con la ayuda de la matemática computacional no descubierta en la época de Fermat, el matemático inglés Andrew Wiles logró demostrar el teorema de 356 años. Los expertos siguen discutiendo si Fermat realmente elaboró una prueba tan fenomenal en su época anterior a la computación, o si se equivocó.
Otras cuestiones de la teoría de los números relacionadas con diversos patrones percibidos o teóricos en los números o grupos de números. Todo comienza con el aspecto más crucial del pensamiento inteligente: el reconocimiento de patrones. El profesor de matemáticas de la Universidad de Brown, Joseph H. Silverman, establece cinco pasos básicos en la teoría de los números:
- Acumular datos matemáticos o abstractos.
- Examinar los datos y buscar patrones o relaciones.
- Formular una conjetura (normalmente en forma de ecuación) para explicar estos patrones o relaciones.
- Poner a prueba la conjetura con datos adicionales.
- Imaginar una prueba que demuestre que la conjetura es correcta. La prueba debe comenzar con hechos conocidos y terminar con el resultado deseado.
El Último Teorema de Fermat, por lo tanto, fue realmente una conjetura durante 356 años y sólo se convirtió en un teorema verdadero en 1993. Otras, como la Prueba de los Primeros Infinitos de Euclides (que demuestra que los números primos son ilimitados), sigue siendo un modelo sólido de razonamiento matemático desde el año 300 a.C. Otras conjeturas de la teoría de los números, tanto antiguas como nuevas, siguen sin probarse.
Los números son tan infinitos como finito es el entendimiento humano, por lo que la teoría de los números y sus diversos subcampos seguirán cautivando las mentes de los amantes de las matemáticas durante años. Los viejos problemas pueden caer, pero surgirán nuevas y más complicadas conjeturas.
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