Conjectura numerelor prime gemene, cunoscută și sub numele de conjectura lui Polignac, în teoria numerelor, afirmație conform căreia există un număr infinit de numere prime gemene, sau perechi de numere prime care diferă cu 2. De exemplu, 3 și 5, 5 și 7, 11 și 13, și 17 și 19 sunt numere prime gemene. Pe măsură ce numerele devin mai mari, numerele prime devin mai puțin frecvente, iar primele gemene devin și mai rare.
Prima afirmație a conjecturii primelor gemene a fost dată în 1846 de matematicianul francez Alphonse de Polignac, care a scris că orice număr par poate fi exprimat în infinite moduri ca diferență între două prime consecutive. Atunci când numărul par este 2, aceasta este conjectura primilor gemeni; adică 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = ….. (Deși conjectura este uneori numită conjectura primelor gemene a lui Euclid, acesta a dat cea mai veche dovadă cunoscută că există un număr infinit de prime, dar nu a conchis că există un număr infinit de prime gemene). S-au făcut foarte puține progrese în privința acestei conjecturi până în 1919, când matematicianul norvegian Viggo Brun a demonstrat că suma reciprocă a numerelor prime gemene converge către o sumă, cunoscută în prezent sub numele de constanta lui Brun. (În schimb, suma reciprocă a numerelor prime diverge spre infinit.) Constanta lui Brun a fost calculată în 1976 ca fiind de aproximativ 1,90216054, folosind numerele prime gemene până la 100 de miliarde. În 1994, matematicianul american Thomas Nicely folosea un computer personal echipat cu noul cip Pentium de la Intel Corporation de la acea vreme, când a descoperit un defect al cipului care producea rezultate incoerente în calculele sale privind constanta lui Brun. Publicitatea negativă din partea comunității matematice a determinat Intel să ofere gratuit cipuri de înlocuire care fuseseră modificate pentru a corecta problema. În 2010, Nicely a oferit o valoare pentru constanta lui Brun de 1,902160583209 ± 0,000000000781 pe baza tuturor numerelor prime gemene mai mici de 2 × 1016.
Următoarea mare descoperire a avut loc în 2003, când matematicianul american Daniel Goldston și matematicianul turc Cem Yildirim au publicat o lucrare, „Small Gaps Between Primes”, care a stabilit existența unui număr infinit de perechi de prime la o diferență mică (16, cu anumite alte ipoteze, mai ales cea a conjecturii Elliott-Halberstam). Deși demonstrația lor era greșită, au corectat-o împreună cu matematicianul maghiar János Pintz în 2005. Matematicianul american Yitang Zhang s-a bazat pe munca lor pentru a demonstra în 2013 că, fără nicio ipoteză, există un număr infinit cu o diferență de 70 de milioane. Această limită a fost îmbunătățită la 246 în 2014, iar presupunând fie conjectura Elliott-Halberstam, fie o formă generalizată a acestei conjecturi, diferența a fost de 12 și, respectiv, 6. Aceste tehnici pot permite realizarea de progrese în ceea ce privește ipoteza Riemann, care este legată de teorema numerelor prime (o formulă care oferă o aproximare a numărului de numere prime mai mici decât orice valoare dată). A se vedea și Problema mileniului.