Joseph-Louis Lagrange jest gigantem w historii matematyki. Wniósł znaczący wkład w rozwój fizyki, mechaniki nieba, rachunku, algebry, teorii liczb i teorii grup. Był w dużej mierze samoukiem i nie uzyskał dyplomu uniwersyteckiego.
Zafascynowany maksimami i minimami funkcji, Lagrange był głównym twórcą rachunku wariacyjnego.
W daleko idącym przeformułowaniu praw Isaaca Newtona Lagrange stworzył nową, błyskotliwą wizję mechaniki. Dokonał tego za pomocą rachunku wariacyjnego, aby ujawnić szerokie implikacje jednej zasady fizycznej, pracy wirtualnej. Jednym z rezultatów była funkcja Lagrangiana, niezbędna w zaawansowanej fizyce, obliczana przez odjęcie energii potencjalnej od energii kinetycznej.
Wizja Lagrange’a opierała się całkowicie na algebrze i rachunku. Uważał, że jest to bardziej rygorystyczne matematycznie niż intuicyjne pomysły generowane przez geometrię. Uważał, że jego metody pozycjonują mechanikę w sferze czystej matematyki.
W mechanice nieba Lagrange odkrył punkty Lagrangiana, uwielbiane zarówno przez pisarzy science-fiction, jak i projektantów obserwatoriów i stacji kosmicznych.
Lagrange dał nam znaną notację f′(x) do przedstawienia pochodnej funkcji, f′′(x) drugiej pochodnej itd. i rzeczywiście to on dał nam słowo pochodna.
Osiągnięcia i kluczowe punkty
Joseph-Louis Lagrange był płodnym matematykiem i fizykiem samoukiem. Niektóre z jego głównych osiągnięć to:
Lagrange:
- W oparciu o wcześniejszą pracę Leonharda Eulera stworzył rachunek wariacji – nazwał go swoją „metodą wariacji.”
- Wprowadził notację ∂ i stworzył pierwsze równania różniczkowe cząstkowe.
- Dał najbardziej uogólnione stwierdzenie zasady najmniejszego działania w swojej epoce.
- Stworzył całkowicie nową dziedzinę mechaniki, mechanikę Lagrangiana, zarówno dla ciał stałych, jak i płynów, opartą na pojęciu pracy wirtualnej i wykorzystującą funkcję Lagrangiana.
- Wprowadził pojęcie uogólnionych współrzędnych. Mechanika Lagrangiana może być używana w dowolnym układzie współrzędnych – problemy są uproszczone przez wybór odpowiedniego układu.
- Wynalazł pojęcie potencjału: na przykład pole grawitacyjne jest polem potencjalnym.
- Odkrył orbity Lagrangiana.
- Rozwiązał stuletnie problemy w teorii liczb postawione przez Fermata, które pokonały innych matematyków.
- Był twórcą teorii grup.
- Odegrał kluczową rolę w stworzeniu metrycznego systemu miar i wag.
Początki
Joseph-Louis Lagrange urodził się w zamożnej rodzinie (jego rodzice chrzestni byli arystokratami) we włoskim mieście Turyn w Piemoncie 25 stycznia 1736 roku.
W chwili urodzenia nazywał się Giuseppe Lodovico Lagrangia. Francuska forma jego nazwiska jest zwykle używany, ponieważ napisał wiele swoich prac w języku francuskim i, w drugiej części swojego życia, osiadł w Paryżu.
Jako nastolatek we Włoszech, Joseph zaczął nazywać siebie Lagrange. Miał francuskich przodków po obu stronach rodziny, z czego, jak się wydaje, był dumny, choć zawsze uważał się raczej za Piemontczyka niż Francuza. Po wielu latach w Paryżu zachował swój silny włoski akcent.
Joseph został nazwany na cześć swojego ojca, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, podskarbiego króla, odpowiedzialnego za fortyfikacje i infrastrukturę Turynu. Matką Józefa była Maria Teresa Grosso, córka wybitnego lekarza. Józef był najstarszym z ich 11 dzieci, z których tylko dwoje przeżyło dzieciństwo.
Edukacja
W 1750 roku, w wieku 14 lat, Józef został studentem na Uniwersytecie Turyńskim. Znudzony geometrią Euklidesa i Archimedesa, nie był zainteresowany studiowaniem matematyki.
Planował pójść w ślady ojca i studiować prawo. Jego ojciec popadł jednak w kłopoty finansowe, nierozważnie spekulując.
Zainteresowanie Josepha matematyką pojawiło się, gdy przeczytał pracę napisaną w poprzednim wieku przez Edmunda Halleya, w której Halley użył równań algebraicznych do opisania optycznej wydajności soczewek. W przeciwieństwie do geometrii, coś w algebrze Halleya go urzekło.
Oddalił się od prawa i zaczął uczęszczać na wykłady z matematyki i fizyki. Chociaż lubił je, to właśnie nasiąknięcie nowatorskimi książkami matematyków takich jak Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin i Jean d’Alembert sprawiło, że posunął się naprzód w niemal cudownym tempie.
Lagrange nie sypiał zbyt wiele. Wdał się w trwający całe życie nawyk utrzymywania się na nogach przez długie godziny pracy przy pomocy herbaty i kawy.
Lagrange’s Concept of Mathematics
René Descartes i Pierre de Fermat wykazali, że geometria i algebra są wymienne. Związek ten był od dawna podejrzewany. W jedenastym wieku Omar Khayyam napisał:
„Kto myśli, że algebra jest sztuczką w uzyskiwaniu niewiadomych, myśli na próżno. Nie należy zwracać uwagi na fakt, że algebra i geometria są różne w wyglądzie. Algebry są faktami geometrycznymi, których dowodzą twierdzenia 5 i 6 z księgi drugiej Elementów Euklidesa.”
Izaak Newton stworzył swój słynny system świata w Principiach, opierając się na ideach geometrycznych.
Lagrange coraz bardziej utwierdzał się w przekonaniu, że dalszy postęp w mechanice będzie hamowany przez geometrię. Preferował analizę – całkowicie algebraiczne podejście do rachunku.
„Wielkimi mistrzami nowoczesnej analizy są Lagrange, Laplace i Gauss, którzy byli sobie współcześni… Lagrange jest doskonały zarówno w formie, jak i w treści, starannie objaśnia swoją procedurę i choć jego argumenty są ogólne, łatwo za nimi podążać. Laplace z drugiej strony nie wyjaśnia niczego… Gauss jest równie dokładny i elegancki jak Lagrange, ale jeszcze trudniejszy do naśladowania niż Laplace…”
Novice Mathematician
W 1754 roku, w wieku 18 lat, Joseph Lagrange opublikował swoją pierwszą pracę matematyczną: List do Giulio Carlo da Fagnano. Opisał w nim swoje odkrycie, że rozwinięcie dwumianowe i wzór na różniczkę iloczynu mają identyczne współczynniki.
Nie był to nowy wynik, choć na początku tak mu się wydawało.
Życie Lagrange’a w kontekście
Życie Josepha Lagrange’a i życie pokrewnych matematyków.
Joseph-Louis Lagrange’s Works
Calculus of Variations
W sierpniu 1755 roku, w wieku 19 lat, Lagrange wysłał pracę do największego żyjącego matematyka na świecie, Leonharda Eulera. Opisał w nim swoją nową metodę znajdowania maksimów i minimów funkcji, stanowiącą błyskotliwy skok naprzód w rachunku. We wrześniu 1755 roku Euler odpisał, wyrażając swój wielki podziw dla pracy Lagrange’a.
Późniejsza korespondencja Lagrange’a i Eulera doprowadziła do powstania nowej gałęzi matematyki – rachunku wariacji.
Euler był tak przytłoczony znaczeniem pracy Lagrange’a, że zaproponował, aby młody człowiek z Turynu został wybrany na zagranicznego członka Akademii Berlińskiej. Lagrange został wybrany 2 września 1756 roku, w wieku 20 lat.
Lagrange zawsze uważał, że założenie rachunku wariacyjnego było jego największym dziełem. Ugruntowało ono jego pozycję, gdy był jeszcze nastolatkiem, jako jednego z największych matematyków XVIII wieku.
Hilbert i rachunek wariacji
David Hilbert
W 1900 roku, 145 lat po tym, jak Lagrange stworzył rachunek wariacji, pozostawał on jedną z najważniejszych dziedzin matematyki. Gdy David Hilbert postawił przed matematykami świata swoje słynne 23 problemy, trzy z nich dotyczyły rachunku wariacji:
- Problem 19: Czy rozwiązania regularnych problemów w rachunku wariacji są zawsze koniecznie analityczne? Problem ten został rozwiązany przez Ennio de Giorgi i Johna F. Nasha. Odpowiedź jest twierdząca.
- Problem 20: Czy wszystkie problemy wariacyjne z pewnymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania? Wygenerowało to ogromną ilość pracy wykonanej przez dużą liczbę matematyków. Odpowiedź brzmi: tak.
- Problem 23: Potrzebny jest dalszy rozwój rachunku wariacyjnego. Jest to problem, który, jak przyznał Hilbert, nie ma jednoznacznego rozwiązania. Uważał jednak tę dziedzinę za tak istotną dla przyszłości matematyki, że chętnie uczynił ją swoim ostatnim problemem.
Wizja
Lagrange miał wielkie pomysły. W wieku 20 lat jego wizją było zjednoczenie całej mechaniki za pomocą tylko jednej fundamentalnej zasady:
„Wydedukuję kompletną mechanikę ciał stałych i płynnych za pomocą zasady najmniejszego działania.”
Lagrange ostatecznie osiągnął swój cel w latach osiemdziesiątych XVII wieku, opisując swój sukces w Mechanice Analitycznej w 1788 roku. Jedyną zasadą jednoczącą okazała się praca wirtualna, a nie najmniejsze działanie. Po raz pierwszy użył pracy wirtualnej w 1763 r. w pracy omawiającej librację Księżyca.
Założenie Turyńskiej Akademii Nauk
Lagrange miał już dość dusznych postaw naukowych w Turynie. W 1757 r. zebrał się wraz z dwoma innymi byłymi studentami, aby utworzyć Turyńskie Towarzystwo Prywatne. Celem Towarzystwa było kultywowanie badań naukowych na wzór francuskich i berlińskich akademii nauk.
W 1759 roku nowe towarzystwo zaczęło wydawać własne czasopismo w języku francuskim i łacińskim: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
W 1783 roku, dzięki poparciu króla, towarzystwo przekształciło się w Królewską Akademię Nauk w Turynie.
Moving Beyond Newton
Lagrange zaczął publikować swoje prace w czasopiśmie towarzystwa. W wielu z nich stosował swój nowy rachunek wariacji w świecie fizycznym, odkrywając nowe wyniki i rzucając nowe światło na zjawiska. Jego prace z tego okresu ukazują się w trzech historycznych tomach, z których wszystkie zawierają wiele przełomowych prac, w tym:
- Teoria rozchodzenia się dźwięku, w tym pierwszy kompletny matematyczny opis struny drgającej jako fala poprzeczna. Również pierwsze zastosowanie rachunku różniczkowego w teorii prawdopodobieństwa.
- Teoria i notacja rachunku wariacyjnego, rozwiązania problemów dynamiki i dedukcja zasady najmniejszego działania.
- Rozwiązania kolejnych problemów dynamiki, pierwsze zastosowanie funkcji Lagrangiana, ogólne równania różniczkowe opisujące trzy ciała wzajemnie przyciągane przez grawitację, całkowanie równań różniczkowych i rozwiązanie stuletniego problemu, jaki Pierre de Fermat postawił w teorii liczb.
Zamknięcie pływowe & Libracja Księżyca
W 1764 roku Lagrange otrzymał nagrodę Francuskiej Akademii Nauk za pracę opisującą, dlaczego widzimy tylko jedną tarczę Księżyca i dlaczego obserwujemy librację. Libracja to pozorne chwianie się i kołysanie Księżyca spowodowane efektami orbitalnymi, które pozwala nam zobaczyć więcej jego powierzchni niż moglibyśmy się spodziewać. W wyniku libracji Księżyca, gdy obserwujemy go przez pewien okres czasu, możemy w rzeczywistości zobaczyć około 59 procent jego powierzchni, a nie 50 procent, których początkowo moglibyśmy się spodziewać.
Zwycięska praca Lagrange’a była również znacząca, ponieważ po raz pierwszy wykorzystał on zasadę pracy wirtualnej: później użył tej zasady jako podstawy mechaniki Lagrangiana.
Księżyce Jowisza
W 1766 roku Lagrange ponownie zdobył nagrodę Francuskiej Akademii Nauk, tym razem za wyjaśnienie orbit księżyców Jowisza.
Lata berlińskie: 1766-1786
W wieku 30 lat Lagrange przeniósł się do Berlina, zastępując Eulera na stanowisku dyrektora matematyki w Pruskiej Akademii Nauk. Akademia próbowała przyciągnąć go od 19 roku życia, ale odmówił, ponieważ czuł, że będzie w cieniu Eulera.
20 lat, które Lagrange spędził w Berlinie, były jego najbardziej produktywne. Chociaż czasami musiał przerwać pracę z powodu złego stanu zdrowia, kiedy zdrowie mu dopisywało, publikował oryginalne, wartościowe prace w tempie około jednej na miesiąc. Większość z nich została opublikowana przez Akademię Berlińską, inne ukazały się w dwóch kolejnych tomach Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Równania różniczkowe cząstkowe
W latach siedemdziesiątych i w pierwszej połowie lat osiemdziesiątych XVIII wieku Lagrange zajmował się równaniami różniczkowymi, co zaowocowało stworzeniem przez niego matematyki równań różniczkowych cząstkowych.
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe mogą być używane do opisu zmian w świecie rzeczywistym. Opisują one związek między wielkością fizyczną, taką jak prędkość, a tempem jej zmiany.
Równania różniczkowe zwyczajne opisują pojedynczą zmieniającą się wielkość, taką jak prędkość.
Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla elektronu na orbitalu elektronowym 2p atomu wodoru. Wykres jest zbudowany z rozwiązania równania Schrödingera – równania różniczkowego cząstkowego.
Lagrange stworzył równania różniczkowe cząstkowe do opisu bardziej skomplikowanych sytuacji, w których zmienia się więcej niż jedna wielkość – w żargonie matematycznym, równania różniczkowe cząstkowe opisują funkcję kilku zmieniających się zmiennych.
Na przykład, równanie Schrödingera jest dobrze znanym równaniem różniczkowym cząstkowym w mechanice kwantowej, którego rozwiązanie pozwala na wydedukowanie orbitali elektronowych. Orbitale te opisują objętość, w której spodziewamy się znaleźć elektron w atomie.
Teoria grup & Symetria
Twierdzenie Langrange’a, pochodzące z 1771 roku, mówi, że porządek podgrupy musi zawsze dokładnie dzielić porządek grupy. Był to jeden z najwcześniejszych kroków w teorii grup.
Punkty Lagrange’a
W 1772 roku Lagrange powrócił do problemu, który go intrygował – problemu trzech ciał w grawitacji. Jego rozprawa na ten temat, Essai sur le Problème des Trois Corps, doprowadziła go do ponownego zdobycia nagrody Francuskiej Akademii Nauk.
Rozważał sytuację, w której dwa obiekty o stosunkowo dużej masie, takie jak Ziemia i Słońce, krążą wokół wzajemnego środka ciężkości. On obliczyć the grawitacyjny potencjał dla ten typ sytuacja, streszczony w the konturowy mapa below.
Mapa konturowa potencjału grawitacyjnego dla układu Ziemia-Słońce, pokazująca pięć punktów Lagrangiana: L1, L2, L3, L4, L5.
Gdzie linie konturowe są blisko siebie, potencjał grawitacyjny jest wysoki. Podobnie tam, gdzie linie są bardziej oddalone od siebie, potencjał grawitacyjny jest mniejszy.
Lagrange zidentyfikował pięć punktów równowagi, punkty Lagrangiana L1, L2, L3, L4 i L5. Obiekty w tych punktach utrzymują swoje położenie względem dwóch większych mas. (Euler zidentyfikował punkty L1, L2, i L3, kilka lat wcześniej w mniej dokładnej analizie.)
Dzisiaj NASA’s Solar i Heliospheric Observatory Satellite znajduje się na ziemi-słońcu L1 punkt, pozwalając słońce być oglądane bez przerwy z stabilnej platformy.
Kosmiczny Teleskop Jamesa Webba, następca Kosmicznego Teleskopu Hubble’a, ma zostać umieszczony w punkcie L2 Ziemia-Słońce w 2020 roku.
Mechanika Lagrangiana
Lagrange ukończył swoje arcydzieło, Mechanika Analityczna, w Berlinie na początku lat 1780. Minęło kilka lat, zanim znalazł wydawcę.
„Prawie ukończyłem książkę o mechanice analitycznej opartą wyłącznie na zasadzie . Ale ponieważ wciąż nie mam pojęcia, gdzie i kiedy może zostać opublikowana, nie spieszę się z jej ukończeniem.”
Lagrange był dumny, że jego książka nie zawierała wykresów: uważał mechanikę za gałąź czystej matematyki – geometrię czterech wymiarów – trzech przestrzeni, jednego czasu. Uważał, że większe prawdy można znaleźć w rygorze algebry i rachunku połączonych w analizie niż w tym, co postrzegał jako intuicyjne myślenie przedstawione na diagramach. Był dumny z tego, że usunął mechanikę z prowincji geometrii i umieścił ją mocno w domenie analizy.
Lagrange opracował wszystko na podstawie jednej podstawowej zasady: pracy wirtualnej. Wychodząc od tej zasady, do której zastosował rachunek wariacji, stworzył funkcję Lagrangiana we współrzędnych uogólnionych, co pozwoliło podejść do wielu problemów mechaniki z nowej perspektywy i rozwiązać wcześniej nierozwiązywalne problemy.
Mechanika Lagrangiana doprowadziła do głębszego zrozumienia świata fizycznego. Na przykład, ponad 150 lat po tym, jak Lagrange napisał Mechanikę analityczną, praca Paula Diraca Lagrangian w mechanice kwantowej doprowadziła Richarda Feynmana do całkowicie nowego sformułowania mechaniki kwantowej, następnie całek ścieżkowych, a ostatecznie do kompletnego rozwiązania elektrodynamiki kwantowej, którą opisał jako „klejnot fizyki”.
Lata paryskie: 1786-1813
Ale Lagrange napisał swoje arcydzieło Mechanika analityczna, w Berlinie, nie zostało ono opublikowane aż do 1788 roku, po tym jak przeniósł się do Paryża na zaproszenie Francuskiej Akademii Nauk.
W pierwszych latach w Paryżu, Lagrange’a ogarnęła depresja i brak energii – stwierdził, że nic nie jest w stanie utrzymać jego zainteresowania. Z letargu wyrwały go dwie rzeczy: małżeństwo w 1792 r. z młodą, sympatyczną żoną oraz powołanie w 1793 r. na stanowisko przewodniczącego komisji miar i wag.
Przetrwanie Terroru
Panowanie Terroru Rewolucji Francuskiej rozpoczęło się w 1793 roku. Lagrange przeżył je. Pomogło mu to, że był cudzoziemcem. Ponadto był łagodny i zawsze starał się unikać kłótni i polityki.
Antoine Lavoisier, wcześniejszy członek komisji miar i wag oraz twórca nowoczesnej chemii, nie miał tyle szczęścia: stracił głowę w 1794 roku. Lagrange był zbulwersowany losem Lavoisiera, komentując:
„Potrzeba było tylko chwili, aby jego głowa upadła, jednak sto lat mogłoby nie wystarczyć, aby odtworzyć jej równość.”
System metryczny
Lagrange silnie argumentował za przyjęciem kilograma i metra. Zostały one zaakceptowane przez komisję w 1799 roku.
Ècole Polytechnique
W 1794 roku w Paryżu otwarto Ècole Polytechnique, w której Lagrange, teraz w wieku 58 lat, został mianowany profesorem matematyki. Jego wykładami zachwycali się inni profesorowie. Jednak wszyscy, z wyjątkiem najzdolniejszych studentów, uważali je za zbyt trudne. Była to sytuacja podobna do tej, jaka miała miejsce wiele lat wcześniej, gdy jako nastolatek wykładał w Turynie.
Sophie Germain, wykluczona z Politechniki z powodu bycia kobietą, zdobyła notatki z wykładów Analizy Lagrange’a i zachwyciła się nimi: były to najlepsze notatki z matematyki, jakie widziała. Lagrange dowiedział się o talencie matematycznym Germain, odwiedzał ją i rozpowszechniał informacje o jej błyskotliwości.
Rodzina i koniec
W 1767 roku, w wieku 31 lat, Lagrange poślubił swoją kuzynkę Vittorię Conti. Nie chciał mieć dzieci, a oboje byli wygodnymi towarzyszami – znali się już od jakiegoś czasu. Żadne z nich nie cieszyło się dobrym zdrowiem, a Vittoria często chorowała. Zmarła w 1783 roku po 16 latach małżeństwa. Lagrange głęboko ją opłakiwał i popadł w depresję.
W Paryżu, w 1792 r., 24-letnia Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier oddała się Lagrange’owi, który miał 56 lat. Poznała go dzięki swojemu ojcu, astronomowi Pierre’owi Charlesowi Le Monnierowi. Renée współczuła Lagrange’owi – był genialnym człowiekiem, który jakby stracił apetyt na życie; wydawał się być niezwykle smutny i znużony światem. Renée postanowiła wyjść za niego za mąż, nie zważając na żadne sprzeciwy. Związek małżeński okazał się szczęśliwy dla obojga. Nie mieli dzieci.
W 1802 roku Lagrange został obywatelem Francji.
Lagrange uczęszczał regularnie na mszę rzymskokatolicką, choć poza tym wydaje się, że niewiele mówił o swojej religii.
Joseph-Louis Lagrange zmarł, w wieku 77 lat, 10 kwietnia 1813 roku w Paryżu. Przeżyła go żona Renée, został pochowany w Panteonie, miejscu ostatniego spoczynku wielu wybitnych ludzi, w tym Voltaire’a, Victora Hugo, Lazare’a Carnota, Marcellina Berthelota, Paula Langevina i Pierre’a & Marie Curie.
Gdy wieża Eiffla została otwarta w 1889 roku, Lagrange był jednym z 72 francuskich naukowców, inżynierów i matematyków, których nazwiska zostały wygrawerowane na tablicach na wieży.
„Wszystkie jego kompozycje matematyczne odznaczają się niezwykłą elegancją, symetrią form i ogólnością metod, a także, jeśli można tak powiedzieć, doskonałością stylu analitycznego.”
Autor tej strony: The Doc
© Wszelkie prawa zastrzeżone.
Cite this Page
Please use the following MLA compliant citation:
Published by FamousScientists.org
Further Reading
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: Translated and edited by Auguste Boissonnade and Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013
.