A közelmúltban próbáltam néhány nagyszerű matematikával kapcsolatos filmet találni, és rátaláltam a “Good Will Hunting”-ra. Ez egy régi film (1997), de bár sokat hallottam róla, még sosem néztem meg. Ezért úgy gondoltam, itt az ideje, hogy kipróbáljam. A film egy 20 éves munkásembert, Will Huntingot követi nyomon, egy fel nem ismert zsenit, aki egy halasztott büntetőeljárásról szóló megállapodás részeként, miután megtámadott egy rendőrtisztet, egy terapeuta kliense lesz, és fejlett matematikát tanul egy neves professzorral.
A film hihetetlenül jó, és nagyon tetszett. Láthatjuk, hogy Will hogyan értékeli át a körülötte lévő emberekkel való kapcsolatait, hogyan néz szembe a múltjával és hogyan dönt a jövőjéről. Teljesen ajánlom ezt a filmet. Én ebben a bejegyzésben nem a szentimentális részről szeretnék beszélni, hanem néhány érdekes matematikát említenék meg, ami megjelenik benne.
A probléma, amiről beszélek, az a film elején megjelenő probléma, amikor a professzor egy trükkös feladatot ad a diákjainak:
A probléma nem rendkívül könnyen érthető, mert elég sok egyetemi szintű matematikát tartalmaz: Lineáris algebra (mátrixok elemi elmélete, mátrixok hatványai, Jordan-normálforma), analízis (konvergencia normált vektorterekben, hatványsorok, hatványsorok konvergenciája), kombinatorika (generáló függvény, számlálás, rekurzív képletek) és gráfelmélet (szomszédsági mátrix, utak, szomszédsági mátrix hatványai).
A probléma leginkább a gráfelmélet nevű matematikai területről származik. Ez a gráfok – az objektumok közötti páros kapcsolatokat modellező matematikai struktúrák – tanulmányozása. Egy gráf ebben a kontextusban csúcsokból, csomópontokból vagy pontokból áll, amelyeket élek, ívek vagy vonalak kötnek össze. Azt mondhatjuk, hogy a gráfok lehetnek irányítatlanok (nincs különbség az egyes élekhez tartozó 2 csúcs között) és irányítottak (élei egyik csúcstól a másikig irányítottak).
Kiderül, hogy a problémák végül is Cayley képletéhez kapcsolódnak, amely kimondja, hogy az n csomóponton lévő címkézett fák száma nn-2. Ezután felsorol 8 különböző címkézetlen fát 10 csomóponttal. Ahhoz, hogy ezt jobban megvilágítsuk, meg kell értenünk, hogy a fa egy olyan irányítatlan gráf, amelyben bármely két csúcsot pontosan egy útvonal köt össze. Ha kíváncsiak lennétek, a matematikában erre az esetre is létezik az erdő fogalma: fák diszjunkt uniója.
A matematikai magyarázatért azt tanácsolom, hogy olvassátok el a Matematika a jószándékú vadászatban II: Problémák a diákok szemszögéből című könyvet. Továbbá Numberphile-nak van egy remek filmje erről a problémáról:
Teljesen azt tanácsolom, hogy olvass többet erről, és esetleg (miért ne?!) kezdj el olvasni a gráfelméletről (kattints a képre a további információkért):
Kellemes hetet kívánok. Megtalálsz a Facebookon, Tumblr-on, Google+-on, Twitteren és Instagramon. Igyekszem majd minél gyakrabban posztolni oda.
Ne felejtsétek el, hogy a matek mindenhol ott van! Jó szórakozást!
