Bisection

3.2 Minőségi közelítés felső és alsó mértékekkel és tranzitív megkülönböztethetetlenséggel

A pszichológiai megfontolást a küszöbértékek alatt, amelyeknél az érzékelési vagy más összehasonlító ítéletek nehézkesek, ha nem lehetetlenek, Fechner kezdeményezte. Fontos korai matematikai elemzést adott Wiener . A modern irodalom nagy része Luce félrend definíciójával kezdődik, amelyet Scott és Suppes egyetlen bináris relációként axiomatizált a véges esetben . A legjelentősebb hozzájárulások közül néhányat Falmagne írt .

A küszöbök valószínűségi elemzése legalább Thurstone munkáiból származik . Falmagne szintén központi szerepet játszott ebben a megközelítésben, és számos más, kollégáival közösen írt dolgozatot: Falmagne és Iverson , Falmagne et al., , valamint Iverson és Falmagne . Mindezen irodalom átfogó áttekintése megtalálható a Suppes et al., .

A hivatkozott munkák szinte mindegyike feltételezi, hogy a hasonló események, tárgyak vagy ingerek megkülönböztethetetlensége nem tranzitív kapcsolat. Az implicit feltételezés az, hogy sok különböző megkülönböztető megfigyeléssel sok kezdetben megkülönböztethetetlen eseményt lehet elkülöníteni. Itt az ellenkezője a kiindulópont, és ez az oka a “tranzitív” szó használatának a címben. A bevezetett axiómákból következik, hogy a megkülönböztethetetlenség ekvivalenciareláció, tehát tranzitív. E szakasz hátralévő része nagymértékben támaszkodik Suppes .

Az előző szakaszban röviden áttekintettem egy véges standard arányskála reprezentáció felépítésére összpontosító kiterjedt mérést. A tranzitív megkülönböztethetetlenség alapja most könnyen megmagyarázható. Egy mérlegelt objektumot egy egyedi minimális intervallumhoz rendelünk, például az 1,9 g és 2,0 g közötti intervallumhoz. Két, a és b objektum, amelyek nem részei a standard sorozatnak, súlyukban egyenértékűek, a ≈ b, bináris kapcsolata az, hogy a standard sorozatban ugyanahhoz a minimális intervallumhoz rendeljük őket. Ez a reláció nyilvánvalóan ekvivalencia reláció, azaz, reflexív, szimmetrikus és tranzitív, de a kidolgozott közelítési rendszerben ezek a tulajdonságok nem közvetlenül vizsgálhatók, hanem a standard már “kalibrált” súlykészletekkel végzett mérlegelési műveletek következményei.

A később használt jelölés szerint tehát egy objektum, amely a minimális intervallumhoz (1.9 g, 2,0 g), azt mondjuk, hogy közelítőleg felső (súly)mértéke w*(a) = 2,0 g és alsó mértéke w*(a) = 1,9 g. A gyakorlatban a legkifinomultabb mérési eljárások kivételével minden esetben nincs statisztikai elemzése annak, hogy egy ilyen minimális intervallumban van-e súlya. Azokban az esetekben, amikor a szabványos sorozat minimális intervalluma éppen a műszer teljesítményének határán van, ismételt mérések esetén statisztikai elemzés adható.

A hétköznapi gyakorlat nincs teljesen összhangban a minimális intervallum használatával, és ezáltal egy felső és egy alsó korlát hozzárendelésével, mint a megfelelő közelítő mérés. De amit tesznek, az szorosan és egyszerűen összefügg. Ahogyan azt az elemi fizikaórákon tanítják, ha egy mérést például “0,1 g pontossággal” fejezünk ki, akkor a mérést 1,9 ± 0,1 g-nak írjuk. A gyakorlatban általában azt javasolják, hogy a bizonytalanság csökkentésére két szomszédos minimális intervallumot használjunk, és magát a mérést egyetlen számként fejezzük ki. A 3. szakaszban megadott axiómák könnyen megváltoztathatók, hogy alkalmazkodjanak ehhez a két szomszédos, nem pedig egy minimális intervallum használatához.

Ugyanezt a ± jelölést széles körben használják az ismételt mérések statisztikai standard hibájának kifejezésére is. Itt koncepcionálisan fontos, hogy mind a felső, mind az alsó mértéket megtartsuk, mivel az axiómákban formalizált alapvetés szerint az adott körülmények között nem áll rendelkezésre finomabb mérés, mint a minimális intervallumé. A minimális intervallumon belüli elhelyezkedésre vonatkozó valószínűségi eloszlás elméleti konstrukciójának pedig nincs sok tudományos értelme. A hangsúlyozott pont az, hogy a megadott formalizáció egy lépéssel közelebb kíván kerülni a mérés sok, de bizonyára nem minden tényleges gyakorlatához, amikor egy rögzített standard-skála reprezentáció áll rendelkezésre.

A terminológia szempontjából azt, amit én véges, egyenlő távolságú extenzív struktúrának neveztem, ugyanúgy nevezhetnénk véges standard-sorozatú extenzív struktúrának is. A standard szekvenciák terminológiája ismerős a mérés alapjaival foglalkozó irodalomban. Ez a nyelvezet a standard sorozatot alkotó súlyok halmazaira a standard halmazok hasznos kifejezését javasolja.

A későbbi használat szempontjából fontos megjegyezni, hogy két A és B standard súlyhalmaz esetében, ha nem ekvivalens súlyúak, akkor a közöttük lehetséges legkisebb különbség egy atomhalmaz súlya. Pontosabban, az (A, B) rendezett halmazpár akkor minimális standardhalmazpár, ha μ(A) – μ(B) = μ(egy atomhalmaz), azaz különbségük valójában a nem ekvivalens standardhalmazok esetén a minimális. Megjegyezzük, hogy ha (A, B) egy minimális pár, akkor A ≥ B. Az ilyen párok ekvivalenciáját hasznos fogalomként definiálni. Két minimális pár (A, B) és (A′, B′,) ekvivalens, ha μ(A) = μ(A′) és μ(B) = μ(B′). Íme három megfigyelés, amely a későbbi viták szempontjából lényeges.

Feltételezve most egy véges, egyenlő távolságú extenzív struktúrát (amelyet véges standard sorozatnak is nevezünk), további axiómákat adunk a standard sorozat tartományában lévő bármely fizikai objektum megközelítő mérésére. A primitív fogalmak most

Ha (S1, S2) egy minimális pár és S1 ≥ W1 ≥ S2, akkor (S1 S2) azt mondjuk, hogy W1 számára minimális pár, és azt is mondjuk, hogy W1-nek van minimális párja.

Ezekkel az axiómákkal kapcsolatban indokolt néhány megjegyzés. Az 1. axióma csak a standard halmazok szerkezetét hozza be a közelítési keretbe. A 2. axióma megköveteli, hogy ne legyen átfedés a standard halmazokra kalibrált S-ben lévő objektumok és a mérlegelendő W-ben lévő objektumok között. A 3. axióma az egyetlen axióma, amely tisztán a mérlegelt objektumokra vonatkozik, standard súlyokkal végzett tesztek nélkül. A W ≥ összefüggő voltára vonatkozó követelménye ismerős. A 4-11. axiómák ezután olyan tesztelhető feltételezéseket fogalmaznak meg, amelyek elegendőek a standard halmazok tartományába eső súlyok közelítő mérésének igazolásához. Mivel mind az S, mind a W halmazok végesek, mindegyik axióma közvetlenül tesztelhető egy egyenlő karú mérlegen. A 4. axióma azt vizsgálja, hogy W1 szigorúan nehezebb-e, mint W2, azaz találjunk egy olyan S1-et, hogy W1 ≥ S1 és S1 ≥ W2. Az 5. axióma úgymond tranzitivitási feltételt fogalmaz meg a standard halmazok és a súlyozott halmazok vagy objektumok közötti kapcsolatra vonatkozóan. Ha S1 nehezebb, mint W1, és W1 nehezebb, mint S2, akkor az kell, hogy legyen, hogy S1 nehezebb, mint S2. A 6. axióma kizárja, hogy bármely W1 súlyozott objektum pontosan ugyanolyan súlyú legyen, mint bármely standard halmaz. Ennek az axiómának gyengébb formái is lehetségesek, de a vizsgálati feltételek bonyolultságával járnak. Az axióma hasonlít a hiedelmek vagy cselekvések mérésénél ismert “kényszerválasztási” axiómákhoz. A 7. axióma azt követeli meg, hogy bármely mérlegelt tárgy W1 nehezebb legyen, mint bármely minimális pozitív standard halmaz S1. Ez az axióma lehetővé teszi, hogy egy egyenlő karú mérleg vagy hasonló eszköz ne legyen érzékeny a minimális standardhalmaznál kisebb pozitív súlyra. A 8. axióma nyilvánvalóan az 1. definíció 2. axiómájában példázott szokásos minőségi összeadási axióma általánosítása a közelítő mérésre. A 9. axióma garantálja, hogy adott, mérlegelendő W1 és W2 diszjunkt halmazok esetén olyan diszjunkt standardhalmazok találhatók, amelyek a legkisebb felső határok, S1 a W1-re és S1 a W2-re, és amelyek szintén diszjunktok. Ez nem következik más axiómákból, mert ha W1 ∪ W2 = W, akkor a diszjunkt legkisebb felső korlátok egyesítése, S1 ∪ S1 lehet egy atomi standardhalmazzal nagyobb, mint maga W legkisebb felső korlátja, tehát S-t ki kell bővíteni, hogy lefedje ezt az esetet. A lehetőségeket a 12. tétel teszi egyértelművé. A 10. axióma egy teszt arra, hogy W1 szigorúan nehezebb legyen, mint W2, és a teszt természetesen a standardhalmazok durvaságához képest relatív. A 11. axióma garantálja, hogy bármelyik mérlegelendő objektum vagy objektumhalmaz a standard halmazok tartományába esik azáltal, hogy a standard halmazok között van egy minimális pár, azaz egy diszkrét legkisebb felső korlát és egy diszkrét legnagyobb alsó korlát.

Elemi tételek mintáját fogalmazzuk meg először, a mérlegelendő objektumok halmazai közötti ≥ és ≈ relációk tranzitivitására összpontosítva.

10. tétel. Ha W1 ≈ W2 és W2 ≥ W3, akkor W1 ≥ W3.

A következő tétel megmutatja, hogy a ≈ standard halmazokra vonatkozó ≈ ekvivalencia relációnak az S × W halmazon ≥ kongruencia tulajdonsága van.

11. tétel. Ha S1 ≈ S1 és S1 ≥ W1, akkor S1 ≥ W1.

A következő tétel azt a tesztelhető kritériumot állítja, hogy W1 és W2 megkülönböztethetetlenek.

12. tétel. W1 ≈ W2 akkor és csak akkor, ha W1 és W2 ekvivalens minimálpárokkal rendelkezik.

Hasonló módszerekkel bizonyíthatunk egy szorosan kapcsolódó eredményt.

Most abban a helyzetben vagyunk, hogy a súlyok megkülönböztethetetlenségének tranzitivitását állíthatjuk.

14. TÉTEL. Ha W1 ≈ W2 és W2 ≈ W3, akkor W1 ≈ W3.

A következő tétel fontosságát a két diszjunkt halmaz, W1 és W2 súlyozandó objektumok összeadásakor érvényesülő közelítés meghatározásában a tételt követő értekezésben mutatjuk ki.

A két fizikai tárgygyűjtemény közelítő súlyának egyenkénti mérlegelésből történő összeadásakor a közelítő eredmény nem teszi lehetővé, hogy a 15. tételben megfogalmazott két diszjunktum közül melyik érvényes. Ez a két diszjunktum két szomszédos, de különböző minimális intervallumot ír le. Egy fontos tulajdonságot azonban meg kell jegyeznünk. Az összeadás nem növeli a közelítő intervallumot az összeadás után. Tehát a 15. tételben, amikor W1 és W2 adott, további információ nélkül nem tudjuk, hogy melyik minimális intervallumban fekszik W1 ∪ W2, de – ahogy az axióma diszjunktív következtetése állítja – ez csak az egyik a két szomszédos minimális intervallum közül, és az összehasonlítás empirikus elvégzésével megállapíthatjuk, hogy melyik.

A 15. tétel (iii) diszjunktív tétele és a pontosság feltételezése, ill, nincs közelítés, magának a standard sorozatnak a mérésében, eltérést jelent a Foundations of Measurement több különböző helyén a közelítésről szóló tárgyalástól és eredménytől. Valójában a felső és alsó mértékek (μ*, μ*) párjának standard fogalma, amely a közelítés mértékeként használható, sehol sem kerül bevezetésre a Foundations of Measurement három kötetében. Egy ilyen (μ*, μ*) pár definíciója formailag követi a korábban a μ mértékre adott definíciót.

A felső és alsó mértékek (μ*, μ*) párjának fogalma nem új. Legalábbis visszanyúlik a belső és külső mértékeknek a XIX. század második felében Carathedory és mások által az analízisben való használatára. A valószínűségszámításban való használata legalább Koopmanig nyúlik vissza .

A közelítő mérés ábrázolása kifejezetten felső és alsó mértékek formájában van megadva. A felső és alsó mértékek szubadditív és szuperadditív tulajdonságainak megállapításához a 15. tételre vagy valami nagyjából ezzel egyenértékű tételre van szükség. Ezeket a tulajdonságokat a következő tétel (v) részében fogalmazzuk meg explicit módon.

A tétel most bizonyított (v) tételének egyenlőtlenségeinek összehasonlítása a 15. tételben kifejtett két diszjunktív minőségi lehetőséggel azt sugallja, hogy egy szűkebb korlát bizonyítható, és ez így is van. A (v) tétel egyenlőtlenségei a 15. tétel által igazolt μ*(W1) + μ*(W2) kifejezés beillesztésével (v’)-re szigoríthatók.

1. TÉTEL.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

A 16. tételhez nem adtam meg invarianciaeredményt, mert az nyilvánvalóan következik az 1. tétel ezen részéből. Van azonban egy másik kapcsolódó, nagyobb érdeklődésre számot tartó megfontolás. Az S = (S, F, ≥) véges standard sorozat minimális intervalluma, amely a 11. definícióval jellemzett közelítő extenzív mérés bármely struktúrájának része, rögzíti az empirikus mérések kvalitatív empirikus pontosságát. Tekintsünk most egy második véges standard sorozatot T-t a W részhalmazok ugyanezen tulajdonságának mérésére, és legyen (T1, T′1) a T minimális intervalluma. Ekkor, ellentétben az extenzív mérés hagyományos egységének elfogadásával, a közelítő mérés esetében közvetlenül minőségi pontossági összehasonlítással rendelkezünk, amelyet (S1, S′1) és (T1, T′1) empirikus aránya ad meg. Például az a “mérleg”, amelyet rendszeresen használok a mérlegeléshez, 0,25 lb minimális intervallummal rendelkezik, de egy másik, ritkábban használt mérleg minimális intervalluma 0,1 kg. Mivel 1 kg = 2,20 lb, a 0,25 lb és 0,1 kg aránya 0,25/,22, ami két tizedesjegy pontossággal 1,14. Tehát a metrikus rendszerben kalibrált szabványos sorozat valamivel pontosabb, bár mindkét “mérleg” olyan minimális intervallumokat biztosít, amelyek meghaladják a legtöbb célra általában megfigyelt vagy rögzített pontosságot. Bármelyik további finomítása kevéssé vagy egyáltalán nem érdekes a testsúly mérése szempontjából.

Hasonló példák könnyen adhatók a különböző véges szabványsorozatokkal történő hosszmérésre. Sőt, az itt a felső és alsó mértékek tekintetében kidolgozott közelítő elmélet ugyanezekkel a módszerekkel könnyen kiterjeszthető a különbségmérésre, a felezőmérésre és az egybevágó mérésre, és némileg nehezebben több dimenzióra, pl. affin vagy euklideszi geometriára. Nem meglepő módon a felső és alsó mértékek alkalmazásait leginkább a szubjektív valószínűség közelítő mérésére alkalmazták. Átfogó áttekintést és elemzést ad Walley . Saját korábbi hozzájárulásom, Suppes , felső és alsó valószínűségeket használ, de nem tranzitív megkülönböztethetetlenséggel.

A hangsúly itt a közelítő mérésen volt, de a felső és alsó valószínűségek nagyon különböző elmélete levezethető a közvetlen halmazelméleti általánosításból a véletlen változókról mint véletlen függvényekről a véletlen relációkra. Az elméleti különbséget jelzi, hogy a Suppes és Zanotti által véletlen relációkból levezetett felső és alsó mértékek Choquet értelmében végtelen rendű kapacitások. Ezzel szemben a közelítő méréshez itt figyelembe vett felső és alsó mértékek nem is kettes rendű kapacitások. Nyilvánvaló, hogy a közelítés itt és Suppesnál bevezetett értelme semmiképpen sem az egyetlen lehetőség.