This Thanksgiving I was hanging out with my little cousin, who was dealing cards from a standard 52 card deck. Zadałem jej pytanie:
„Ile razy możesz rozdać całą talię i zobaczyć unikalną kolejność kart – inną niż za każdym razem, gdy rozdawałeś talię w przeszłości?”
Albo mówiąc inaczej,
„Ile jest unikalnych rozdań (’permutacji’) wszystkich 52 kart?”
Jeśli zajmowałeś się teorią liczb (lub spojrzałeś na tytuł postu), znasz odpowiedź – 52! (Aka 52 factorial. Byłbym równie podekscytowany tym, że 52 jest odpowiedzią, jednak – to byłoby bardzo dziwne i interesujące)
Spojrzałem na sposoby, aby spróbować zagłębić się w tę liczbę online, i dostałem odmiany tej samej odpowiedzi, które były dość niewytłumaczalne dla mojego kuzyna. Więc zamiast tego postanowiłem spróbować sam.
Wyobraź sobie, że zatrzymałeś wszystko co robiłeś i przez resztę swojego życia, w każdej sekundzie swojego życia, w nocy i w dzień, otrzymywałeś nową, magicznie potasowaną rękę wszystkich 52 kart. Ta magia sprawia, że nigdy nie otrzymasz układu, który już wcześniej widziałeś. Chcesz wiedzieć, ile jest unikalnych układów i masz głęboką nieufność do matematyków – musisz to zobaczyć na własne oczy.
Najpierw masz układ, który tak się składa, że zaczyna się od waleta trefl, potem waleta kier, potem waleta pik, a następnie 49 innych kart. „Hmm, ciekawe!” myślisz… sam do siebie, ponieważ prawdopodobnie nie masz wielu przyjaciół, jeśli to jest twoje hobby.
W następnej sekundzie masz rękę, która zaczyna się od Asa Kier, a następnie ma 51 innych kart.
Kontynuujesz, a przez następny tydzień jesteś dość znudzony. Kiedy ja skończę? We wtorek widzisz układ, który ma Waleta Kier, potem Waleta trefl, potem Waleta pik i całą resztę kart w dokładnie takiej samej pozycji, jaką miałeś w pierwszym układzie.
„Wow, to super interesujące i super bliskie pierwszemu rozdaniu, ale wciąż jest to nowe rozdanie!” wykrzykujesz do pokoju pełnego pustych pudełek po pizzy, a w tym momencie wyimaginowanych przyjaciół, ponieważ nie spałeś od tygodnia.
Uświadamiasz sobie, że będziesz potrzebował pomocy, aby dalej to robić. Więc udaje ci się przekonać każdą inną osobę na ziemi, wszystkie 7 miliardów z nich, aby zrobić to z tobą, w każdej sekundzie każdego dnia. Musisz to rozgryźć! Z jakiegoś powodu nie jesteś w stanie przekonać matematyków do pracy nad swoim projektem, ale znowu nigdy nie byłeś wielkim fanem ich anyway.
Still, rzeczy nie postępują wystarczająco szybko. Postanawiasz wynaleźć wehikuł czasu i Fontannę Młodości, i wszyscy wracają do początku wszechświata, zaczynając od nowa z wszystkimi 7 miliardami ludzi, którzy rozdają karty, przez cały dzień, każdego dnia, raz na sekundę na osobę. Myślisz, że to na pewno zadziała, a potem będziesz mógł zobaczyć dinozaury! Między chwilą obecną a początkiem wszechświata upłynęło wiele sekund – zapytałeś astronoma, a on powiedział Ci, że od tego czasu upłynęło 4×10^27 sekund, czyli 4, po których następuje 17 zer. Matematycy idą z Tobą, ale nadal odmawiają pomocy w rozdawaniu kart. Mówią, że są tu tylko po to, aby zobaczyć dinozaury. Jeden z nich krzyczy: „Powodzenia z twoim małym projektem!” i wszyscy chichoczą.
To cię trochę niepokoi, ale nie masz czasu na ich wybryki i szybko o nich zapominasz, wracając do rozdawania kart.
Wielki Wybuch ma miejsce i wszechświat się rozszerza. Galaktyki powstają, a pierwsze gwiazdy tworzą się i eksplodują, zasiewając kosmos żelazem i innymi ciężkimi pierwiastkami. Powstaje Układ Słoneczny, a w nim powoli planety. Ziemia stygnie, tworzy się ocean i rodzi się życie. W tym samym czasie 7 miliardów ludzi, każdego dnia, przez cały dzień, w każdej sekundzie, rozdaje unikalne karty. Dinozaury przemierzają Ziemię, po czym zostają wymazane. Wiele eonów temu stałeś się najbardziej znienawidzoną osobą w istnieniu za stworzenie tego projektu i przekonanie wszystkich do przyłączenia się do Ciebie. Czas wciąż mija, a ludzie wciąż rozdają karty, aż docieramy z powrotem do dzisiejszej daty.
Spoglądasz wstecz na cały postęp, jakiego dokonałeś. Wow! Byliśmy w stanie zrobić 3×10^27 kombinacji, to niesamowite! To jest 3, a następnie 27 zer. Tak wiele różnych układów talii, wszystkie unikalne.
„Musimy być blisko!”, mówisz pewnie do najbliższych wyczerpanych ludzi przerzucających karty. Oni patrzą na ciebie z czystą nienawiścią w oczach. Żałujesz, że nie spróbowałeś zapytać matematyka o to, czy w ogóle możliwe jest znalezienie wszystkich unikalnych układów (matematycy nazywają je „permutacjami”).
Najmądrzejsza i najbardziej uprzejma matematyczka klepie cię po ramieniu. Poprosiłeś ją o wykres postępów w zbieraniu wszystkich możliwości, ponieważ nie chichotała tak mocno jak inni, kiedy przechodziła obok i widziała, jak rozdajesz karty. Wręcza ci tabelę.
„Co to ma być, jakiś chory żart?” Żądasz, rozwścieczony, gdyż wręczyła Ci wykres z paskiem postępu, który jest pusty.
„Musimy ponownie odbyć podróż w czasie do początku wszechświata… potrzebujesz więcej czasu, aby skończyć…” Ostrożnie sugeruje.
„Dobrze, dobrze, dobrze. Ile jeszcze razy?” Strzelasz z powrotem, wciąż wściekły.
„10^40 razy…” Następuje pauza, podczas której wpatrujesz się w nią pustym wzrokiem.
„Pozwól mi powiedzieć liczbę”, mówi, „Nie wydaje mi się, żeby ta naukowa notacja była dla ciebie wystarczająca… To jest: Trzy, zero, zero, zero, zero, zero, zero…”
„Po prostu zapisz to”, ucinasz jej, mrucząc pod nosem o tym, jak nigdy tak naprawdę nie lubiłeś matematyków anyway.
Zapisuje to na kartce papieru, wyjaśniając: „Będziesz musiał kontynuować ten eksperyment ze wszystkimi 7 miliardami ludzi, wielokrotnie wracając do początku wszechświata, aby uzyskać więcej sekund na rozdanie kart.”
„Będziesz musiał cofnąć się w czasie tyle razy”, powtarza pewnie, z nutą politowania w głosie.
Na kartce jest napisane: „30 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 razy”.
Twoje kolana się poddają i osuwasz się na podłogę.
W głębi rozpaczy spoglądasz w górę na matematyczkę. Ona uśmiecha się.
„Wiesz, mogłeś po prostu zapytać nas matematyków na początku. Liczba kombinacji wynosi 52!!!, czyli po prostu 52*51*50…*3*2*1. To równa się około 8×10^67, czyli 8 z 67 zerami po nim.”
Kiwasz głową, czując ulgę, że znasz odpowiedź. Potem patrzysz w górę. Widzisz 7 miliardów ludzi, z których wszyscy właśnie porzucili swoją pracę i dziwnie na ciebie patrzą. Nie podoba Ci się ich spojrzenie. Gdy zaczynają wstawać i ruszać w twoją stronę, biegniesz w stronę swojego wehikułu czasu, ustawiając go tak, by transportował tylko ciebie do okresu jurajskiego.
„Powinienem był zaufać matematykom ….. !” Twój głos zanika, gdy rozpoczynasz podróż w czasie. Nadal nie jesteś pewien, czy rozumiesz jak działają duże liczby lub prawdopodobieństwo, ale myślisz, że mądrze jest zaryzykować ze strasznymi jaszczurkami zamiast tego.
W tle, matematycy znów zaczynają chichotać.
Liczby:
- Wiek wszechświata = 4×10^17
- 7,000,000,000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 Billion / wiek wszechświata w sekundach = 3×10^40
.