Bisection

3.2 Aproksymacja jakościowa z górną i dolną miarą oraz rozróżnialność przechodnia

Psychologiczne rozważania na temat progów poniżej, dla których percepcyjne lub inne oceny porównawcze są trudne, jeśli nie niemożliwe, zostały zapoczątkowane przez Fechnera. Ważną, wczesną analizę matematyczną przeprowadził Wiener. Duża część współczesnej literatury zaczyna się od definicji półporządku Luce’a, która została aksjomatyzowana jako pojedyncza relacja binarna w przypadku skończonym przez Scotta i Suppesa. Niektóre z najbardziej znaczących prac zostały wykonane przez Falmagne’a.

Probabilistyczna analiza progów pochodzi co najmniej z prac Thurstone’a. Falmagne był również głównym autorem tego podejścia, a wiele innych prac zostało napisanych wspólnie z kolegami: Falmagne i Iverson , Falmagne et al., , oraz Iverson i Falmagne . Obszerny przegląd całej tej literatury znajduje się w Suppes et al., .

Prawie cała wspomniana praca zakłada, że nierozróżnialność podobnych zdarzeń, obiektów lub bodźców jest relacją nieprzechodnią. Domyślne założenie jest takie, że przy wielu różnych obserwacjach dyskryminujących, wiele początkowo nierozróżnialnych zdarzeń może zostać rozdzielonych. Tutaj punktem wyjścia i powodem użycia w tytule słowa „przechodni” jest przeciwieństwo. Jest to konsekwencja wprowadzonych aksjomatów, że nierozróżnialność jest relacją równoważności, a więc przechodnią. Pozostała część tej sekcji czerpie w dużej mierze z Suppes .

W poprzedniej sekcji dokonałem krótkiego przeglądu obszernych pomiarów skoncentrowanych na konstrukcji skończonej standardowej reprezentacji skali proporcji. Podstawa przechodniości nierozróżnialności jest teraz łatwa do wyjaśnienia. Ważony obiekt jest przypisany do unikalnego minimalnego przedziału, na przykład takiego, który zawiera się między 1,9 g a 2,0 g. Binarna relacja dwóch obiektów, a i b, nie należących do sekwencji standardowej, będących równoważnymi wagowo, a ≈ b, polega na tym, że są one przypisane do tego samego minimalnego przedziału w sekwencji standardowej. Relacja ta jest oczywiście relacją równoważności, tzn, refleksyjna, symetryczna i przechodnia, ale w opracowanym systemie aproksymacji własności te nie są bezpośrednio testowalne, lecz raczej konsekwencjami operacji ważenia ze standardowymi, już „skalibrowanymi” zbiorami wag.

Więc, w stosowanej później notacji, obiekt przypisany do minimalnego przedziału (1.9 g, 2.0 g) mówi się, że ma, jako przybliżenie, górną miarę (wagi) w* (a) = 2.0 g i dolną miarę w*(a) = 1.9 g. W praktyce, dla wszystkich, z wyjątkiem najbardziej wyrafinowanych procedur pomiarowych, nie przeprowadza się analizy statystycznej posiadania wagi w takim minimalnym przedziale. W przypadkach, gdy minimalny przedział standardowej sekwencji jest tylko na granicy wydajności przyrządu, analiza statystyczna może być podana dla powtarzanych pomiarów.

Zwykła praktyka nie jest całkowicie zgodna z moim użyciem minimalnego przedziału, a tym samym przypisaniem górnej i dolnej granicy jako odpowiedniego przybliżonego pomiaru. Ale to, co się robi, jest ściśle i prosto powiązane. Jak uczono na elementarnych kursach fizyki, aby wyrazić pomiar jako „dokładny do 0,1 g”, na przykład, pomiar jest zapisywany jako 1,9 ± 0,1 g. W praktyce zwykle zaleca się stosowanie dwóch sąsiednich minimalnych przedziałów w celu zmniejszenia niepewności oraz wyrażenie samego pomiaru jako pojedynczej liczby. Aksjomaty podane w rozdziale 3 mogą być łatwo zmienione, aby uwzględnić to użycie dwóch sąsiednich, a nie jednego minimalnego przedziału.

Ta sama notacja ± jest również szeroko stosowana do wyrażania statystycznego błędu standardowego powtarzanych pomiarów. Koncepcyjnie ważne jest tutaj, aby zachować zarówno górne, jak i dolne miary, ponieważ podstawowy pogląd sformalizowany w aksjomatach jest taki, że w danych okolicznościach nie jest dostępny żaden dokładniejszy pomiar niż ten z minimalnego przedziału. I żadna teoretyczna konstrukcja rozkładu prawdopodobieństwa dla lokalizacji w minimalnym przedziale nie ma większego sensu naukowego. Podkreślamy, że podana formalizacja ma być krokiem zbliżającym do wielu, ale z pewnością nie wszystkich, rzeczywistych praktyk pomiarowych, gdy dostępna jest stała reprezentacja w skali standardowej.

Jak chodzi o terminologię, to co nazwałem skończoną równomiernie rozmieszczoną strukturą ekstensywną, mogłoby równie dobrze być nazwane skończoną standardową sekwencją ekstensywną. Terminologia sekwencji standardowych jest znana w literaturze poświęconej podstawom pomiaru. Język ten sugeruje użyteczny termin zbiory standardowe dla zbiorów wag tworzących ciąg standardowy.

Dla późniejszego użycia ważne jest, aby zauważyć, że dla dwóch zbiorów wag standardowych A i B, jeśli nie są one równoważne wagowo, to minimalna możliwa różnica między nimi jest wagą jednego zbioru atomowego. Dokładniej, uporządkowana para zbiorów (A, B) jest minimalną parą zbiorów standardowych, jeśli μ(A) – μ(B) = μ(jeden zbiór atomowy), tzn. ich różnica jest faktycznie minimalna dla nierównoważnych zbiorów standardowych. Zauważmy, że jeśli (A, B) jest parą minimalną, to A ≥ B. Równoważność takich par jest użytecznym pojęciem do zdefiniowania. Dwie pary minimalne (A, B) i (A′, B′,) są równoważne, jeśli μ(A) = μ(A′) i μ(B) = μ(B′). Oto trzy spostrzeżenia, które są istotne dla późniejszych dyskusji.

Zakładając teraz skończoną jednakowo rozłożoną strukturę ekstensywną (zwaną też skończonym ciągiem standardowym), podane są dodatkowe aksjomaty dotyczące pomiaru w przybliżeniu dowolnego obiektu fizycznego w zasięgu ciągu standardowego. Pojęciami pierwotnymi są teraz

Jeśli (S1, S2) jest parą minimalną i S1 ≥ W1 ≥ S2, to mówi się, że (S1 S2) jest parą minimalną dla W1, a także mówi się, że W1 ma parę minimalną.

Właściwe są pewne uwagi do tych aksjomatów. Aksjomat 1 po prostu wprowadza strukturę zbiorów standardowych w ramy aproksymacji. Aksjomat 2 wymaga, aby obiekty pomiędzy tymi w S, skalibrowanymi dla zbiorów standardowych, a tymi w W, obiektami do ważenia, nie pokrywały się. Aksjomat 3 jest jedynym aksjomatem wyrażonym wyłącznie w kategoriach obiektów ważonych, bez testów z użyciem wag standardowych. Jego wymóg połączoności ≥ dla W jest znany. Aksjomaty 4-11 formułują testowalne założenia, które są wystarczające, aby uzasadnić przybliżony pomiar ciężarów mieszczących się w zakresie zbiorów standardowych. Ponieważ oba zbiory S i W są skończone, każdy z aksjomatów można bezpośrednio przetestować na wadze równoramiennej. Aksjomat 4 podaje test na to, że W1 jest ściśle cięższy od W2, czyli znajdujemy S1 taki, że W1 ≥ S1 i S1 ≥ W2. Aksjomat 5 podaje warunek przechodniości, że tak powiem, na związek między zbiorami standardowymi a zbiorami lub obiektami ważonymi. Jeśli S1 jest cięższy od W1, a W1 jest cięższy od S2, to musi być tak, że S1 jest cięższy od S2. Aksjomat 6 wyklucza, by dowolny ważony obiekt W1 miał dokładnie taką samą wagę jak dowolny zbiór standardowy. Słabsze formy tego aksjomatu są możliwe, ale z udziałem komplikacji warunków testowania. Aksjomat ten jest podobny do znanych aksjomatów „wymuszonego wyboru” w pomiarach przekonań lub działań. Aksjomat 7 wymaga, aby dowolny ważony obiekt W1 był cięższy niż dowolny minimalny dodatni zbiór standardowy S1. Aksjomat ten pozwala, by waga równoramienna lub porównywalne urządzenie nie było wrażliwe na żaden dodatni ciężar mniejszy niż minimalny zbiór wzorcowy. Aksjomat 8 jest oczywiście uogólnieniem na pomiar przybliżony zwykłego jakościowego aksjomatu dodawania, którego przykładem jest aksjomat 2 z definicji 1. Aksjomat 9 gwarantuje, że mając do ważenia rozłączne zbiory W1 i W2, można znaleźć rozłączne zbiory standardowe, które są najmniejszymi górnymi granicami, S1 dla W1 i S1 dla W2, które również są rozłączne. Nie wynika to z innych aksjomatów, bo jeśli W1 ∪ W2 = W, to unia rozłącznych najmniejszych górnych granic, S1 ∪ S1 może być o jeden atomowy zbiór standardowy większa niż najmniejsza górna granica samego W, więc S musi być powiększone, by objąć ten przypadek. Możliwości te są wyjaśnione w Twierdzeniu 12. Aksjomat 10 jest testem na to, że W1 jest ściśle cięższy od W2, przy czym test ten jest oczywiście względny względem szorstkości zbiorów standardowych. Aksjomat 11 gwarantuje, że dowolne obiekty lub zbiory obiektów do ważenia mieszczą się w przedziale zbiorów standardowych poprzez posiadanie minimalnej pary zbiorów standardowych, tj. dyskretnego najmniejszego górnego ograniczenia i dyskretnego największego dolnego ograniczenia wśród zbiorów standardowych.

Na początku podajemy próbkę elementarnych twierdzeń, skupiając się na przechodniości relacji ≥ i ≈ między zbiorami obiektów do ważenia.

THEOREM 10. Jeśli W1 ≈ W2 i W2 ≥ W3 to W1 ≥ W3.

Następne twierdzenie pokazuje, że relacja równoważności ≈ dla zbiorów standardowych ma własność kongruencji dla ≥ na zbiorze S × W.

THEOREM 11. Jeśli S1 ≈ S1 i S1 ≥ W1 to S1 ≥ W1.

Następne twierdzenie głosi testowalne kryterium nierozróżnialności W1 i W2.

TEOREM 12. W1 ≈ W2 wtedy i tylko wtedy, gdy W1 i W2 mają równoważne pary minimalne.

Podobnymi metodami możemy udowodnić blisko spokrewniony wynik.

Jesteśmy teraz w stanie twierdzić o przechodniości nierozróżnialności wag.

TEOREM 14. Jeżeli W1 ≈ W2 i W2 ≈ W3 to W1 ≈ W3.

Znaczenie następnego twierdzenia dla określenia przybliżenia, które zachodzi przy dodawaniu dwóch rozłącznych zbiorów W1 i W2 obiektów ważonych, ujawnia się w dyskusji następującej po tym twierdzeniu.

W dodawaniu przybliżonej wagi dwóch zbiorów obiektów fizycznych, z ważenia ich pojedynczo, przybliżony wynik nie pozwala nam wnioskować, który z dwóch dysjunktów sformułowanych w Twierdzeniu 15 zachodzi. Te dwie dysjunkcje opisują dwa sąsiednie, ale różne minimalne przedziały. Jest jednak jedna ważna cecha, którą warto zauważyć. Dodawanie nie zwiększa przedziału aproksymacji po dodaniu. Tak więc w Twierdzeniu 15, gdy mamy dane W1 i W2, bez dalszych informacji nie wiemy, w którym minimalnym przedziale leży W1 ∪ W2, ale, jak twierdzi dysjunkcyjny wniosek aksjomatu, jest to tylko jeden z dwóch sąsiednich minimalnych przedziałów, a dokonując porównania empirycznie, możemy określić, który.

Dysjunkcyjna klauzula (iii) Twierdzenia 15 i założenie dokładności, tj, brak aproksymacji w pomiarze samego ciągu standardowego, odróżniają się od dyskusji i wyników dotyczących aproksymacji w kilku różnych miejscach w Foundations of Measurement . W rzeczywistości, standardowe pojęcie pary (μ*, μ*) miar górnych i dolnych, użytecznych jako miary aproksymacji, nie jest wprowadzone nigdzie w trzech tomach Foundations of Measurement. Definicja takiej pary (μ*, μ*) ma postać podaną wcześniej dla miary μ.

Pojęcie pary (μ*, μ*) miar górnych i dolnych nie jest nowe. Sięga co najmniej do użycia wewnętrznych i zewnętrznych miar w analizie w drugiej części XIX wieku przez Carathedory’ego i innych. Użycie w prawdopodobieństwie sięga przynajmniej Koopmana .

Przedstawienie przybliżonego pomiaru jest wyraźnie podane w kategoriach górnych i dolnych miar. Twierdzenie 15, lub coś w przybliżeniu równoważnego, jest potrzebne do ustalenia subaddytywnych i superaddytywnych własności górnych i dolnych miar. Własności te są sformułowane explicite w części (v) następnego twierdzenia.

Porównanie nierówności z klauzuli (v) właśnie udowodnionego twierdzenia z dwiema dysjunkcyjnymi możliwościami jakościowymi wyrażonymi w Twierdzeniu 15 sugeruje, że można udowodnić ściślejszy związek, i tak jest w istocie. Nierówności w klauzuli (v) można zacieśnić do (v’) przez wstawienie wyrażenia μ*(W1) + μ* (W2), co jest uzasadnione Twierdzeniem 15.

KOROLLARY 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Nie podałem wyniku niezmienniczości dla Twierdzenia 16, gdyż oczywisty wynik wynika z tej części Twierdzenia 1. Jest jednak inny, pokrewny, bardziej interesujący wniosek. Minimalny przedział skończonego ciągu standardowego S = (S, F, ≥), który jest częścią dowolnej struktury przybliżonego pomiaru ekstensywnego, jak charakteryzuje Definicja 11, ustala jakościową precyzję empiryczną pomiarów empirycznych. Rozważmy teraz drugą skończoną sekwencję standardową T do pomiaru tej samej własności podzbiorów W i niech (T1, T′1) będzie minimalnym przedziałem T. Wtedy, w przeciwieństwie do konwencjonalnego przyjmowania jednostki miary ekstensywnej, w przypadku miary przybliżonej mamy bezpośrednio jakościowe porównanie precyzji podane przez empiryczny stosunek (S1, S′1) do (T1, T′1). Na przykład „waga”, której regularnie używam do ważenia się, ma minimalny przedział 0,25 lb, ale inna, której używam rzadziej, ma minimalny przedział 0,1 kg. Ponieważ 1 kg = 2,20 lb, stosunek 0,25 lb do 0,1 kg wynosi .25/.22, czyli, z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, 1,14. Tak więc standardowa sekwencja kalibrowana w systemie metrycznym jest nieco bardziej precyzyjna, chociaż obie „skale” zapewniają minimalne przedziały poza precyzją zwykle obserwowaną lub rejestrowaną dla większości celów. Wszelkie dalsze udoskonalenie jednego z nich jest mało lub nie ma znaczenia dla celów pomiaru masy ciała.

Podobne przykłady są łatwo podane do pomiaru długości przy użyciu różnych skończonych sekwencji standardowych. Ponadto, przybliżona teoria opracowana tutaj w kategoriach górnych i dolnych środków mogą być łatwo rozszerzone przez te same metody do pomiaru różnicy, pomiar dwusiecznej i conjoint pomiaru, a z nieco większą trudnością do kilku wymiarów, np. afinicznej lub Euklidesa geometrii. Nie jest zaskoczeniem, że zastosowania miar górnych i dolnych zostały najbardziej wykorzystane do przybliżonego pomiaru subiektywnego prawdopodobieństwa. Wyczerpujący przegląd i analizę przedstawił Walley . Mój własny wcześniejszy wkład, Suppes , używa górnych i dolnych miar prawdopodobieństwa, ale z nieprzechodnią nierozróżnialnością.

Skupiamy się tutaj na przybliżonym pomiarze, ale bardzo różna teoria górnych i dolnych miar prawdopodobieństwa może być wyprowadzona z bezpośredniego uogólnienia teorii zbiorów od zmiennych losowych jako funkcji losowych do relacji losowych. Wskazówką teoretycznej różnicy jest to, że górne i dolne miary wyprowadzone z relacji losowych przez Suppesa i Zanottiego są pojemnościami nieskończonego rzędu w sensie Choqueta . W przeciwieństwie do tego, miary górna i dolna rozważane tutaj dla pomiaru przybliżonego nie są nawet pojemnościami rzędu drugiego. Jasne jest, że sens aproksymacji wprowadzony tutaj i w Suppesie nie jest w żadnym sensie jedyną możliwością.