En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor ‘X’, calculamos un cuarto valor Y.
A ⟶ B X ⟶ Y {\displaystyle {\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow &B\\X&\longrightarrow &Y\end{array}}}
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa. Será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa cuando a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B.
Regla de tres simple directaEditar
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
B A = Y X = k {\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {Y}{X}}=k}
Donde k es la constante de proporcionalidad. Para que esta proporcionalidad se cumpla se tiene que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Se puede representar de la forma:
A ⟶ B X ⟶ Y } → Y = B ⋅ X A {\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow &B\\X&\longrightarrow &Y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {B\cdot X}{A}}}
Se dice entonces que A es a B directamente proporcional, como X es a Y, siendo A
igual al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
2 habitaciones ⟶ 8 litros 5 habitaciones ⟶ Y litros } → Y = 8 litros ⋅ 5 habitaciones 2 habitaciones = 20 l i t r o s {\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}2\;{\text{habitaciones}}&\longrightarrow &8\;{\text{litros}}\\5\;{\text{habitaciones}}&\longrightarrow &Y\;{\text{litros}}\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {8\;{\text{litros}}\cdot 5\;{\text{habitaciones}}}{2\;{\text{habitaciones}}}}=20\;litros}
Regla de tres simple inversaEditar
En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:
A ⋅ B = X ⋅ Y = e {\displaystyle A\cdot B=X\cdot Y=e}
donde e es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de A necesitará una disminución de B, para que su producto permanezca constante. Esta relación puede representarse de la forma:
A ⟶ B X ⟶ Y } → Y = A ⋅ B X {\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow &B\\X&\longrightarrow &Y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {A\cdot B}{X}}}
y se dice que A es a B inversamente proporcional, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
8 trabajadores ⋅ 15 horas = 5 trabajadores ⋅ Y horas = 120 horas de trabajo {\displaystyle 8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}=5\;{\text{trabajadores}}\cdot Y\;{\text{horas}}=120\;{\text{horas de trabajo}}}
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y debemos aplicar una regla de tres simple inversa, en efecto:
8 trabajadores ⟶ 15 horas 5 trabajadores ⟶ Y horas } → Y = 8 trabajadores ⋅ 15 horas 5 trabajadores = 24 horas {\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}8\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &15\;{\text{horas}}\\5\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &Y\;{\text{horas}}\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}}{5\;{\text{trabajadores}}}}=24\;{\text{horas}}}
