Joseph-Louis Lagrange a matematika történetének egyik óriása. Jelentős mértékben hozzájárult a fizika, az égi mechanika, a számtan, az algebra, a számelmélet és a csoportelmélet fejlődéséhez. Nagyrészt autodidakta módon tanult, és nem szerzett egyetemi diplomát.
A függvények maximumait és minimumaitól lenyűgözve Lagrange volt a variációszámítás fő megalapítója.
Isaac Newton törvényeinek messzemenő újrafogalmazásával Lagrange a mechanika briliáns új látásmódját alkotta meg. Mindezt a variációszámítás segítségével tette, hogy feltárja egyetlen fizikai elv, a virtuális munka széleskörű következményeit. Ennek egyik eredménye volt a haladó fizikában nélkülözhetetlen Lagrange-féle függvény, amelyet a potenciális energia és a mozgási energia kivonásával számoltak ki.
Lagrange elképzelése teljes egészében az algebrán és a számításon alapult. Úgy vélte, hogy ez matematikailag szigorúbb, mint a geometria által generált intuitív elképzelések. Úgy ítélte meg, hogy módszerei a mechanikát a tiszta matematika birodalmába helyezték.
Az égi mechanikában Lagrange fedezte fel a Lagrange-pontokat, amelyeket a sci-fi írók és az űrmegfigyelőállomások és -állomások tervezői egyaránt szeretnek.
Lagrange adta nekünk az ismert jelölést f′(x) egy függvény deriváltjának, f′′(x) egy második deriváltjának stb. jelölésére, és valóban ő volt az, aki a derivált szót adta nekünk.
Teljesítmények és főbb pontok
Joseph-Louis Lagrange termékeny autodidakta matematikus és fizikus volt. Néhány fontosabb eredménye:
Lagrange:
- Leonhard Euler korábbi munkájára építve megalkotta a variációszámítást – ezt nevezte “a variációk módszerének.”
- Elvezette a ∂ jelölést és megalkotta az első parciális differenciálegyenleteket.
- Megadta kora legkisebb hatás elvének legáltalánosabb megfogalmazását.
- Megalkotta a mechanika egy teljesen új területét, a Lagrange-mechanikát, mind a szilárd testekre, mind a folyadékokra vonatkozóan, amely a virtuális munka fogalmán alapul és a Lagrange-függvényt használja.
- Bevezette az általánosított koordináták fogalmát. A Lagrange-mechanika bármilyen koordinátarendszerben alkalmazható – a problémák egyszerűsödnek a megfelelő koordinátarendszer kiválasztásával.
- Megalkotta a potenciál fogalmát: a gravitációs mező például potenciálmező.
- Felfedezte a Lagrange-féle pályákat.
- Megoldotta a Fermat által felvetett évszázados számelméleti problémákat, amelyek más matematikusokat legyőztek.
- A csoportelmélet egyik megalapítója.
- Központi szerepet játszott a metrikus súly- és mértékrendszer megalkotásában.
Kezdés
Joseph-Louis Lagrange jómódú családban született (keresztszülei arisztokraták voltak) az olaszországi Torinóban, Piemontban 1736. január 25-én.
Születésekor Giuseppe Lodovico Lagrangia volt a neve. Nevének francia formáját azért szokták használni, mert számos dolgozatát franciául írta, és élete második felében Párizsban telepedett le.
József Olaszországban tizenévesen kezdte magát Lagrange-nak nevezni. Családja mindkét ágán francia felmenőkkel rendelkezett, amire a jelek szerint büszke volt, bár mindig is inkább piemonti, mint francia származásúnak tartotta magát. A Párizsban töltött évek után is megtartotta erős olasz akcentusát.
Józsefet apjáról, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangiáról, a király kincstárnokáról nevezték el, aki Torino erődítéséért és infrastruktúrájáért felelt. József édesanyja Maria Teresa Grosso volt, egy neves orvos lánya. József volt a legidősebb a 11 gyermekük közül, akik közül csak ketten élték túl a gyermekkort.
Oktatás
1750-ben, 14 évesen József a torinói egyetem hallgatója lett. Euklidész és Arkhimédész geometriája untatta, nem érdekelte a matematika tanulása.
Azt tervezte, hogy apja nyomdokaiba lép és jogot tanul. Apja azonban anyagi bajba került, mert meggondolatlanul spekulált.
József érdeklődése a matematika iránt akkor ébredt fel, amikor elolvasta Edmund Halley egy előző században írt tanulmányát, amelyben Halley algebrai egyenleteket használt a lencsék optikai teljesítményének leírására. A geometriával ellentétben Halley algebrájában valami megragadta őt.
Elkalandozott a jogtól, és matematikai és fizikai előadásokat kezdett hallgatni. Bár ezeket élvezte, az olyan matematikusok, mint Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin és Jean d’Alembert élvonalbeli könyveinek magába szívása volt az, ami szinte csodálatos sebességgel katapultálta előre.
Lagrange nem sokat aludt. Egy életre rászokott arra, hogy hosszú órákon át tea és kávé segítségével tartsa ébren magát.
Lagrange matematikafelfogása
René Descartes és Pierre de Fermat megmutatta, hogy a geometria és az algebra felcserélhető. A kapcsolatot már régóta sejtették. A tizenegyedik században Omar Khayyam azt írta:
“Aki azt hiszi, hogy az algebra egy trükk az ismeretlenek megszerzésében, az hiába gondolta. Nem szabad figyelmet fordítani arra a tényre, hogy az algebra és a geometria látszólag különbözik egymástól. Az algebra geometriai tények, amelyeket Euklidész Elemek 2. könyvének 5. és 6. tételei bizonyítanak.”
Isaac Newton a Principia-ban geometriai elképzelésekre támaszkodva alkotta meg híres világrendszerét.
Lagrange egyre inkább úgy vélte, hogy a mechanika további fejlődését a geometria gátolja. Az analízist – a számtan teljesen algebrai megközelítését – részesítette előnyben.
“A modern analízis nagy mesterei Lagrange, Laplace és Gauss, akik kortársak voltak… Lagrange tökéletes mind formailag, mind anyagilag, gondosan elmagyarázza eljárását, és bár érvei általánosak, könnyen követhetők. Laplace ezzel szemben semmit sem magyaráz… Gauss ugyanolyan pontos és elegáns, mint Lagrange, de még nehezebben követhető, mint Laplace…”.
Novice Mathematician
1754-ben, 18 évesen Joseph Lagrange publikálta első matematikai munkáját: Levél Giulio Carlo da Fagnanóhoz. Ebben leírta felfedezését, miszerint a binomiális bővítés és a szorzat differenciáljának képlete azonos együtthatókkal rendelkezik.
Ez nem volt új eredmény, bár eleinte azt hitte, hogy az.
Lagrange életútja kontextusban
Joseph Lagrange életútja és a hozzá kapcsolódó matematikusok életútja.
Joseph-Louis Lagrange művei
Variációszámítás
1755 augusztusában, 19 évesen Lagrange egy dolgozatot küldött a világ legnagyobb élő matematikusának, Leonhard Eulernek. Leírta új módszerét a függvények maximumainak és minimumainak megtalálására, ami zseniális előrelépést jelentett a számtanban. Euler 1755 szeptemberében visszaírt, és nagy csodálatát fejezte ki Lagrange munkája iránt.
Néhány nappal később Lagrange-nak felajánlották és el is fogadta a torinói tüzériskola – a Királyi Katonai Akadémia – matematika tanársegédi állását. A torinói egyetemet diploma nélkül hagyta ott, és elkezdte a számtan & mechanikát tanítani. Tanítványai mind idősebbek voltak nála, és nem volt a legjobb tanár – meglehetősen félénk volt, és előadásai túlságosan haladóak voltak diákjai számára.
A Lagrange és Euler közötti későbbi levelezés a matematika egy új ágához, a variációszámításhoz vezetett.
Eulert annyira lenyűgözte Lagrange munkájának jelentősége, hogy javasolta, hogy a torinói fiatalembert válasszák a Berlini Akadémia külföldi tagjává. Lagrange-ot 1756. szeptember 2-án, 20 évesen szabályosan megválasztották.
Lagrange mindig úgy vélte, hogy a variációszámítás megalapozása volt a legnagyobb munkája. Ez tette őt, még tizenévesen, a tizennyolcadik század egyik legnagyobb matematikusává.
Hilbert és a variációszámítás
David Hilbert
1900-ban, 145 évvel azután, hogy Lagrange megalkotta a variációszámítást, az még mindig a matematika egyik legfontosabb területe volt. Amikor David Hilbert felvetette híres 23 problémáját a világ matematikusainak, ezek közül három a variációszámítással foglalkozott:
- 19. probléma: A variációszámítás szabályos problémáinak megoldásai mindig szükségszerűen analitikusak-e? Ezt Ennio de Giorgi és John F. Nash oldotta meg. A válasz igen.
- 20. probléma: Minden variációs problémának bizonyos peremfeltételekkel vannak megoldásai? Ez óriási mennyiségű munkát generált, amelyet nagyszámú matematikus végzett. A válasz igen.
- 23. probléma: A variációszámítás továbbfejlesztése szükséges. Ez egy olyan probléma, amelynek – ahogy Hilbert is elismerte – nincs határozott megoldása. Azonban olyannyira létfontosságúnak tartotta a területet a matematika jövője szempontjából, hogy szívesen tette utolsó problémájává.
Egy vízió
Lagrange-nak nagy elképzelései voltak. Húszévesen az volt az elképzelése, hogy az egész mechanikát egyetlen alapelv segítségével egyesíti:
“A szilárd és folyékony testek teljes mechanikáját a legkisebb hatás elvének segítségével fogom levezetni”.
Lagrange végül az 1780-as években érte el célját, 1788-ban az Analitikus mechanikában írta le sikerét. Kiderült, hogy az egyetlen egyesítő elv inkább a virtuális munka, mint a legkisebb cselekvés. A virtuális munkát először 1763-ban használta a Hold librációját tárgyaló dolgozatában.
A Torinói Tudományos Akadémia megalapítása
Lagrange-nak elege lett a torinói fülledt tudományos hozzáállásból. 1757-ben két másik volt diákjával összefogott, hogy megalakítsák a Torinói Magántársaságot. A Társaság célja a tudományos kutatás ápolása volt a francia és a berlini Tudományos Akadémiák mintájára.
1759-ben az új társaság saját folyóiratot kezdett kiadni francia és latin nyelven: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
1783-ban a király támogatásával a társaságból Torinói Királyi Tudományos Akadémia lett.
Moving Beyond Newton
Lagrange a társaság folyóiratában kezdte publikálni dolgozatait. Sokukban új variációszámítását alkalmazta a fizikai világra, hogy új eredményeket fedezzen fel, és új megvilágításba helyezze a jelenségeket. Ebből az időszakból származó dolgozatai három történelmi kötetben jelennek meg, amelyek mindegyike számos úttörő munkát tartalmaz, többek között:
- A hangterjedés elmélete, beleértve a keresztirányú hullámként rezgő húr első teljes matematikai leírását. Továbbá a differenciálszámítás első alkalmazása a valószínűségelméletben.
- A variációszámítás elmélete és jelölése, dinamikai problémák megoldása és a legkisebb hatás elvének levezetése.
- Még több dinamikai probléma megoldása, a Lagrange-függvény első alkalmazása, három, a gravitáció által kölcsönösen vonzott testet leíró általános differenciálegyenletek, a differenciálegyenletek integrálása és egy évszázados probléma megoldása, amelyet Pierre de Fermat tett fel a számelméletben.
Tidal Locking & Libráció a Holdon
1764-ben Lagrange elnyerte a Francia Tudományos Akadémia díját tanulmányáért, amelyben leírta, miért látjuk a Holdnak csak az egyik arcát, és miért figyelhetjük meg a librációt. A libráció a Hold pályahatások okozta látszólagos imbolygása és ringatózása, amely lehetővé teszi, hogy többet lássunk a felszínéből, mint amennyit várnánk. A hold librációjának eredményeként, amikor egy bizonyos időn keresztül megfigyeljük a Holdat, valójában a felszínének körülbelül 59 százalékát látjuk, nem pedig az eredetileg várt 50 százalékát.
Lagrange díjnyertes írása azért is jelentős, mert először alkalmazta a virtuális munka elvét: később ezt az elvet használta a Lagrange-mechanika alapjául.
A Jupiter holdjai
1766-ban Lagrange ismét elnyerte a Francia Tudományos Akadémia díját, ezúttal a Jupiter holdjai pályájának magyarázatáért.
A berlini évek: 1766-1786
Lagrange 30 évesen Berlinbe költözött, Euler helyére, a Porosz Tudományos Akadémia matematikai igazgatói posztjára. Az Akadémia már 19 éves kora óta próbálta megnyerni őt, de ő visszautasította, mert úgy érezte, Euler árnyékába kerülne.
A Berlinben töltött 20 év volt Lagrange legtermékenyebb éve. Bár időnként egészségi állapota miatt abba kellett hagynia a munkát, amikor jó egészségnek örvendett, havonta körülbelül egy eredeti, értékes dolgozatot publikált. A legtöbbet a Berlini Akadémia adta ki, míg mások a Mélanges de Philosophie et de Mathématique két további kötetében jelentek meg.
Parciális differenciálegyenletek
Az 1770-es években és az 1780-as évek első felében Lagrange a differenciálegyenletekkel kapcsolatos munkássága bőséges volt, aminek eredményeként megalkotta a parciális differenciálegyenletek matematikáját.
Parciális differenciálegyenletek
A differenciálegyenletek a valóságban bekövetkező változások leírására használhatók. Egy fizikai mennyiség, például a sebesség, és annak változási sebessége közötti kapcsolatot írják le.
A rendi differenciálegyenletek egyetlen változó mennyiséget, például a sebességet írják le.
A hidrogénatom 2p elektronpályáján lévő elektron valószínűségi sűrűségének ábrája. A grafikon a Schrödinger-egyenlet – egy parciális differenciálegyenlet – megoldásából épül fel.
Lagrange olyan bonyolultabb helyzetek leírására alkotta meg a parciális differenciálegyenleteket, amelyekben egynél több mennyiség változik – a matematikai szakzsargonban a parciális differenciálegyenletek több változó változó függvényét írják le.
A Schrödinger-egyenlet például a kvantummechanikában jól ismert parciális differenciálegyenlet, amelynek megoldása lehetővé teszi az elektronpályák levezetését. Ezek a pályák leírják azt a térfogatot, amelyen belül egy atomban egy elektronra számítunk.
Group Theory & Symmetry
Langrange 1771-ből származó tétele szerint egy alcsoport rendjének mindig pontosan meg kell osztania a csoport rendjét. Ez volt a csoportelmélet egyik legkorábbi lépése.
Lagrangi pontok
1772-ben Lagrange visszatért egy őt foglalkoztató problémához, a gravitáció három test problémájához. A témáról írt Essai sur le Problème des Trois Corps című értekezésével ismét elnyerte a Francia Tudományos Akadémia díját.
Egy olyan helyzetet vizsgált, amelyben két viszonylag nagy tömegű objektum, például a Föld és a Nap, egy közös súlypont körül kering. Kiszámította az ilyen típusú helyzetre vonatkozó gravitációs potenciált, amelyet az alábbi kontúrtérképen foglalt össze.
Gravitációs potenciál kontúrtérképe a Föld-Nap rendszerre, az öt Lagrange-pontot mutatja: L1, L2, L3, L4, L5.
Ahol a kontúrvonalak közel vannak egymáshoz, ott a gravitációs potenciál magas. Hasonlóképpen, ahol a vonalak távolabb vannak egymástól, a gravitációs potenciál kisebb.
Lagrange öt egyensúlyi pontot azonosított, a Lagrange-pontokat: L1, L2, L3, L4 és L5. Az ezeken a pontokon lévő objektumok a két nagyobb tömeghez képest tartják a helyzetüket. (Euler néhány évvel korábban, egy kevésbé alapos elemzésben azonosította az L1, L2 és L3 pontokat.)
Most a NASA Nap- és Helioszféra-megfigyelő műholdja a Föld-Nap L1 ponton helyezkedik el, így a Napot egy stabil platformról megszakítás nélkül lehet figyelni.
A James Webb űrteleszkóp, a Hubble-űrteleszkóp utódja a tervek szerint 2020-ban kerül a Föld-Nap L2 pontba.
Lagrangi mechanika
Lagrange az 1780-as évek elején Berlinben fejezte be remekművét, az Analitikus mechanikát. Több évnek kellett eltelnie, mire kiadóra talált.
“Már majdnem befejeztem az analitikus mechanikáról szóló könyvet, amely kizárólag a . De mivel még mindig nem tudom, hol és mikor jelenhet meg, nem sietek a befejezésével”.
Lagrange büszke volt arra, hogy könyve nem tartalmazott ábrákat: a mechanikát a tiszta matematika egyik ágának tekintette – négy dimenziós – három térbeli és egy időbeli – geometriának. Úgy vélte, hogy az algebra és a számtan analízisbe olvasztott szigorában nagyobb igazságokat lehet találni, mint abban, amit ő intuitív gondolkodásnak látott, és diagramokban ábrázolt. Büszke volt arra, hogy a mechanikát kivette a geometria tartományából, és szilárdan az analízis területére helyezte.
Lagrange mindent egyetlen alapelvből dolgozott ki: a virtuális munkából. Ebből az elvből kiindulva, amelyre a variációszámítást alkalmazta, létrehozta a Lagrange-féle függvényt az általánosított koordinátákban, ami lehetővé tette, hogy a mechanika számos problémáját új irányból közelítsük meg, és korábban megoldhatatlan feladatokat oldjunk meg.
A Lagrange-féle mechanika a fizikai világ mélyebb megértéséhez vezetett. Például több mint 150 évvel azután, hogy Lagrange megírta az Analitikus mechanikát, Paul Dirac A Lagrange-mű a kvantummechanikában című dolgozata Richard Feynmant a kvantummechanika teljesen új megfogalmazásához, majd az útintegrálokhoz, és végül a kvantumelektrodinamika teljes megoldásához vezette, amelyet ő “a fizika ékkövének” nevezett.
A párizsi évek: 1786-1813
Bár Lagrange Berlinben írta meg az Analitikus mechanika című remekművét, az csak 1788-ban jelent meg, miután a Francia Tudományos Akadémia meghívására Párizsba költözött.
Párizsi éveiben Lagrange-ot depresszió és energiahiány gyötörte – úgy találta, semmi sem tudja lekötni az érdeklődését. Két dolog segítette ki letargiájából: 1792-es házassága egy fiatal, szimpatikus feleséggel; és az, hogy 1793-ban kinevezték a súly- és mértékbizottság elnökévé.
Túlélni a terrort
A francia forradalom rémuralma 1793-ban kezdődött. Lagrange túlélte. Segített, hogy külföldi volt. Emellett szelíd modorú volt, és mindig mindent megtett, hogy elkerülje a vitákat és a politikát.
Antoine Lavoisier, a súly- és mértékbizottság korábbi tagja, a modern kémia egyik megalapítója nem volt ilyen szerencsés: 1794-ben elveszítette a fejét. Lagrange megdöbbent Lavoisier sorsán, és így kommentálta:
“Csak egy pillanat kellett ahhoz, hogy a feje leessen, de talán száz év sem lenne elég ahhoz, hogy megismétlődjön a feje”.
A metrikus rendszer
Lagrange határozottan érvelt a kilogramm és a méter elfogadása mellett. Ezeket a bizottság 1799-ben elfogadta.
Ècole Polytechnique
1794-ben megnyílt Párizsban a Ècole Polytechnique, és az ekkor 58 éves Lagrange-ot a matematika professzorává nevezték ki. Előadásait más professzorok is ízlelgették. A legügyesebb diákok kivételével azonban mindenki túl nehéznek találta őket. Ez hasonló volt a helyzet, mint sok évvel korábban, amikor tizenévesen Torinóban tartott előadásokat.
Sophie Germain, akit nő létére kizártak a Polytechnique-ről, megszerezte Lagrange Analízis előadásának jegyzeteit, és el volt ragadtatva tőlük: ezek voltak a legjobb matematikai jegyzetek, amelyeket látott. Lagrange értesült Germain matematikai tehetségéről, meglátogatta őt, és elterjesztette zsenialitásának hírét.
A család és a vég
1767-ben, 31 évesen Lagrange feleségül vette unokatestvérét, Vittoria Contit. Nem akart gyereket, és ők ketten kényelmes társak voltak – egy ideje már ismerték egymást. Egyikük sem örvendett jó egészségnek, és Vittoria gyakran betegeskedett. A nő 16 év házasság után 1783-ban meghalt. Lagrange mélyen gyászolta őt, és depressziós lett.
1792-ben Párizsban a 24 éves Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier elszerette az 56 éves Lagrange-ot. Apja, a csillagász Pierre Charles Le Monnier révén ismerkedett meg vele. Renée sajnálta Lagrange-ot – zseniális ember volt, aki mintha elvesztette volna az életkedvét; szokatlanul szomorúnak és a világtól megfáradtnak tűnt. Renée elhatározta, hogy feleségül megy hozzá, és minden ellenvetéssel szemben szilárdan kiállt. Összeházasodtak, és mindkettőjük számára boldog házasságnak bizonyult. Gyermekük nem született.
1802-ben Lagrange francia állampolgár lett.
Lagrange rendszeresen látogatta a római katolikus misét, bár egyébként úgy tűnik, keveset beszélt a vallásáról.
Joseph-Louis Lagrange 77 évesen halt meg 1813. április 10-én Párizsban. Felesége, Renée hagyta hátra, és a Panthéonban temették el, sok jeles ember végső nyughelyén, köztük Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin és Pierre & Marie Curie végső nyughelyén.
Az Eiffel-torony 1889-es megnyitásakor Lagrange egyike volt annak a 72 francia tudósnak, mérnöknek és matematikusnak, akiknek nevét a torony tábláira vésték.
“Minden matematikai kompozíciója figyelemre méltó a különleges eleganciával, a formák szimmetriájával és a módszerek általánosságával, és ha szabad így beszélni, az analitikus stílus tökéletességével.”
Az oldal szerzője: The Doc
© Minden jog fenntartva.
Cite this Page
Kérem, használja a következő MLA-konform idézést:
Published by FamousScientists.org
Further Reading
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: Fordította és szerkesztette Auguste Boissonnade és Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013