A modell megtalálja a Ts és Ta azon értékeit, amelyek lehetővé teszik, hogy a légkör tetején távozó sugárzási teljesítmény megegyezzen a napfény elnyelt sugárzási teljesítményével. Egy olyan bolygóra alkalmazva, mint a Föld, a kimenő sugárzás hosszúhullámú, a napfény pedig rövidhullámú lesz. E két sugárzási hullám eltérő kibocsátási és elnyelési jellemzőkkel rendelkezik. Az idealizált modellben feltételezzük, hogy a légkör teljesen átlátszó a napfény számára. A bolygó αP albedója a beérkező napsugárzásnak az a része, amely visszaverődik a világűrbe (mivel a légkört a napsugárzás számára teljesen átlátszónak feltételezzük, nem számít, hogy ezt az albedót a bolygó felszínén vagy a légkör tetején történő visszaverődésnek vagy keverékének képzeljük-e el). A beérkező napsugárzás fluxussűrűségét az S0 napállandóval határozzuk meg. A Föld bolygóra való alkalmazáshoz a megfelelő értékek: S0=1366 W m-2 és αP=0,30. Figyelembe véve azt a tényt, hogy egy gömb felszíne négyszerese a metszéspontja (árnyéka) területének, a beérkező átlagos sugárzás S0/4.
A hosszúhullámú sugárzás esetében a Föld felszínének emissziós tényezőjét 1-nek feltételezzük (azaz a Föld az infravörös tartományban fekete test, ami reális). A felszín F sugárzási fluxussűrűséget bocsát ki a Stefan-Boltzmann-törvény szerint:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}
ahol σ a Stefan-Boltzmann-állandó. Az üvegházhatás megértésének kulcsa Kirchhoff hősugárzási törvénye. Bármely adott hullámhosszon a légkör abszorpciós képessége megegyezik az emissziós képességgel. A felszínről érkező sugárzás az infravörös spektrum egy kissé eltérő részében lehet, mint a légkör által kibocsátott sugárzás. A modell feltételezi, hogy az átlagos emissziós képesség (abszorpciós képesség) azonos az infravörös sugárzás bármelyik áramára, mivel kölcsönhatásba lépnek a légkörrel. Így a hosszúhullámú sugárzás esetében egy ε szimbólum jelöli a légkör emissziós és abszorpciós képességét is, bármelyik infravörös sugárzási áramlat esetében.
A légkör tetejéből kilépő infravörös fluxussűrűség:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}}
Az utolsó kifejezésben ε a felszínről felfelé irányuló hosszúhullámú sugárzás elnyelt hányadát, a légkör abszorpciós képességét jelenti. A jobb oldali első kifejezésben ε a légkör emissziós tényezője, a Stefan-Boltzmann-törvény kiigazítása annak figyelembevételére, hogy a légkör nem optikailag vastag. Így ε azt a szerepet játssza, hogy a kifelé irányuló sugárzási sűrűség kiszámításakor szépen összevegyíti, vagy átlagolja a két sugárzási áramot.
A légkör tetejét elhagyó nulla nettó sugárzáshoz szükséges:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Nulla nettó sugárzás belépése a felszínre megköveteli:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {\1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
A légkör energetikai egyensúlya vagy levezethető a fenti két egyensúlyi feltételből, vagy önállóan levezethető:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Megjegyezzük a fontos 2-es tényezőt, ami abból adódik, hogy a légkör felfelé és lefelé is sugároz.Így a Ta és Ts aránya független ε-től:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}={T_{s} \over 1.189}}}
Így Ta kifejezhető Ts függvényében, és megoldást kapunkTs-re a modell bemeneti paramétereinek függvényében:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}}\right)\sigma T_{s}^{4}}}
vagy
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}
A megoldás kifejezhető a Te effektív emissziós hőmérséklettel is, ami az F kimenő infravörös fluxussűrűséget jellemző hőmérséklet, mintha a sugárzó egy F=σTe4-nek engedelmeskedő tökéletes sugárzó lenne. Ez könnyen elképzelhető a modell kontextusában. Te a Ts megoldása is, ε=0, azaz légkör nélküli esetben:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
A Te definíciójával:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}}
Tökéletes üvegház esetén, amikor a felszínről nem távozik sugárzás, vagy ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}}
A Földre megfelelő, fentebb meghatározott paramétereket használva,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
ε=1 esetén:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
ε=0,78 esetén
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Ez a Ts érték történetesen közel van a méréseken alapuló globális “felszíni átlaghőmérséklet” publikált 287,2 K értékéhez. ε=0,78 azt jelenti, hogy a felszíni sugárzás 22%-a közvetlenül a világűrbe szökik, ami összhangban van azzal az állítással, hogy az üvegházhatás során 15%-30% szökik el.
A szén-dioxid megduplázásának sugárzási kényszerítő hatása 3,71 W m-2, egy egyszerű paraméterezéssel. Ezt az értéket az IPCC is jóváhagyta.Az F egyenletből {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\right)}
A Ts és Ta értékeit ε=0,78 esetén használva Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 Δε=,019 mellett. Így az ε 0,78-ról 0,80-ra történő változása összhangban van a szén-dioxid megduplázódásának sugárzási kényszerével. ε=0,80 esetén T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Ez a modell tehát ΔTs = 1,2 K globális felmelegedést jósol a szén-dioxid megduplázódása esetén. Egy GCM tipikus előrejelzése 3 K felszíni felmelegedés, elsősorban azért, mert a GCM lehetővé teszi a pozitív visszacsatolást, különösen a megnövekedett vízgőz miatt. E visszacsatolási folyamat figyelembevételének egyszerű helyettesítője az, hogy a Δε=,02-es további növekedést feltételezünk, ami összesen Δε=,04, hogy megközelítsük a vízgőz növekedésének hatását, amely a hőmérséklet növekedésével járna együtt. Ez az idealizált modell ezután ΔTs = 2,4 K globális felmelegedést jelez előre a széndioxid-kétszeresére, ami nagyjából megfelel az IPCC-nek.