Model znajdzie wartości Ts i Ta, które pozwolą, aby moc promieniowania wychodzącego, uciekającego z górnej części atmosfery, była równa pochłoniętej mocy promieniowania słonecznego. W przypadku zastosowania do planety takiej jak Ziemia, promieniowanie wychodzące będzie długofalowe, a światło słoneczne krótkofalowe. Te dwa strumienie promieniowania będą miały odrębne charakterystyki emisji i absorpcji. W modelu wyidealizowanym zakładamy, że atmosfera jest całkowicie przezroczysta dla światła słonecznego. Albedo planetarne αP jest to ułamek przychodzącego strumienia słonecznego, który jest odbijany z powrotem w przestrzeń kosmiczną (ponieważ zakłada się, że atmosfera jest całkowicie przezroczysta dla promieniowania słonecznego, nie ma znaczenia, czy albedo jest wyobrażone jako spowodowane odbiciem od powierzchni planety, szczytu atmosfery czy też mieszaniny). Gęstość strumienia przychodzącego promieniowania słonecznego jest określona przez stałą słoneczną S0. Dla zastosowania do planety Ziemia odpowiednie wartości to S0=1366 W m-2 i αP=0,30. Uwzględniając fakt, że powierzchnia kuli jest 4 razy większa od powierzchni jej punktu przecięcia (jej cienia), średnie przychodzące promieniowanie wynosi S0/4.
Dla promieniowania długofalowego przyjmuje się, że powierzchnia Ziemi ma emisyjność 1 (tzn. Ziemia jest ciałem czarnym w podczerwieni, co jest realistyczne). Powierzchnia emituje gęstość strumienia radiacyjnego F zgodnie z prawem Stefana-Boltzmanna:
F = σ T 4 { {przyp. tłum. F=sigma T^{4}}}
gdzie σ jest stałą Stefana-Boltzmanna. Kluczem do zrozumienia efektu cieplarnianego jest prawo Kirchhoffa dotyczące promieniowania cieplnego. Przy dowolnej długości fali absorpcyjność atmosfery będzie równa emisyjności. Promieniowanie z powierzchni może znajdować się w nieco innej części widma podczerwonego niż promieniowanie emitowane przez atmosferę. Model zakłada, że średnia emisyjność (absorpcyjność) jest identyczna dla każdego z tych strumieni promieniowania podczerwonego, ponieważ oddziałują one z atmosferą. Tak więc, dla promieniowania długofalowego, jeden symbol ε oznacza zarówno emisyjność, jak i absorpcyjność atmosfery, dla dowolnego strumienia promieniowania podczerwonego.
Gęstość strumienia podczerwieni z górnej części atmosfery:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {{displaystyle F\uparrow = \epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}
W ostatnim członie, ε reprezentuje ułamek promieniowania długofalowego z powierzchni, które jest pochłaniane, czyli chłonność atmosfery. W pierwszym członie po prawej stronie, ε jest emisyjnością atmosfery, dostosowaniem prawa Stefana-Boltzmanna, aby uwzględnić fakt, że atmosfera nie jest optycznie gruba. Tak więc ε odgrywa rolę zgrabnego mieszania, lub uśredniania, dwóch strumieni promieniowania w obliczeniach gęstości strumienia na zewnątrz.
Zero promieniowania netto opuszczającego szczyt atmosfery wymaga:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 { {displaystyle -{frac {1}{4}}S_{0}(1-alfa _{p})+ \epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Zero promieniowania netto wchodzącego na powierzchnię wymaga:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 { {displaystyle {}frac {1}{4}}S_{0}(1-alfa _{p})+ \epsilon \sigma T_{a}^{4}- \sigma T_{s}^{4}=0}.
Równowaga energetyczna atmosfery może być wyprowadzona albo z dwóch powyższych warunków równowagi, albo niezależnie wydedukowana:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {{displaystyle 2 \epsilon \sigma T_{a}^{4}- \epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Zwróć uwagę na istotny czynnik 2, wynikający z faktu, że atmosfera promieniuje zarówno w górę, jak i w dół.Zatem stosunek Ta do Ts jest niezależny od ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {displaystyle T_{a}={T_{s} ^{1/4}}={T_{s} ^{1/4}}={T_{s} ^{1,189}}
Tak więc Ta może być wyrażone w kategoriach Ts, a rozwiązanie dlaTs uzyskuje się w kategoriach parametrów wejściowych modelu:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {{displaystyle {{frac {1}{4}}}S_{0}(1-alfa _{p}})=}left(1-{frac {{epsilon }{2}}}right)\sigma T_{s}^{4}}.
albo
T s = 1 / 4 {{displaystyle T_{s}= νma T_{s}^{1/4}}
Rozwiązanie to można również wyrazić w kategoriach efektywnej temperatury emisji Te, czyli temperatury charakteryzującej gęstość wychodzącego strumienia podczerwieni F, tak jakby radiator był idealnym promiennikiem spełniającym F=σTe4. Łatwo to sobie wyobrazić w kontekście tego modelu. Te jest również rozwiązaniem dla Ts, dla przypadku ε=0, czyli braku atmosfery:
T e ≡ 1 / 4 {{displaystyle T_{e}} {{left^{1/4}}
Z definicją Te:
T s = T e 1 / 4 {displaystyle T_{s}=T_{e}}}left^{1/4}}
Dla idealnej szklarni, w której żadne promieniowanie nie ucieka z powierzchni, czyli ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}}quad T_{a}=T_{e}}}
Używając parametrów zdefiniowanych powyżej jako odpowiednie dla Ziemi,
T e = 255 K = – 18 C {displaystyle T_{e}=255~mathrm {K} =-18~mathrm {C} }
Dla ε=1:
T s = 303 K = 30 C {displaystyle T_{s}=303~mathrm {K} =30~mathrm {C} }
Dla ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {displaystyle T_{s}=288,3~~mathrm {K} \quad T_{a}=242.5~ \mathrm {K} }
.
Ta wartość Ts jest bliska opublikowanej 287.2 K średniej globalnej „temperatury powierzchni” na podstawie pomiarów. ε=0.78 implikuje, że 22% promieniowania powierzchniowego ucieka bezpośrednio w przestrzeń, co jest zgodne z twierdzeniem, że 15% do 30% ucieka w efekcie cieplarnianym.
Wymuszenie radiacyjne dla podwojenia dwutlenku węgla wynosi 3.71 W m-2, w prostej parametryzacji. Jest to również wartość zatwierdzona przez IPCC.Z równania dla F {{displaystyle Fuparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {displaystyle \Delta F\uparrow = \Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}}right)}
Użycie wartości Ts i Ta dla ε=0,78 pozwala na uzyskanie Δ F {displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 przy Δε=.019. Zatem zmiana ε z 0.78 na 0.80 jest zgodna z wymuszeniem radiacyjnym wynikającym z podwojenia ilości dwutlenku węgla. Dla ε=0.80, T s = 289.5 K { {displaystyle T_{s}=289.5~~mathrm {K} }
Tak więc model ten przewiduje globalne ocieplenie o ΔTs = 1,2 K dla podwojenia ilości dwutlenku węgla. Typowa prognoza GCM wynosi 3 K ocieplenia powierzchni, głównie dlatego, że GCM pozwala na dodatnie sprzężenie zwrotne, zwłaszcza z powodu zwiększonej ilości pary wodnej. Prostym surogatem uwzględnienia tego procesu sprzężenia zwrotnego jest dodatkowy wzrost Δε=.02, dla całkowitej Δε=.04, w celu przybliżenia efektu wzrostu pary wodnej, który byłby związany ze wzrostem temperatury. Ten wyidealizowany model przewiduje globalne ocieplenie ΔTs = 2.4 K dla podwojenia dwutlenku węgla, z grubsza zgodne z IPCC.