Este Día de Acción de Gracias estuve con mi prima pequeña, que estaba repartiendo cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Le hice la siguiente pregunta:
«¿Cuántas veces podrías repartir toda la baraja y ver un orden único de las cartas – diferente de cada vez que has repartido la baraja en el pasado?»
O para decirlo de otra manera,
«¿Cuántas reparticiones únicas (‘permutaciones’) de las 52 cartas hay?»
Si has hecho algo de teoría de números (o mirado el título del post), sabes la respuesta – ¡52! (También conocido como factorial 52. Sin embargo, me entusiasmaría igualmente que la respuesta fuera 52 – eso sería muy extraño e interesante)
Busqué maneras de tratar de entender ese número en Internet, y obtuve variaciones de la misma respuesta, que eran bastante inexplicables para mi primo. Así que he decidido intentarlo yo mismo.
Imagina que dejas de hacer todo lo que estabas haciendo, y durante el resto de tu vida, cada segundo de tu vida, noche y día, te repartes una nueva mano mágicamente barajada de las 52 cartas. Esta magia hace que nunca recibas una mano que hayas visto antes. Quieres saber cuántos repartos únicos hay, y tienes una profunda desconfianza en los matemáticos: necesitas verlo con tus propios ojos.
Primero tienes una mano que casualmente empieza con la jota de tréboles, luego la jota de corazones, luego la jota de picas y luego las otras 49 cartas. «Hmm, ¡Interesante!» Piensas… para ti mismo, ya que probablemente no tengas muchos amigos si este es tu hobby.
Al segundo siguiente, tienes una mano que empieza con el As de Corazones, luego tiene las 51 cartas restantes.
Sigues, y a la semana siguiente estás bastante aburrido. ¿Cuándo voy a terminar? Ese martes ves un reparto que tiene la jota de corazones, luego la jota de bastos, luego la jota de picas y todo el resto de las cartas en la misma posición exacta que obtuviste en el primer reparto.
«¡Vaya, eso es súper interesante, y súper parecido a la primera mano, pero sigue siendo una mano nueva!». Exclamas a una habitación llena de cajas de pizza vacías, y en este punto amigos imaginarios ya que no has dormido en una semana.
Te das cuenta de que necesitarás algo de ayuda para seguir haciendo esto. Así que te las arreglas para convencer a todas las demás personas de la tierra, los 7 mil millones de ellas, para que lo hagan contigo, cada segundo de cada día. ¡Debes resolver esto! Por alguna razón no eres capaz de convencer a los matemáticos para que trabajen en tu proyecto, pero de todos modos nunca has sido un gran fan de ellos.
Aún así, las cosas no están progresando lo suficientemente rápido. Decides inventar una máquina del tiempo, y una Fuente de la Juventud, y todo el mundo vuelve al principio del universo, empezando de nuevo con los 7.000 millones de personas repartiendo manos de cartas, todo el día, todos los días, una vez por segundo por persona. Crees que esto seguramente funcionará, ¡y entonces podrás ver dinosaurios! Hay muchos segundos desde ahora hasta el principio del universo: le preguntaste a un astrónomo y te dijo que había 4×10^27 segundos desde entonces, o sea 4 seguido de 17 ceros. Los matemáticos te acompañan, pero siguen negándose a ayudar a repartir las cartas. Sólo están para ver dinosaurios, dicen. Uno grita: «¡Buena suerte con tu pequeño proyecto!» y todos se ríen.
Esto te inquieta un poco, pero no tienes tiempo para sus payasadas, y rápidamente te olvidas de ellas mientras vuelves a repartir cartas.
El Big Bang sucede, y el universo se expande. Las galaxias se forman y las primeras estrellas se crean y explotan, sembrando el cosmos con hierro y otros elementos pesados. Se forma el sistema solar y, poco a poco, los planetas. La Tierra se enfría, se forma un océano y la vida se desencadena. Mientras tanto, 7.000 millones de personas, cada día, todo el día, cada segundo, reparten manos de cartas únicas. Los dinosaurios deambulan por la Tierra y luego son aniquilados. Hace muchos eones te has convertido en la persona más odiada de la existencia por crear este proyecto y convencer a todos de que se unan a ti. El tiempo sigue pasando y la gente sigue repartiendo cartas hasta llegar a la fecha de hoy.
Miras hacia atrás y ves todo el progreso que has hecho. ¡Vaya! Hemos sido capaces de hacer 3×10^27 combinaciones, ¡es increíble! Eso es un 3 seguido de 27 ceros. Cuántos repartos diferentes de la baraja, todos únicos.
«¡Debemos estar cerca!», dices con confianza a los humanos agotados que están más cerca de dar vueltas a las cartas. Te miran con puro odio en los ojos. Desearías haber intentado preguntar a un matemático en primer lugar para averiguar si es posible encontrar todos los repartos únicos (los matemáticos los llaman «permutaciones»).
El matemático más inteligente y amable te toca en el hombro. Le has pedido que haga un gráfico de los progresos que has hecho para reunir todas las posibilidades diferentes, ya que no parecía reírse tanto como los demás cuando pasaba por allí y te veía repartir cartas. Te entrega una tabla.
«¿Qué es esto, una broma de mal gusto?» Exiges, enfurecido, ya que te ha entregado un gráfico con una barra de progreso que está en blanco.
«Tenemos que volver a viajar en el tiempo hasta el principio del universo… necesitas más tiempo para terminar…» Sugiere con cautela.
«Vale, bueno, está bien. ¿Cuántas veces más?» Le respondes, todavía furioso.
«10^40 veces…» Hay una pausa mientras la miras fijamente.
«Déjame decir el número», dice ella, «No creo que esa notación científica te haya calado… Es: Tres, cero, cero, cero, cero, cero…»
«Sólo escríbelo», la cortas, murmurando en voz baja sobre cómo nunca te gustaron los matemáticos de todos modos.
Ella lo escribe en un papel, explicando: «Tendrás que continuar este experimento con los siete mil millones de personas, volviendo repetidamente al principio del universo para conseguir más segundos para repartir las cartas».
«Tendrás que viajar al pasado tantas veces», repite con seguridad, con una nota de lástima en su voz.
El trozo de papel dice: «30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 veces».
Tus rodillas ceden y te desplomas en el suelo.
En el fondo de la desesperación, miras a la matemática. Ella sonríe.
«Sabes, podrías habernos preguntado a los matemáticos al principio. El número de combinaciones es 52!, que es simplemente 52*51*50…*3*2*1. Esto equivale a aproximadamente 8×10^67, o sea, 8 con 67 ceros después».
Asientes con la cabeza, sintiéndote aliviado por conocer la respuesta. Entonces miras hacia arriba. Ves a 7.000 millones de personas, que acaban de abandonar su trabajo y te miran con extrañeza. No te gusta su mirada. Cuando empiezan a ponerse en pie y a acercarse a ti, corres hacia tu máquina del tiempo, configurándola para transportarte sólo a ti al período Jurásico.
«¡Debería haber confiado en los matemáticos …. !» Tu voz se apaga mientras comienzas el viaje en el tiempo. Todavía no estás seguro de entender cómo funcionan los grandes números o la probabilidad, pero crees que es prudente arriesgarse con los terribles lagartos en su lugar.
De fondo, los matemáticos empiezan a reírse de nuevo.
Números:
- Edad del universo = 4×10^17
- 7.000.000.000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 mil millones / edad del universo en segundos = 3×10^40