Bisecția

3.2 Aproximare calitativă cu măsuri superioare și inferioare și indistinctibilitate tranzitivă

Considerarea psihologică a pragurilor inferioare, pentru care judecățile perceptuale sau alte judecăți comparative sunt dificile, dacă nu imposibile, a fost inițiată de Fechner . O analiză matematică timpurie importantă a fost dată de Wiener . O mare parte din literatura modernă începe cu definiția lui Luce a unui semiorând, care a fost axiomatizată ca o singură relație binară în cazul finit de Scott și Suppes . Unele dintre cele mai semnificative contribuții au fost aduse de Falmagne .

Analiza probabilistică a pragurilor datează cel puțin din lucrările lui Thurstone . Falmagne a fost, de asemenea, un contributor central la această abordare, cu o serie de alte lucrări scrise împreună cu colegii: Falmagne și Iverson , Falmagne și alții, , și Iverson și Falmagne . O trecere în revistă amplă a toată această literatură este prezentată în Suppes et al., .

Chiar toate lucrările la care se face referire presupun că nediferențiabilitatea evenimentelor, obiectelor sau stimulilor similari este o relație netransitivă. Ipoteza implicită este că, cu multe observații discriminante diferite, multe evenimente inițial imposibil de distins pot fi separate. Aici, opusul este punctul de plecare și motivul pentru utilizarea cuvântului „tranzitiv” în titlu. Este o consecință a axiomelor introduse faptul că indistinctibilitatea este o relație de echivalență și, prin urmare, tranzitivă. Restul acestei secțiuni se bazează în mare măsură pe Suppes .

În secțiunea anterioară am trecut în revistă pe scurt măsurătorile extinse axate pe construcția unei reprezentări finite a scării de raport standard. Baza pentru indistinctibilitatea tranzitivă este acum ușor de explicat. Un obiect cântărit este atribuit unui interval minim unic, de exemplu, unul cuprins între 1,9 g și 2,0 g. Relația binară ca două obiecte, a și b, care nu fac parte din secvența standard, să fie echivalente în greutate, a ≈ b, este ca ele să fie atribuite aceluiași interval minim din secvența standard. Această relație este, evident, o relație de echivalență, adică, reflexivă, simetrică și tranzitivă, dar în sistemul de aproximare dezvoltat, aceste proprietăți nu sunt direct testabile, ci mai degrabă consecințe ale operațiilor de cântărire cu seturi de ponderi standard deja „calibrate”.

Deci, în notația folosită mai târziu, un obiect atribuit intervalului minimal (1.9 g, 2,0 g) se spune că are, ca aproximație, măsura superioară (a greutății) w* (a) = 2,0 g și măsura inferioară w*(a) = 1,9 g. În practică, pentru toate procedurile de măsurare, cu excepția celor mai rafinate, nu se face nicio analiză statistică a faptului de a avea greutatea într-un astfel de interval minim. În cazurile în care intervalul minim al secvenței standard se află chiar la limita performanțelor instrumentului se poate da o analiză statistică pentru măsurători repetate.

Practica obișnuită nu este complet în acord cu utilizarea de către mine a unui interval minim și, prin urmare, cu atribuirea unei limite superioare și a unei limite inferioare ca măsurători aproximative adecvate. Dar ceea ce se face este strâns și simplu legat. Așa cum se predă la cursurile de fizică elementară, pentru a exprima o măsurătoare ca fiind „precisă până la 0,1 g”, de exemplu, măsurarea este scrisă ca 1,9 ± 0,1 g. Ceea ce se recomandă de obicei în practică este să se utilizeze două intervale minime adiacente pentru a reduce incertitudinea și să se exprime măsurarea în sine ca un singur număr. Axiomele prezentate în secțiunea 3 ar putea fi ușor modificate pentru a se adapta la această utilizare a două intervale minime adiacente în loc de un singur interval minim.

Aceeași notație ± este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a exprima eroarea standard statistică a măsurătorilor repetate. Aici este important din punct de vedere conceptual să se păstreze atât măsurile superioare, cât și cele inferioare, deoarece punctul de vedere fundamental formalizat în axiome este acela că, în circumstanțele date, nu este disponibilă nicio măsură mai fină decât cea a unui interval minim. Și nicio construcție teoretică a unei distribuții de probabilitate pentru localizarea în cadrul intervalului minim nu are prea mult sens din punct de vedere științific. Ceea ce se subliniază este că formalizarea dată este menită să fie un pas mai aproape de o mare parte, dar cu siguranță nu de toată practica reală de măsurare atunci când este disponibilă o reprezentare fixă la scară standard.

Ca o chestiune de terminologie, ceea ce am numit o structură extensivă finită cu spații egale, ar putea la fel de bine să fie numită o structură extensivă finită cu secvență standard. Terminologia secvențelor standard este familiară în literatura de specialitate privind fundamentele măsurării. Acest limbaj sugerează termenul util de seturi standard pentru seturile de greutăți care formează o secvență standard.

Pentru utilizarea ulterioară este important de remarcat că pentru două seturi de greutăți standard A și B, dacă acestea nu sunt echivalente în greutate, atunci diferența minimă posibilă între ele este greutatea unui set atomic. Mai exact, perechea ordonată de seturi (A, B) este o pereche minimă de seturi standard dacă μ(A) – μ(B) = μ(un set atomic), adică diferența lor este de fapt minimă pentru seturi standard neechivalente. Rețineți că, dacă (A, B) este o pereche minimă, A ≥ B. Echivalența unor astfel de perechi este o noțiune utilă de definit. Două perechi minime (A, B) și (A′, B′,) sunt echivalente dacă μ(A) = μ(A′) și μ(B) = μ(B′). Iată trei observații care sunt relevante pentru discuțiile ulterioare.

Să presupunem acum o structură extensivă finită și echidistantă (numită și secvență standard finită), se dau axiome suplimentare pentru măsurarea aproximativ a oricărui obiect fizic din domeniul secvenței standard. Conceptele primitive sunt acum

Dacă (S1, S2) este o pereche minimă și S1 ≥ W1 ≥ S2, atunci se spune că (S1 S2) este o pereche minimă pentru W1 și, de asemenea, se spune că W1 are o pereche minimă.

Se impun câteva comentarii asupra acestor axiome. Axioma 1 nu face decât să aducă structura seturilor standard în cadrul aproximației. Axioma 2 impune ca obiectele să nu se suprapună între cele din S, calibrate pentru seturi standard, și cele din W, obiecte ce urmează a fi cântărite. Axioma 3 este singura axiomă exprimată pur și simplu în termeni de obiecte cântărite, fără teste care să utilizeze greutăți standard. Cerința sa de conectivitate a lui ≥ pentru W este cunoscută. Axiomele 4-11 formulează apoi ipoteze testabile care sunt suficiente pentru a justifica măsurarea aproximativă a greutăților care se încadrează în intervalul de seturi standard. Deoarece ambele seturi S și W sunt finite, fiecare axiomă poate fi testată direct pe o balanță cu braț egal. Axioma 4 furnizează testul pentru ca W1 să fie strict mai greu decât W2, și anume să se găsească un S1 astfel încât W1 ≥ S1 și S1 ≥ W2. Axioma 5 enunță o condiție de tranzitivitate, ca să spunem așa, privind relația dintre seturile standard și seturile sau obiectele cântărite. Dacă S1 este mai greu decât W1 și W1 este mai greu decât S2, atunci trebuie să fie cazul că S1 este mai greu decât S2. Axioma 6 exclude ca orice obiect cântărit W1 să aibă exact aceeași greutate ca orice ansamblu standard. Sunt posibile forme mai slabe ale acestei axiome, dar cu complicații prezente ale condițiilor de testare. Această axiomă este similară axiomelor familiare de „alegere forțată” în măsurarea credințelor sau a acțiunilor. Axioma 7 impune ca orice obiect cântărit W1 să fie mai greu decât orice set standard minim pozitiv S1. Această axiomă permite ca o balanță cu braț egal sau un dispozitiv comparabil să nu fie sensibil la nicio greutate pozitivă mai mică decât un set standard minim. Axioma 8 este, în mod evident, generalizarea la măsurarea aproximativă a axiomei calitative obișnuite a adunării exemplificate în axioma 2 din definiția 1. Axioma 9 garantează că, date fiind seturi disjuncte W1 și W2 care urmează să fie cântărite, se pot găsi seturi standard disjuncte care sunt limite superioare minime, S1 pentru W1 și S1 pentru W2, care sunt, de asemenea, disjuncte. Acest lucru nu rezultă din alte axiome, deoarece dacă W1 ∪ W2 = W, uniunea celor mai mici limite superioare disjuncte, S1 ∪ S1 poate fi un set standard atomic mai mare decât o limită superioară minimă a lui W însuși, astfel încât S trebuie să fie mărit pentru a acoperi acest caz. Posibilitățile sunt explicitate în Teorema 12. Axioma 10 este un test pentru ca W1 să fie strict mai greu decât W2, iar testul este, bineînțeles, relativ la grosimea seturilor standard. Axioma 11 garantează că orice obiecte, sau set de obiecte, care urmează să fie cântărite se încadrează în intervalul de seturi standard, având o pereche minimă de seturi standard, adică o limită superioară discretă minimă și o limită inferioară discretă maximă între seturile standard.

Se enunță mai întâi un eșantion de teoreme elementare, cu accent pe tranzitivitatea relațiilor ≥ și ≈ între seturile de obiecte care urmează să fie cântărite.

TEOREMUL 10. Dacă W1 ≈ W2 și W2 ≥ W3 atunci W1 ≥ W3.

Teorema următoare arată că relația de echivalență ≈ pentru ansambluri standard are proprietatea de congruență pentru ≥ pe ansamblul S × W.

TEOREMA 11. Dacă S1 ≈ S1 și S1 ≥ W1 atunci S1 ≥ W1.

Următoarea teoremă afirmă criteriul testabil pentru ca W1 și W2 să fie nediferențiabile.

TEOREMA 12. W1 ≈ W2 dacă și numai dacă W1 și W2 au perechi minime echivalente.

Prin metode similare, putem demonstra un rezultat strâns legat de acesta.

Suntem acum în măsură să afirmăm tranzitivitatea indistinctibilității ponderilor.

TEOREMA 14. Dacă W1 ≈ W2 și W2 ≈ W3 atunci W1 ≈ W3.

Importanța următoarei teoreme pentru determinarea aproximației care are loc în cazul adunării a două seturi disjuncte W1 și W2 de obiecte de cântărit este evidențiată în discuția care urmează teoremei.

În adunarea aproximativă a greutății a două colecții de obiecte fizice, din cântărirea lor individuală, rezultatul aproximativ nu ne permite să deducem care dintre cele două disjuncte formulate în Teorema 15 este valabil. Aceste două disjuncte descriu două intervale minime adiacente, dar diferite. Există însă o particularitate importantă care trebuie remarcată. Adăugarea nu mărește intervalul de aproximare după adunare. Așadar, în Teorema 15, când ni se dau W1 și W2, fără alte informații nu știm în ce interval minim se află W1 ∪ W2, dar, așa cum afirmă concluzia disjunctivă a axiomei, este doar unul dintre cele două intervale minime adiacente și, făcând comparația în mod empiric, putem determina care dintre ele.

Clauza disjunctivă (iii) din Teorema 15 și ipoteza de exactitate, adică, nici o aproximare, în măsurarea secvenței standard însăși, marchează o diferență față de discuțiile și rezultatele privind aproximarea din mai multe locuri diferite din Foundations of Measurement . De fapt, conceptul standard al unei perechi (μ*, μ*) de măsuri superioare și inferioare, utile ca măsuri de aproximare, nu este introdus nicăieri în cele trei volume din Foundations of Measurement. Definiția unei astfel de perechi (μ*, μ*) o urmează în formă pe cea dată anterior pentru o măsură μ.

Noțiunea de pereche (μ*, μ*) de măsuri superioare și inferioare nu este nouă. El datează cel puțin de la utilizarea măsurilor interioare și exterioare în analiză în a doua parte a secolului al XIX-lea de către Carathedory și alții. Utilizarea în probabilități datează cel puțin de la Koopman .

Reprezentarea măsurii aproximative este dată în mod explicit în termeni de măsuri superioare și inferioare. Teorema 15, sau ceva aproximativ echivalent, este necesară pentru a stabili proprietățile subadditive și superadditive ale măsurilor superioare și inferioare. Aceste proprietăți sunt formulate explicit în partea (v) a următoarei teoreme.

Compararea inegalităților clauzei (v) din teorema tocmai demonstrată cu cele două posibilități calitative disjunctive exprimate în Teorema 15 sugerează că se poate demonstra o limită mai strâmtă, și așa este. Inegalitățile din clauza (v) pot fi restrânse la (v’) prin inserarea termenului μ*(W1) + μ* (W2) care este justificat de Teorema 15.

COROLUL 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Nu am enunțat un rezultat de invarianță pentru Teorema 16, pentru că cel evident rezultă din această parte a Teoremei 1. Dar există o altă considerație conexă de mai mare interes. Intervalul minim al secvenței standard finite S = (S, F, ≥) care face parte din orice structură de măsurători extensive aproximative, așa cum este caracterizată de Definiția 11, fixează precizia empirică calitativă a măsurătorilor empirice. Să considerăm acum o a doua secvență standard finită T pentru măsurarea aceleiași proprietăți a subansamblurilor lui W și fie (T1, T′1) intervalul minim al lui T. Atunci, spre deosebire de acceptarea convențională a unei unități de măsurători extensive, în cazul măsurătorilor aproximative, avem o comparație calitativă directă a preciziei dată de raportul empiric dintre (S1, S′1) și (T1, T′1). De exemplu, „cântarul” pe care îl folosesc în mod regulat pentru a mă cântări are un interval minim de 0,25 lb, dar un altul pe care îl folosesc mai rar are un interval minim de 0,1 kg. Deoarece 1 kg = 2,20 lb, raportul dintre 0,25 lb și 0,1 kg este 0,25/ 0,22, ceea ce înseamnă, cu două zecimale, 1,14. Așadar, secvența standard calibrată în sistemul metric este ușor mai precisă, deși ambele „cântare” oferă intervale minime care depășesc precizia observată sau înregistrată în mod obișnuit în majoritatea scopurilor. Orice perfecționare ulterioară a oricăreia dintre ele prezintă un interes redus sau deloc în scopul măsurării greutății corporale.

Exemple similare sunt date cu ușurință pentru măsurarea lungimii folosind diferite secvențe standard finite. Mai mult, teoria aproximativă dezvoltată aici în termeni de măsuri superioare și inferioare poate fi ușor extinsă prin aceleași metode la măsurarea diferențelor, măsurarea bisecției și măsurarea conjuncției și, cu ceva mai multă dificultate, la mai multe dimensiuni, de exemplu, la geometria afină sau euclidiană. Nu este surprinzător faptul că aplicațiile măsurilor superioare și inferioare au fost aplicate cel mai mult la măsurarea aproximativă a probabilității subiective. O trecere în revistă și o analiză cuprinzătoare este oferită de Walley . Propria mea contribuție anterioară, Suppes , folosește probabilități superioare și inferioare, dar cu indistinctibilitate netransitivă.

Aici s-a pus accentul pe măsurarea aproximativă, dar o teorie foarte diferită a probabilităților superioare și inferioare poate fi derivată dintr-o generalizare directă a teoriei seturilor de la variabile aleatoare ca funcții aleatoare la relații aleatoare. O indicație a diferenței teoretice este faptul că măsurile superioare și inferioare derivate din relațiile aleatoare de către Suppes și Zanotti sunt capacități de ordin infinit în sensul lui Choquet . În schimb, măsurile superioare și inferioare considerate aici pentru măsurarea aproximativă nu sunt nici măcar capacități de ordinul doi. În mod clar, sensul de aproximare introdus aici și în Suppes nu este în nici un caz singura posibilitate.

.