A Hold mozgása Szerk: Holdelmélet és a Hold pályája
Hipparkhosz a Hold mozgását is tanulmányozta, és megerősítette a Hold mozgásának két periódusára vonatkozó pontos értékeket, amelyekről széles körben feltételezik, hogy a káldeus csillagászok már előtte is rendelkeztek velük, függetlenül azok végső eredetétől. Az átlagos szinódikus hónap hagyományos értéke (a babiloni B rendszerből) 29 nap; 31,50,8,20 (szexagesimális) = 29,5305941… nap. Kifejezve 29 nap + 12 óra + 793/1080 óra, ezt az értéket később a héber naptárban is használták. A káldeusok azt is tudták, hogy 251 szinódikus hónap ≈ 269 anomális hónap. Hipparkhosz ennek az időszaknak a 17-szeresét használta, mert ez az intervallum egyben napfogyatkozási időszak is, és szintén közel áll az évek egész számú számához (4267 hold : 4573 anomalisztikus időszak : 4630,53 csomóponti időszak : 4611,98 holdkörüli pálya : 344,996 év : 344,982 napkörüli pálya : 126 007,003 nap : 126 351,985 fordulat). A ciklusban az volt a kivételes és hasznos, hogy minden 345 éves intervallumú napfogyatkozáspár valamivel több mint 126 007 nap különbséggel, mindössze ±1⁄2 óra körüli szűk tartományban következik be, ami garantálja (a 4267-gyel való osztás után) a szinódikus hónap 10 milliós nagyságrendű egy részre pontos becslését. A 345 éves periodicitás az oka annak, hogy a régiek el tudtak képzelni egy átlagos hónapot, és azt olyan pontosan meg tudták határozni, hogy az még ma is a másodperc törtrészére pontos.
Hipparkhosz a saját korából származó napfogyatkozások (feltehetően Kr. e. 141. január 27. és Kr. e. 139. november 26. a ) összehasonlításával tudta megerősíteni a számításait a 345 évvel korábbi babiloni feljegyzésekből származó napfogyatkozásokkal (Almagest IV.2; ). Már al-Biruni (Qanun VII.2.II) és Kopernikusz (de revolutionibus IV.4) is megjegyezte, hogy a 4267 holdas időszak valójában körülbelül 5 perccel hosszabb, mint a napfogyatkozás időtartamára vonatkozó érték, amelyet Ptolemaiosz Hipparkhosznak tulajdonít. A babilóniaiak időszámítási módszerei azonban nem kevesebb, mint 8 perc hibát mutattak. A modern tudósok egyetértenek abban, hogy Hipparkhosz a napfogyatkozási időszakot a legközelebbi órára kerekítette, és azt a hagyományos értékek érvényességének megerősítésére használta, ahelyett, hogy saját megfigyeléseiből próbált volna jobb értéket levezetni. A modern efemeridákból és a nap hosszának változását figyelembe véve (lásd ΔT) úgy becsüljük, hogy a szinódikus hónap feltételezett hosszának hibája a Kr. e. 4. században kevesebb mint 0,2 másodperc, Hipparkhosz idejében pedig kevesebb mint 0,1 másodperc volt.
A Hold pályájaSzerkesztés
Az már régóta ismert volt, hogy a Hold mozgása nem egyenletes: sebessége változik. Ezt nevezzük anomáliának, és ez ismétlődik a maga periódusával; az anomális hónap. A káldeusok ezt számtanilag is figyelembe vették, és olyan táblázatot használtak, amely a Hold napi mozgását a dátum szerint adta meg egy hosszú időszakon belül. A görögök azonban inkább az égbolt geometriai modelljeiben gondolkodtak. A pergai Apollóniosz a Kr. e. 3. század végén két modellt javasolt a Hold és a bolygók mozgására:
- Az elsőben a Hold egyenletesen mozogna egy kör mentén, a Föld azonban excentrikusan, azaz a kör középpontjától bizonyos távolságra lenne. Így a Hold látszólagos szögsebessége (és távolsága) változna.
- A Hold maga is egyenletesen mozogna (bizonyos átlagos anomáliában kifejezett mozgással) egy másodlagos körpályán, amit epiciklusnak nevezünk, amely maga is egyenletesen mozogna (bizonyos átlagos hosszúságban kifejezett mozgással) a Föld körüli fő körpályán, amit deferensnek nevezünk; lásd deferens és epiciklus. Apollonius kimutatta, hogy ez a két modell valójában matematikailag egyenértékű. Mindez azonban csak elmélet volt, és nem ültették át a gyakorlatba. Hipparkhosz volt az első olyan csillagász, akiről tudjuk, hogy kísérletet tett e pályák viszonylagos arányainak és tényleges méreteinek meghatározására.
Hipparkhosz olyan geometriai módszert dolgozott ki, amellyel a Hold anomáliájának meghatározott fázisaiban a Hold három helyzetéből meg lehetett találni a paramétereket. Valójában ezt külön-külön tette az excentrikus és az epiciklusos modellre. Ptolemaiosz az Almagest IV.11. fejezetében ismerteti a részleteket. Hipparkhosz három holdfogyatkozás-megfigyelésből álló két sorozatot használt, amelyeket gondosan kiválasztott, hogy megfeleljenek a követelményeknek. Az excentrikus modellt ezekre a napfogyatkozásokra a babiloni napfogyatkozási listából illesztette: i. e. 383. december 22/23., i. e. 382. június 18/19. és i. e. 382. december 12/13. Az epiciklusos modellt a Kr. e. 201. szeptember 22-én, Kr. e. 200. március 19-én és Kr. e. 200. szeptember 11-én Alexandriában végzett holdfogyatkozás-megfigyelésekhez illesztette.
- Az excentrikus modellhez Hipparkhosz az excentrum sugara és az excentrum középpontja és az ekliptika középpontja közötti távolság arányára (ill, a földi megfigyelő): 3144 : 327 2⁄3 ;
- és az epiciklusos modell esetében a deferens és az epiciklus sugara közötti arányt: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
A kissé furcsa számok az általa az akkordtáblázatában használt nehézkes mértékegységnek köszönhetőek a történészek egyik csoportja szerint, akik részben Hipparkhosz néhány hanyag kerekítési és számítási hibájával magyarázzák, amiért Ptolemaiosz bírálta őt (ő maga is követett el kerekítési hibákat), hogy rekonstrukciójuk nem ért egyet ezzel a négy számmal. Egy egyszerűbb alternatív rekonstrukció mind a négy számmal megegyezik. Mindenesetre Hipparkhosz következetlen eredményeket talált; később az epiciklus-modell arányát használta (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), ami túl kicsi (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolemaiosz 60 : 5 1⁄4 arányt állapított meg. (Az ezzel a geometriával előállítható legnagyobb szögeltérés az 5 1⁄4 és 60 osztott ívszöge, vagyis körülbelül 5° 1′, ezt a számot ezért néha a hipparkhani modellben a Hold középpontjának egyenértékeként idézik.)
A Nap látszólagos mozgásaSzerkesztés
Mielőtt Hipparkhosz, Metón, Euctemon és tanítványaik Athénban napforduló-megfigyelést végeztek volna (ill, a nyári napforduló pillanatát) Kr. e. 432. június 27-én (proleptikus Julián-naptár). A szamoszi Arisztarkhosz állítólag Kr. e. 280-ban tette ezt, és Hipparkhosznak is volt egy megfigyelése Arkhimédész által. Amint egy 1991-es tanulmányból kiderül, Hipparkhosz Kr. e. 158-ban nagyon téves nyári napfordulót számolt ki Kallipposz naptárából. Kr. e. 146-ban és 135-ben is megfigyelte a nyári napfordulót, mindkettőt néhány órára pontosan, de a napéjegyenlőség pillanatának megfigyelése egyszerűbb volt, és életében húszat végzett. Ptolemaiosz az Almagest III.1. fejezetében részletesen tárgyalja Hipparkhosznak az év hosszával kapcsolatos munkáját, és számos olyan megfigyelést idéz, amelyet Hipparkhosz végzett vagy használt, és amelyek az i. e. 162-128 közötti időszakra vonatkoznak. Hipparkhosz Rodoszon végzett tizenhét napéjegyenlőségi megfigyelésének elemzése azt mutatja, hogy a deklináció átlagos hibája pozitív hét ívperc, ami majdnem megegyezik a légtörés és a Swerdlow-féle parallaxis összegével. A véletlenszerű zaj két ívperc, illetve közel egy ívperc, ha a kerekítést is figyelembe vesszük, ami megközelítőleg megegyezik a szem élességével. Ptolemaiosz idézi Hipparkhosz napéjegyenlőségi időpontját (Kr. e. 146. március 24-én hajnalban), amely 5 órával tér el az Alexandria nagy nyilvános egyenlítői gyűrűjében aznap (dél előtt 1 órával) végzett megfigyeléstől: Hipparkhosz talán járt Alexandriában, de nem ott végezte a napéjegyenlőségi megfigyeléseit; feltehetően Rodoszon volt (közel azonos földrajzi hosszúságon). Ptolemaiosz azt állítja, hogy napmegfigyeléseit a meridiánra állított tranzitműszerrel végezte.
A P. Fouad 267 A papirusz Anne Tihon által készített újabb szakértői fordítása és elemzése megerősítette a fent idézett 1991-es megállapítást, hogy Hipparkhosz Kr. e. 158-ban nyári napfordulót kapott, de a papirusz a dátumot június 26-ra teszi, több mint egy nappal korábban, mint az 1991-es tanulmány június 28-ra vonatkozó következtetése. A korábbi tanulmány M. §-a megállapította, hogy Hipparkhosz csak i. e. 146-ban fogadta el a június 26-i napfordulót, amikor megalapozta a Nap pályáját, amelyet később Ptolemaiosz is elfogadott. Ezen adatok összevetése azt sugallja, hogy Hipparkhosz a Kr. e. 158. évi június 26-i napfordulót a 12 évvel későbbi 145. napfordulójából extrapolálta, egy olyan eljárás, amely csak csekély hibát okozhat. A papirusz azt is megerősítette, hogy Hipparkhosz Kr. e. 158-ban a kallippikus napmozgást használta, ami 1991-ben új felfedezés volt, de P. Fouad 267 A-ig közvetlenül nem igazolták. Egy másik táblázat a papiruszon talán a sziderikus mozgásra vonatkozik, egy harmadik táblázat pedig a metonikus trópusi mozgásra, egy korábban ismeretlen 365 1⁄4 – 1⁄309 napos évet használva. Ezt feltehetően úgy találták meg, hogy a Kr. e. 432 és Kr. e. 158 közötti 274 évet elosztották a Metón napkelte és Hipparkhosz napnyugta közötti 100077 napos és 14 3⁄4 órás megfelelő intervallumra.
A pályafutása végén Hipparkhosz Peri eniausíou megéthous (“Az év hosszáról”) címmel könyvet írt eredményeiről. A trópusi év megállapított értéke, amelyet Kallipposz Kr. e. 330-ban vagy azelőtt vezetett be, 365 1⁄4 nap volt. A kallippusi év babiloni eredetének feltételezése nehezen védhető, mivel Babilon nem figyelte a napfordulókat, így az egyetlen fennmaradt B rendszerű évhossz a görög napfordulókon alapult (lásd alább). Hipparkhosz napéjegyenlőségi megfigyelései változó eredményeket adtak, de ő maga is rámutat (idézi az Almagest III.1(H195)), hogy a saját és elődei megfigyelési hibái akár 1⁄4 napot is elérhettek. Régi napfordulós megfigyeléseket használt, és körülbelül 300 év alatt körülbelül egy nap eltérést állapított meg. Így a trópusi év hosszát 365 1⁄4 – 1⁄300 napban határozta meg (= 365,24666… nap = 365 nap 5 óra 55 perc, ami eltér az ő idejében a tényleges értéktől (modern becslés, a Föld forgási gyorsulásával együtt), ami kb. 365,2425 nap, ami évente kb. 6 perc, évtizedenként egy óra, századonként 10 óra hiba.
Meton napfordulós megfigyelése és az ő sajátja között 297 év volt, amely 108 478 napon át tartott. D. Rawlins megjegyezte, hogy ez 365,24579… napos trópusi évet jelent = 365 nap;14,44,51 (szexagezimális; = 365 nap + 14/60 + 44/602 + 51/603), és hogy ezt a pontos évhosszúságot találták meg azon kevés babiloni agyagtábla egyikén, amely kifejezetten megadja a B rendszer hónapját. Ez arra utal, hogy Hipparkhosz művét ismerték a káldeusok.
Az év másik értéke, amelyet Hipparkhosznak tulajdonítanak (az 1. században Vettius Valens asztrológus által), 365 + 1/4 + 1/288 nap (= 365,25347… nap = 365 nap 6 óra 5 perc), de ez lehet egy másik, babiloni forrásnak tulajdonított érték elferdítése: 365 + 1/4 + 1/144 nap (= 365,25694… nap = 365 nap 6 óra 10 perc). Nem világos, hogy ez a sziderikus évre vonatkozó érték lenne-e (tényleges érték az ő idejében (modern becslés szerint) kb. 365,2565 nap), de a Hipparkhosz trópusi évre vonatkozó értékétől való eltérés összhangban van a precesszió mértékével (lásd alább).
A Nap pályájaSzerkesztés
A csillagászok már Hipparkhosz előtt is tudták, hogy az évszakok hossza nem egyenlő. Hipparkhosz megfigyeléseket végzett a napéjegyenlőségről és a napfordulóról, és Ptolemaiosz szerint (Almagest III.4) megállapította, hogy a tavasz (a tavaszi napéjegyenlőségtől a nyári napfordulóig) 94 és fél napig, a nyár (a nyári napfordulótól az őszi napéjegyenlőségig) 92 1⁄2 napig tart. Ez nincs összhangban azzal a feltevéssel, hogy a Nap egyenletes sebességgel, körkörösen mozog a Föld körül. Hipparkhosz megoldása az volt, hogy a Földet nem a Nap mozgásának középpontjába helyezte, hanem a középponttól bizonyos távolságra. Ez a modell meglehetősen jól leírta a Nap látszólagos mozgását. Ma már tudjuk, hogy a bolygók, beleértve a Földet is, megközelítőleg ellipszisben mozognak a Nap körül, de ezt csak akkor fedezték fel, amikor Johannes Kepler 1609-ben közzétette a bolygómozgás első két törvényét. A Ptolemaiosz által Hipparkhosznak tulajdonított excentricitás értéke az, hogy az eltolódás a pálya sugarának 1⁄24-szerese (ami egy kicsit túl nagy), és az apogeum iránya a tavaszi napéjegyenlőségtől 65,5° hosszúsági fokon lenne. Hipparkhosz más megfigyelési sorozatokat is használhatott, amelyek más értékekhez vezetnének. Két napfogyatkozás-triászának egyik naphosszúsága összhangban van azzal, hogy eredetileg 95 3⁄4 és 91 1⁄4 napos pontatlan hosszúságot fogadott el a tavaszra és a nyárra. Másik napállás-triplája összhangban van a 94 1⁄4 és 92 1⁄2 nappal, ami javulás a Ptolemaiosz által Hipparkhosznak tulajdonított eredményekhez képest (94 1⁄2 és 92 1⁄2 nap), amelyek szerzőségét néhány tudós még mindig megkérdőjelezi. Ptolemaiosz három évszázaddal később nem változtatott, és az őszi és téli évszakokra olyan hosszúságokat fejezett ki, amelyek már akkor is implicitek voltak (amint azt pl. A. Aaboe kimutatta).
Távolság, parallaxis, a Hold és a Nap méreteSzerkesztés
Hipparkhosz a Nap és a Hold távolságának és méretének megállapítására is vállalkozott. Eredményei két művében jelennek meg: Pappus Perí megethōn kaí apostēmátōn (“Méretekről és távolságokról”) és Pappus kommentárjában az Almagest V.11-hez; a szmirnai Theon (2. század) “a Napról és a Holdról” kiegészítéssel említi a munkát.
Hipparkhosz a dioptriával mérte meg a Nap és a Hold látszólagos átmérőjét. Mint mások előtte és utána, ő is megállapította, hogy a Hold mérete változik, ahogyan az (excentrikus) pályáján mozog, de a Nap látszólagos átmérőjében nem talált érzékelhető változást. Megállapította, hogy a Hold átlagos távolságában a Nap és a Hold látszólagos átmérője azonos; ebben a távolságban a Hold átmérője 650-szeresen illeszkedik a körbe, azaz, az átlagos látszó átmérő 360⁄650 = 0°33′14″.
Mint mások előtte és utána, ő is észrevette, hogy a Holdnak észrevehető parallaxisa van, azaz a számított helyzetéhez képest (a Naphoz vagy a csillagokhoz képest) eltolva jelenik meg, és a különbség nagyobb, ha közelebb van a horizonthoz. Tudta, hogy ez azért van, mert az akkori modellekben a Hold a Föld középpontja körül kering, de a megfigyelő a felszínen van – a Hold, a Föld és a megfigyelő egy háromszöget alkot, amelynek éles szöge állandóan változik. Ennek a parallaxisnak a nagyságából meghatározható a Hold Föld sugarában mért távolsága. A Nap esetében azonban nem volt megfigyelhető parallaxis (ma már tudjuk, hogy körülbelül 8,8″, ami többszörösen kisebb, mint a szabad szem felbontóképessége).
Az első könyvben Hipparkhosz azt feltételezi, hogy a Nap parallaxisa 0, mintha végtelen távolságban lenne. Ezután elemez egy napfogyatkozást, amelyet Toomer (több mint egy évszázadnyi csillagász véleményével szemben) a Kr. e. 190. március 14-i napfogyatkozásnak feltételez. Ez a Hellespont térségében (és szülőhelyén, Nicaeában) teljes volt; Toomer szerint abban az időben a rómaiak háborúra készültek III. Antiochus ellen a térségben, és a napfogyatkozást Livius is megemlíti az Ab Urbe Condita Libri VIII.2. fejezetében. Alexandriában is megfigyelték, ahol a beszámolók szerint a Napot 4/5-öd részben eltakarta a Hold. Alexandria és Nicaea ugyanazon a meridiánon fekszik. Alexandria körülbelül az északi 31°-on, a Hellespont környéke pedig körülbelül az északi 40°-on fekszik. (Azt állítják, hogy az olyan szerzők, mint Sztrabón és Ptolemaiosz meglehetősen tisztességes értékekkel rendelkeztek ezekre a földrajzi helyzetekre vonatkozóan, így Hipparkhosznak is ismernie kellett őket. Azonban Sztrabón Hipparkhosztól függő szélességi fokai erre a régióra vonatkozóan legalább 1°-kal túl magasak, és úgy tűnik, hogy Ptolemaiosz lemásolta őket, és Bizáncot 2°-kal magasabb szélességre helyezte). Hipparkhosz meg tudta rajzolni a két hely és a Hold által alkotott háromszöget, és egyszerű geometriából meg tudta állapítani a Hold távolságát, földi sugarakban kifejezve. Mivel a napfogyatkozás reggel történt, a Hold nem volt a meridiánon, és azt javasolták, hogy ennek következtében a Hipparkhosz által megállapított távolság egy alsó határérték volt. Mindenesetre Pappus szerint Hipparkhosz azt találta, hogy a legkisebb távolság 71 (ebből a napfogyatkozásból), a legnagyobb pedig 81 földsugár.
A második könyvben Hipparkhosz az ellenkező szélsőséges feltételezésből indul ki: 490 földsugárnyi (minimális) távolságot rendel a Naphoz. Ez 7′-es parallaxisnak felelne meg, ami nyilvánvalóan a legnagyobb parallaxis, amit Hipparkhosz szerint nem lehetett észrevenni (összehasonlításképpen: az emberi szem tipikus felbontóképessége kb. 2′; Tycho Brahe 1′-ig terjedő pontosságú szabad szemmel végzett megfigyeléseket). Ebben az esetben a Föld árnyéka kúp, nem pedig henger, mint az első feltételezés szerint. Hipparkhosz megfigyelte (holdfogyatkozásoknál), hogy a Hold átlagos távolságában az árnyékkúp átmérője 2 1⁄2 holdátmérő. Ez a látszólagos átmérő, ahogy ő megfigyelte, 360⁄650 fok. Ezekkel az értékekkel és egyszerű geometriával Hipparkhosz meg tudta határozni az átlagos távolságot; mivel ezt a Nap minimális távolságára számította ki, ez a Hold lehetséges maximális átlagos távolsága. A pálya excentricitására vonatkozó értékével a Hold legkisebb és legnagyobb távolságát is ki tudta számítani. Pappus szerint a legkisebb távolság 62, az átlag 67 1⁄3, és ebből következően a legnagyobb távolság 72 2⁄3 földsugár. Ezzel a módszerrel a Nap parallaxisának csökkenésével (azaz távolságának növekedésével) az átlagos távolság legkisebb határértéke 59 földsugár – pontosan az az átlagos távolság, amelyet Ptolemaiosz később levezetett.
Hipparkhosz tehát azt a problémás eredményt kapta, hogy a legkisebb távolsága (az 1. könyvből) nagyobb volt, mint a legnagyobb átlagos távolsága (a 2. könyvből). Intellektuálisan őszinte volt ezzel az ellentmondással kapcsolatban, és valószínűleg felismerte, hogy különösen az első módszer nagyon érzékeny a megfigyelések és a paraméterek pontosságára. (Valójában a modern számítások azt mutatják, hogy a Kr. e. 189-es alexandriai napfogyatkozás mérete közelebb lehetett a 9⁄10-hez, és nem a közölt 4⁄5-hez, amely töredéknek jobban megfelel az Alexandriában Kr. e. 310-ben és 129-ben bekövetkezett fogyatkozások totalitási foka, amelyek szintén közel teljesek voltak a Hellesponton, és amelyeket sokan valószínűbb lehetőségnek tartanak a Hipparkhosz számításaihoz használt napfogyatkozásra.)
Ptolemaiosz később közvetlenül megmérte a holdparallaxist (Almagest V.13.), és Hipparkhosz második módszerét használta holdfogyatkozásokkal a Nap távolságának kiszámításához (Almagest V.15). Kritizálja Hipparkhoszt, amiért ellentmondásos feltételezéseket tett, és egymásnak ellentmondó eredményekre jutott (Almagest V.11): de nyilvánvalóan nem értette meg Hipparkhosz stratégiáját, hogy a távolságra vonatkozó egyetlen érték helyett a megfigyelésekkel összhangban lévő határértékeket állapítson meg. Az ő eredményei voltak az eddigi legjobbak: a Hold tényleges átlagos távolsága 60,3 földsugár, a Hipparkhosz második könyvéből vett határain belül.
A szmirnai Theón azt írta, hogy Hipparkhosz szerint a Nap 1880-szor akkora, mint a Föld, a Föld pedig huszonhétszer akkora, mint a Hold; ez nyilvánvalóan térfogatra vonatkozik, nem pedig átmérőre. A 2. könyv geometriájából következik, hogy a Nap 2550 földsugárnál van, a Hold átlagos távolsága pedig 60 1⁄2 sugár. Hasonlóképpen, Kleomédész idézi Hipparkhoszt a Nap és a Föld méretére vonatkozóan, amely 1050:1; ez 61 sugárnyi átlagos holdtávolságot eredményez. Úgy tűnik, Hipparkhosz később finomította a számításait, és pontos egyedi értékeket kapott, amelyeket felhasználhatott a napfogyatkozások előrejelzéséhez.
A részletesebb tárgyalást lásd.
NapfogyatkozásokSzerkesztés
Plinius (Naturalis Historia II.X) elmondja, hogy Hipparkhosz bebizonyította, hogy a holdfogyatkozások öt hónap különbséggel, a napfogyatkozások pedig hét hónap különbséggel (a szokásos hat hónap helyett) következhetnek be; és a Nap harminc nap alatt kétszer is elrejthető, de különböző népek által látott módon. Ptolemaiosz egy évszázaddal később hosszasan tárgyalta ezt az Almagest VI.6. fejezetében. A geometriát, valamint a Nap és a Hold helyzetének határait, amikor nap- vagy holdfogyatkozás lehetséges, az Almagest VI.5. fejti ki. Hipparkhosz nyilvánvalóan hasonló számításokat végzett. Az eredmény, hogy két napfogyatkozás egy hónap különbséggel következhet be, azért fontos, mert ez nem alapulhat megfigyeléseken: az egyik az északi, a másik a déli féltekén látható – ahogy Plinius jelzi -, és ez utóbbi a görögök számára elérhetetlen volt.
A napfogyatkozás előrejelzéséhez, vagyis ahhoz, hogy pontosan mikor és hol lesz látható, szilárd holdelméletre és a holdparallaxis megfelelő kezelésére van szükség. Hipparkhosz lehetett az első, aki erre képes volt. A szigorú kezeléshez gömbi trigonometriára van szükség, ezért azok, akik továbbra is biztosak abban, hogy Hipparkhosz nem rendelkezett ilyennel, kénytelenek azt feltételezni, hogy talán síkbeli közelítésekkel érte be. Ezeket a dolgokat talán a Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (“A Hold havi mozgásáról a szélességi körökben”) című, a Suda-ban említett művében tárgyalta.
Pliny azt is megjegyzi, hogy “azt is felfedezte, hogy pontosan milyen okból, bár a napfogyatkozást okozó árnyéknak napkeltétől kezdve a föld alatt kell lennie, a múltban egyszer előfordult, hogy a Hold nyugaton fogyatkozott, miközben mindkét fényesség a föld felett volt látható” (fordítás H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) szerint ez a Kr. e. 139. november 26-i nagy teljes holdfogyatkozásra utalhat, amikor a Rodoszról nézve tiszta tengeri horizont felett a Hold északnyugaton fogyatkozott, közvetlenül azután, hogy a Nap délkeleten felkelt. Ez lenne a második napfogyatkozás abban a 345 éves intervallumban, amelyet Hipparkhosz a hagyományos babiloni időszakok ellenőrzésére használt: ez Hipparkhosz holdelméletének kidolgozását késői időpontra teszi. Nem tudjuk, hogy Hipparkhosz milyen “pontos okot” talált arra, hogy a Holdat fogyatkozásban látta, miközben nyilvánvalóan nem volt pontos szembenállásban a Nappal. A parallaxis csökkenti a világítótestek magasságát; a fénytörés megemeli őket, és a magasból nézve a látóhatár lejjebb kerül.