Mișcarea LuniiEdit
Hipparchus a studiat, de asemenea, mișcarea Lunii și a confirmat valorile exacte pentru două perioade ale mișcării sale, pe care se presupune în general că astronomii caldeeni le dețineau înaintea lui, indiferent de originea lor finală. Valoarea tradițională (din sistemul babilonian B) pentru luna sinodică medie este de 29 de zile; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29,5305941… zile. Exprimată ca 29 zile + 12 ore + 793/1080 ore, această valoare a fost folosită ulterior în calendarul ebraic. Caldeenii știau, de asemenea, că 251 de luni sinodice ≈ 269 de luni anomale. Hipparchus a folosit multiplul acestei perioade cu un factor de 17, deoarece acest interval este, de asemenea, o perioadă de eclipsă și se apropie, de asemenea, de un număr întreg de ani (4267 luni : 4573 perioade anomale : 4630,53 perioade nodale : 4611,98 orbite lunare : 344,996 ani : 344,982 orbite solare : 126 007,003 zile : 126 351,985 rotații). Ceea ce era atât de excepțional și util la acest ciclu era faptul că toate perechile de eclipse cu interval de 345 de ani se produc la o distanță de puțin peste 126.007 zile între ele, într-un interval strâns de numai ±1⁄2 oră, garantând (după împărțirea la 4267) o estimare a lunii sinodice corectă cu o parte în ordinul de mărime 10 milioane. Periodicitatea de 345 de ani este motivul pentru care anticii puteau să conceapă o lună medie și să o cuantifice atât de precis încât este chiar și astăzi corectă cu o fracțiune de secundă de timp.
Hipparchus și-a putut confirma calculele prin compararea eclipselor din timpul său (probabil 27 ianuarie 141 î.Hr. și 26 noiembrie 139 î.Hr. conform ), cu eclipsele din înregistrările babiloniene cu 345 de ani mai devreme (Almagest IV.2; ). Deja al-Biruni (Qanun VII.2.II) și Copernic (de revolutionibus IV.4) au observat că perioada de 4.267 de luni este de fapt cu aproximativ 5 minute mai lungă decât valoarea pentru perioada de eclipsă pe care Ptolemeu o atribuie lui Hipparchus. Cu toate acestea, metodele de cronometrare ale babilonienilor aveau o eroare de nu mai puțin de 8 minute. Cercetătorii moderni sunt de acord că Hipparchus a rotunjit perioada eclipsei la cea mai apropiată oră și a folosit-o pentru a confirma validitatea valorilor tradiționale, mai degrabă decât să încerce să obțină o valoare îmbunătățită din propriile observații. Pe baza efemeridelor moderne și ținând cont de modificarea duratei zilei (vezi ΔT), estimăm că eroarea în lungimea presupusă a lunii sinodice era mai mică de 0,2 secunde în secolul al IV-lea î.Hr. și mai mică de 0,1 secunde în timpul lui Hipparchus.
Orbita LuniiEdit
Se știa de mult timp că mișcarea Lunii nu este uniformă: viteza ei variază. Acest lucru se numește anomalia sa și se repetă cu o perioadă proprie; luna anomală. Caldeenii au ținut cont de acest lucru din punct de vedere aritmetic și au folosit un tabel care indica mișcarea zilnică a Lunii în funcție de data din cadrul unei perioade lungi. Grecii însă preferau să gândească în modele geometrice ale cerului. Apollonius din Perga propusese la sfârșitul secolului al III-lea î.Hr. două modele pentru mișcarea lunară și planetară:
- În primul, Luna s-ar deplasa uniform de-a lungul unui cerc, dar Pământul ar fi excentric, adică la o anumită distanță de centrul cercului. Astfel, viteza unghiulară aparentă a Lunii (și distanța acesteia) ar varia.
- Luna însăși s-ar deplasa uniform (cu o anumită mișcare medie în anomalie) pe o orbită circulară secundară, numită epiciclu, care la rândul ei s-ar deplasa uniform (cu o anumită mișcare medie în longitudine) pe orbita circulară principală în jurul Pământului, numită deferent; vezi deferent și epiciclu. Apollonius a demonstrat că aceste două modele erau, de fapt, echivalente din punct de vedere matematic. Cu toate acestea, toate acestea erau doar teorie și nu fuseseră puse în practică. Hipparchus a fost primul astronom despre care știm că a încercat să determine proporțiile relative și dimensiunile reale ale acestor orbite.
Hipparchus a conceput o metodă geometrică pentru a găsi parametrii pornind de la trei poziții ale Lunii, în anumite faze ale anomaliei sale. De fapt, el a făcut acest lucru separat pentru modelul excentric și cel epiciclic. Ptolemeu descrie detaliile în Almagestul IV.11. Hipparchus a folosit două seturi de trei observații de eclipse lunare, pe care le-a selectat cu grijă pentru a satisface cerințele. Modelul excentric l-a adaptat la aceste eclipse din lista sa babiloniană de eclipse: 22/23 decembrie 383 î.Hr., 18/19 iunie 382 î.Hr. și 12/13 decembrie 382 î.Hr. Modelul epiciclic pe care l-a ajustat la observațiile de eclipsă de Lună făcute în Alexandria la 22 septembrie 201 î.Hr., 19 martie 200 î.Hr. și 11 septembrie 200 î.Hr.
- Pentru modelul excentric, Hipparchus a găsit pentru raportul dintre raza excentrului și distanța dintre centrul excentrului și centrul eclipticii (i.e, observatorul de pe Pământ): 3144 : 327 2⁄3 ;
- și pentru modelul epiciclic, raportul dintre raza deferentului și cea a epiciclului: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 ;
Numerele oarecum ciudate se datorează unității greoaie pe care a folosit-o în tabelul său de corzi, potrivit unui grup de istorici, care explică incapacitatea reconstrucției lor de a fi de acord cu aceste patru numere ca fiind parțial datorată unor erori de rotunjire și de calcul neglijente ale lui Hipparchus, pentru care Ptolemeu l-a criticat (și el însuși a făcut erori de rotunjire). O reconstrucție alternativă mai simplă este de acord cu toate cele patru numere. Oricum, Hipparchus a găsit rezultate inconsecvente; el a folosit mai târziu raportul din modelul epiciclului (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), care este prea mic (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolemeu a stabilit un raport de 60 : 5 1⁄4. (Abaterea unghiulară maximă care poate fi produsă de această geometrie este arcușul lui 5 1⁄4 împărțit la 60, adică aproximativ 5° 1′, o cifră care, prin urmare, este uneori citată ca fiind echivalentul ecuației centrului Lunii în modelul lui Hipparcan.)
Mișcarea aparentă a SoareluiEdit
Înainte ca Hipparchus, Meton, Euctemon și elevii lor de la Atena să fi făcut o observație a solstițiului (i.e, au cronometrat momentul solstițiului de vară) la 27 iunie 432 î.Hr. (calendar iulian proleptic). Se spune că Aristarchus din Samos ar fi făcut acest lucru în anul 280 î.Hr. și Hipparchus avea, de asemenea, o observație făcută de Arhimede. După cum se arată într-un articol din 1991, în 158 î.Hr. Hipparchus a calculat un solstițiu de vară foarte eronat din calendarul lui Callippus. El a observat solstițiul de vară în 146 și 135 î.Hr. ambele cu o precizie de câteva ore, dar observațiile momentului echinocțiului au fost mai simple, iar el a făcut douăzeci în timpul vieții sale. În Almagestul III.1, Ptolemeu oferă o discuție amplă despre activitatea lui Hipparchus cu privire la durata anului și citează multe observații pe care Hipparchus le-a făcut sau le-a folosit, în perioada 162-128 î.Hr. Analiza celor șaptesprezece observații de echinocțiu făcute de Hipparchus la Rodos arată că eroarea medie de declinație este pozitivă de șapte minute de arc, ceea ce este aproape în concordanță cu suma refracției aerului și a paralaxei lui Swerdlow. Zgomotul aleatoriu este de două minute de arc sau mai aproape de un minut de arc dacă se ia în considerare rotunjirea, ceea ce corespunde aproximativ cu acuitatea ochiului. Ptolemeu citează o cronometrare a echinocțiului făcută de Hipparchus (la 24 martie 146 î.Hr., în zori) care diferă cu 5 ore de observația făcută pe marele inel ecuatorial public din Alexandria în aceeași zi (la o oră înainte de prânz): Hipparchus este posibil să fi vizitat Alexandria, dar nu și-a făcut observațiile echinocțiului acolo; probabil că a fost în Rodos (la aproape aceeași longitudine geografică). Ptolemeu susține că observațiile sale solare au fost făcute pe un instrument de tranzit reglat în meridian.
Traducerea și analiza expertă recentă de către Anne Tihon a papirusului P. Fouad 267 A a confirmat constatarea din 1991 citată mai sus că Hipparchus a obținut un solstițiu de vară în 158 î.Hr. Dar papirusul face ca data să fie 26 iunie, cu peste o zi mai devreme decât concluzia lucrării din 1991 pentru 28 iunie. §M din studiul anterior a constatat că Hipparchus nu a adoptat solstițiul de 26 iunie până în 146 î.Hr. când a fundamentat orbita Soarelui pe care Ptolemeu a adoptat-o ulterior. Corespunderea acestor date sugerează că Hipparchus a extrapolat solstițiul de 26 iunie din 158 î.Hr. de la solstițiul său din 145, 12 ani mai târziu, o procedură care nu ar cauza decât o eroare minusculă. Papirusul a confirmat, de asemenea, că Hipparchus a folosit mișcarea solară callippică în 158 î.Hr., o descoperire nouă în 1991, dar care nu a fost atestată direct până la P. Fouad 267 A. Un alt tabel de pe papirus este probabil pentru mișcarea siderală și un al treilea tabel este pentru mișcarea tropicală metonică, folosind un an necunoscut anterior de 365 1⁄4 – 1⁄309 zile. Acesta a fost probabil găsit prin împărțirea celor 274 de ani din 432 până în 158 î.Hr. în intervalul corespunzător de 100077 zile și 14 3⁄4 ore dintre răsăritul Soarelui lui Meton și solstițiul de apus al lui Hipparchus.
La sfârșitul carierei sale, Hipparchus a scris o carte numită Peri eniausíou megéthous („Despre lungimea anului”) despre rezultatele sale. Valoarea stabilită pentru anul tropical, introdusă de Callippus în sau înainte de 330 î.Hr. a fost de 365 1⁄4 zile. Specularea unei origini babiloniene pentru anul lui Callippic este greu de apărat, deoarece Babilonul nu observa solstițiile, astfel că singura lungime a anului din Sistemul B care există se baza pe solstițiile grecești (vezi mai jos). Observațiile echinocțiului lui Hipparchus au dat rezultate variabile, dar el însuși subliniază (citat în Almagestul III.1(H195)) că erorile de observație ale lui și ale predecesorilor săi ar fi putut fi de până la 1⁄4 zi. El a folosit observații vechi ale solstițiului și a determinat o diferență de aproximativ o zi în aproximativ 300 de ani. Astfel, el a stabilit lungimea anului tropical la 365 1⁄4 – 1⁄300 zile (= 365,24666… zile = 365 zile 5 ore 55 min, ceea ce diferă de valoarea reală (estimare modernă, incluzând accelerația de rotație a Pământului) din timpul său de aproximativ 365,2425 zile, o eroare de aproximativ 6 min pe an, o oră pe deceniu, 10 ore pe secol.
Între observația de solstițiu a lui Meton și cea proprie, au existat 297 de ani care se întindeau pe parcursul a 108.478 zile. D. Rawlins a observat că acest lucru implică un an tropical de 365,24579… zile = 365 zile;14,44,51 (sexagesimal; = 365 zile + 14/60 + 44/602 + 51/603) și că această durată exactă a anului a fost găsită pe una dintre puținele tăblițe babiloniene de lut care specifică în mod explicit luna sistemului B. Acesta este un indiciu că lucrarea lui Hipparchus era cunoscută de caldeeni.
O altă valoare pentru an care este atribuită lui Hipparchus (de către astrologul Vettius Valens în secolul I) este 365 + 1/4 + 1/288 zile (= 365,25347… zile = 365 zile 6 ore 5 min), dar aceasta poate fi o corupere a unei alte valori atribuite unei surse babiloniene: 365 + 1/4 + 1/144 zile (= 365,25694… zile = 365 zile 6 ore 10 min). Nu este clar dacă aceasta ar fi o valoare pentru anul sideral (valoarea reală la vremea sa (estimare modernă) aproximativ 365,2565 zile), dar diferența față de valoarea lui Hipparchus pentru anul tropical este în concordanță cu rata de precesie a acestuia (vezi mai jos).
Orbita SoareluiEdit
Înainte de Hipparchus, astronomii știau că lungimile anotimpurilor nu sunt egale. Hipparchus a făcut observații ale echinocțiului și solstițiului și, potrivit lui Ptolemeu (Almagest III.4), a determinat că primăvara (de la echinocțiul de primăvară până la solstițiul de vară) dura 94½ zile, iar vara (de la solstițiul de vară până la echinocțiul de toamnă) 92 1⁄2 zile. Acest lucru nu este în concordanță cu premisa că Soarele se mișcă în jurul Pământului într-un cerc cu o viteză uniformă. Soluția lui Hipparchus a fost să plaseze Pământul nu în centrul mișcării Soarelui, ci la o anumită distanță de centru. Acest model a descris destul de bine mișcarea aparentă a Soarelui. Astăzi se știe că planetele, inclusiv Pământul, se deplasează în elipse aproximative în jurul Soarelui, dar acest lucru nu a fost descoperit până când Johannes Kepler a publicat primele sale două legi ale mișcării planetare în 1609. Valoarea pentru excentricitatea atribuită lui Hipparchus de către Ptolemeu este că decalajul este de 1⁄24 din raza orbitei (ceea ce este puțin prea mare), iar direcția apogeului ar fi la longitudinea de 65,5° față de echinocțiul vernal. Este posibil ca Hipparchus să fi folosit și alte seturi de observații, ceea ce ar duce la valori diferite. Longitudinile solare ale unuia dintre cele două triouri de eclipse ale sale sunt în concordanță cu faptul că a adoptat inițial lungimi inexacte pentru primăvară și vară de 95 3⁄4 și 91 1⁄4 zile. Cealaltă tripletă a sa de poziții solare este în concordanță cu 94 1⁄4 și 92 1⁄2 zile, o îmbunătățire față de rezultatele (94 1⁄2 și 92 1⁄2 zile) atribuite lui Hipparchus de către Ptolemeu, a căror paternitate este încă pusă la îndoială de câțiva cercetători. Ptolemeu nu a făcut nicio modificare trei secole mai târziu și a exprimat pentru anotimpurile de toamnă și de iarnă lungimi care erau deja implicite (așa cum a arătat, de exemplu, A. Aaboe).
Distanța, paralalaxele, mărimea Lunii și a SoareluiEdit
Hipparchus a întreprins, de asemenea, să găsească distanțele și dimensiunile Soarelui și ale Lunii. Rezultatele sale apar în două lucrări: Perí megethōn kaí apostēmátōn („Despre mărimi și distanțe”) de Pappus și în comentariul lui Pappus la Almagestul V.11; Theon din Smirna (secolul al II-lea) menționează lucrarea cu adăugarea „a Soarelui și a Lunii”.
Hipparchus a măsurat diametrele aparente ale Soarelui și ale Lunii cu dioptriile sale. Ca și alții înainte și după el, el a constatat că dimensiunea Lunii variază pe măsură ce aceasta se deplasează pe orbita sa (excentrică), dar nu a constatat nicio variație perceptibilă a diametrului aparent al Soarelui. El a constatat că, la distanța medie a Lunii, Soarele și Luna au același diametru aparent; la această distanță, diametrul Lunii se potrivește de 650 de ori în cerc, adică, diametrele aparente medii sunt 360⁄650 = 0°33′14″.
Ca și alții înainte și după el, el a observat, de asemenea, că Luna are o paralaxă vizibilă, adică apare deplasată față de poziția sa calculată (în comparație cu Soarele sau stelele), iar diferența este mai mare atunci când este mai aproape de orizont. El știa că acest lucru se datorează faptului că, în modelele actuale de atunci, Luna se învârte în jurul centrului Pământului, dar observatorul se află la suprafață – Luna, Pământul și observatorul formează un triunghi cu un unghi ascuțit care se schimbă tot timpul. Din mărimea acestei paralaxări se poate determina distanța Lunii, măsurată în raze terestre. Pentru Soare însă, nu exista o paralaxă observabilă (acum știm că aceasta este de aproximativ 8,8″, de câteva ori mai mică decât rezoluția ochiului liber).
În prima carte, Hipparchus presupune că paralaxa Soarelui este 0, ca și cum acesta s-ar afla la o distanță infinită. El analizează apoi o eclipsă de Soare, pe care Toomer (împotriva opiniei a peste un secol de astronomi) o presupune a fi eclipsa din 14 martie 190 î.Hr. Aceasta a fost totală în regiunea Hellespontului (și în orașul său natal, Niceea); în momentul în care Toomer propune că romanii se pregăteau de război cu Antiohus al III-lea în zonă, iar eclipsa este menționată de Liviu în Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Ea a fost observată și la Alexandria, unde s-a raportat că Soarele a fost întunecat 4/5 părți de Lună. Alexandria și Niceea se află pe același meridian. Alexandria se află la aproximativ 31° nord, iar regiunea Hellespontului la aproximativ 40° nord. (S-a susținut că autori precum Strabon și Ptolemeu aveau valori destul de decente pentru aceste poziții geografice, deci Hipparchus trebuie să le fi cunoscut și el. Cu toate acestea, latitudinile dependente de Hipparchus ale lui Strabon pentru această regiune sunt cu cel puțin 1° prea mari, iar Ptolemeu pare să le copieze, plasând Bizanțul cu 2° mai sus în latitudine). Hipparchus a putut desena un triunghi format de cele două locuri și de Lună și, din geometrie simplă, a putut stabili o distanță a Lunii, exprimată în raze terestre. Deoarece eclipsa a avut loc dimineața, Luna nu se afla în meridian, și s-a propus că, în consecință, distanța găsită de Hipparchus a fost o limită inferioară. În orice caz, potrivit lui Pappus, Hipparchus a constatat că cea mai mică distanță este de 71 (de la această eclipsă), iar cea mai mare de 81 de raze terestre.
În cea de-a doua carte, Hipparchus pornește de la ipoteza extremă opusă: el atribuie o distanță (minimă) a Soarelui de 490 de raze terestre. Aceasta ar corespunde la o paralaxă de 7′, care este aparent cea mai mare paralaxă despre care Hipparchus credea că nu va fi observată (pentru comparație: rezoluția tipică a ochiului uman este de aproximativ 2′; Tycho Brahe a făcut observații cu ochiul liber cu o precizie de până la 1′). În acest caz, umbra Pământului este un con și nu un cilindru ca în prima ipoteză. Hipparchus a observat (la eclipsele lunare) că, la distanța medie a Lunii, diametrul conului de umbră este de 2 1⁄2 diametre lunare. Acest diametru aparent este, așa cum observase el, de 360⁄650 de grade. Cu aceste valori și cu ajutorul unei geometrii simple, Hipparchus a putut determina distanța medie; deoarece aceasta a fost calculată pentru o distanță minimă a Soarelui, ea reprezintă distanța medie maximă posibilă pentru Lună. Cu valoarea sa pentru excentricitatea orbitei, el a putut calcula și cea mai mică și cea mai mare distanță a Lunii. Potrivit lui Pappus, el a găsit o distanță minimă de 62, o medie de 67 1⁄3 și, în consecință, o distanță maximă de 72 2⁄3 raze terestre. Cu această metodă, pe măsură ce paralaxa Soarelui scade (adică distanța sa crește), limita minimă pentru distanța medie este de 59 de raze terestre – exact distanța medie pe care Ptolemeu a obținut-o mai târziu.
Hipparchus a avut astfel rezultatul problematic că distanța sa minimă (din cartea 1) era mai mare decât distanța sa medie maximă (din cartea 2). El a fost onest din punct de vedere intelectual cu privire la această discrepanță și probabil și-a dat seama că mai ales prima metodă este foarte sensibilă la acuratețea observațiilor și a parametrilor. (De fapt, calculele moderne arată că mărimea eclipsei de soare din 189 î.Hr. de la Alexandria trebuie să fi fost mai aproape de 9⁄10 și nu de 4⁄5, fracțiune care se potrivește mai bine cu gradul de totalitate la Alexandria a eclipselor care au avut loc în 310 și 129 î.Hr. care au fost, de asemenea, aproape totale în Hellespont și care sunt considerate de mulți ca fiind posibilități mai probabile pentru eclipsa pe care Hipparchus a folosit-o pentru calculele sale.)
Ptolemeu a măsurat mai târziu direct paralaxa lunară (Almagest V.13) și a folosit cea de-a doua metodă a lui Hipparchus cu eclipsele lunare pentru a calcula distanța Soarelui (Almagest V.15). El îl critică pe Hipparchus pentru că a făcut ipoteze contradictorii și a obținut rezultate contradictorii (Almagest V.11): dar se pare că nu a reușit să înțeleagă strategia lui Hipparchus de a stabili limite în concordanță cu observațiile, mai degrabă decât o singură valoare pentru distanță. Rezultatele sale au fost cele mai bune de până acum: distanța medie reală a Lunii este de 60,3 raze terestre, în limitele sale din a doua carte a lui Hipparchus.
Theon din Smyrna a scris că, potrivit lui Hipparchus, Soarele este de 1.880 de ori mai mare decât Pământul, iar Pământul de douăzeci și șapte de ori mai mare decât Luna; se pare că se referă la volume, nu la diametre. Din geometria cărții 2 rezultă că Soarele se află la 2.550 de raze ale Pământului, iar distanța medie a Lunii este de 60 1⁄2 de raze. În mod similar, Cleomedes îl citează pe Hipparchus pentru dimensiunile Soarelui și ale Pământului ca fiind de 1.050:1; aceasta conduce la o distanță lunară medie de 61 de raze. Se pare că Hipparchus și-a rafinat mai târziu calculele și a derivat valori unice precise pe care le-a putut folosi pentru predicțiile eclipselor solare.
Vezi pentru o discuție mai detaliată.
EclipseEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) ne spune că Hipparchus a demonstrat că eclipsele de Lună pot avea loc la cinci luni distanță, iar cele de Soare la șapte luni (în loc de cele șase luni obișnuite); și că Soarele poate fi ascuns de două ori în treizeci de zile, dar așa cum este văzut de națiuni diferite. Ptolemeu a discutat pe larg acest lucru un secol mai târziu în Almagestul VI.6. Geometria și limitele pozițiilor Soarelui și ale Lunii atunci când este posibilă o eclipsă de Soare sau de Lună sunt explicate în Almagestul VI.5. Se pare că Hipparchus a făcut calcule similare. Rezultatul că două eclipse de Soare pot avea loc la o lună distanță este important, deoarece acest lucru nu se poate baza pe observații: una este vizibilă în emisfera nordică, iar cealaltă în emisfera sudică – așa cum arată Pliniu – iar aceasta din urmă era inaccesibilă grecilor.
Predicerea unei eclipse de Soare, adică exact când și unde va fi vizibilă, necesită o teorie lunară solidă și o tratare adecvată a paralaxei lunare. Hipparchus trebuie să fi fost primul care a fost capabil să facă acest lucru. O tratare riguroasă necesită trigonometrie sferică, astfel încât cei care rămân siguri că Hipparchus nu o avea trebuie să speculeze că s-ar fi mulțumit cu aproximări plane. Este posibil ca el să fi discutat aceste lucruri în Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs („Despre mișcarea lunară a Lunii în latitudine”), o lucrare menționată în Suda.
Pliny remarcă, de asemenea, că „el a descoperit, de asemenea, din ce motiv exact, deși umbra care provoacă eclipsa trebuie să fie de la răsăritul soarelui încoace sub pământ, s-a întâmplat o dată în trecut ca Luna să fie eclipsată în vest în timp ce ambele corpuri luminoase erau vizibile deasupra pământului” (traducere H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) a susținut că acest lucru trebuie să se refere la marea eclipsă totală de Lună din 26 noiembrie 139 î.Hr. când, deasupra unui orizont marin curat, văzut din Rodos, Luna a fost eclipsată în nord-vest imediat după ce Soarele a răsărit în sud-est. Aceasta ar fi a doua eclipsă din intervalul de 345 de ani pe care Hipparchus l-a folosit pentru a verifica perioadele babiloniene tradiționale: acest lucru plasează o dată târzie pentru dezvoltarea teoriei lunare a lui Hipparchus. Nu știm ce „motiv exact” a găsit Hipparchus pentru a vedea Luna eclipsată în timp ce, aparent, aceasta nu se afla în opoziție exactă cu Soarele. Paralaxa scade altitudinea corpurilor luminoase; refracția le ridică, iar dintr-un punct de vedere înalt orizontul este coborât.
.