Starałem się ostatnio znaleźć jakieś świetne filmy związane z matematyką i znalazłem „Good Will Hunting”. Jest to stary film (1997), ale mimo że wiele o nim słyszałem, nigdy go nie oglądałem. Pomyślałem więc, że nadszedł czas, aby spróbować. Film śledzi 20-letni robotnik Will Hunting, nierozpoznany geniusz, który, jako część odroczonego porozumienia oskarżenia po napaści na policjanta, staje się klientem terapeuty i studiuje zaawansowaną matematykę z renomowanym profesorem.
Film jest niesamowity i kochałem go. Można zobaczyć jak Will przewartościowuje swoje relacje z ludźmi wokół niego i jak konfrontuje się ze swoją przeszłością i decyduje o swojej przyszłości. Całkowicie polecam ten film. W tym poście nie chcę mówić o części sentymentalnej, ale chcę wspomnieć o pewnej ciekawej matematyce, która się w nim pojawia.
Problem, o którym mówię, to ten, który pojawia się na początku filmu, kiedy profesor daje swoim studentom trudne zadanie:
Problem nie jest wyjątkowo łatwy do zrozumienia, ponieważ zawiera sporo matematyki na poziomie uniwersyteckim: algebry liniowej (elementarna teoria macierzy, potęgi macierzy, normalna forma Jordana), analizy (zbieżność w normowanych przestrzeniach wektorowych, szeregi potęgowe, zbieżność szeregów potęgowych), kombinatoryki (funkcja generująca, liczenie, wzory rekurencyjne) i teorii grafów (macierz adjacencji, ścieżki, potęgi macierzy adjacencji).
Problem ten wywodzi się głównie z dziedziny matematyki zwanej teorią grafów. Jest to nauka o grafach – strukturach matematycznych, które modelują relacje parami między obiektami. Graf w tym kontekście składa się z wierzchołków, węzłów, lub punktów, które są połączone krawędziami, łukami, lub liniami. Możemy powiedzieć, że grafy mogą być nieskierowane (nie ma rozróżnienia między 2 wierzchołkami związanymi z każdą krawędzią) i skierowane (jego krawędzie są skierowane z jednego wierzchołka do drugiego).
Okazuje się, że w końcu problemy są związane z formułą Cayley’a stwierdzającą, że liczba etykietowanych drzew na n węzłach wynosi nn-2. Następnie wymienia on 8 różnych nieoznakowanych drzew z 10 węzłami. Aby rzucić na to więcej światła, musisz zrozumieć, że drzewo jest grafem nieskierowanym, w którym dowolne dwa wierzchołki są połączone dokładnie jedną ścieżką. Na wypadek, gdybyś się zastanawiał, matematyka ma również pojęcie lasu w tym przypadku: rozłączny związek drzew.
Aby uzyskać bardziej matematyczne wyjaśnienie, radzę przeczytać Matematyka w Good Will Hunting II: Problemy z perspektywy studentów. Również, Numberphile ma świetny film na temat tego problemu:
Totalnie radzę ci przeczytać więcej na ten temat i może (dlaczego nie?!) zacząć czytać o teorii grafów (kliknij obrazek, aby uzyskać więcej informacji):
Miłego tygodnia. Możecie mnie znaleźć na Facebooku, Tumblr, Google+, Twitterze i Instagramie. Postaram się zamieszczać tam posty tak często jak to możliwe.
Nie zapomnijcie, że matematyka jest wszędzie! Enjoy!
.