Joseph-Louis Lagrange este un gigant în istoria matematicii. El a avut contribuții majore la dezvoltarea fizicii, mecanicii celeste, calculului, algebrei, teoriei numerelor și teoriei grupurilor. A fost în mare parte autodidact și nu a obținut o diplomă universitară.
Fascinat de maximele și minimele funcțiilor, Lagrange a fost principalul fondator al calculului variațiilor.
Într-o reformulare de anvergură a legilor lui Isaac Newton, Lagrange a creat o nouă viziune strălucită a mecanicii. El a făcut acest lucru folosind calculul variațiilor pentru a dezvălui implicațiile largi ale unui singur principiu fizic, lucrul virtual. Un rezultat al acestui lucru a fost funcția Lagrange, indispensabilă în fizica avansată, calculată prin scăderea energiei potențiale din energia cinetică.
Viziunea lui Lagrange s-a bazat în întregime pe algebră și calcul. El credea că acest lucru era mai riguros din punct de vedere matematic decât ideile intuitive generate de geometrie. El a considerat că metodele sale au poziționat mecanica în domeniul matematicii pure.
În mecanica cerească, Lagrange a descoperit punctele Lagrange, îndrăgite în egală măsură de scriitorii de science-fiction și de planificatorii de observatoare și stații spațiale.
Lagrange ne-a dat notația familiară f′(x) pentru a reprezenta derivata unei funcții, f′′(x) derivata a doua, etc. și, într-adevăr, el a fost cel care ne-a dat cuvântul derivată.
Realizări și puncte cheie
Joseph-Louis Lagrange a fost un matematician și fizician autodidact prolific. Unele dintre realizările sale majore sunt:
Lagrange:
- S-a bazat pe lucrările anterioare ale lui Leonhard Euler pentru a crea calculul variațiilor – el a numit-o „metoda variațiilor”.
- A introdus notația ∂ și a creat primele ecuații diferențiale parțiale.
- A dat cea mai generalizată declarație a principiului celei mai mici acțiuni din epoca sa.
- A creat un domeniu complet nou al mecanicii, mecanica lagrangiană, atât pentru solide cât și pentru fluide, bazat pe conceptul de lucru virtual și utilizând funcția Lagrangiană.
- A introdus conceptul de coordonate generalizate. Mecanica lagrangiană poate fi utilizată în orice sistem de coordonate – problemele sunt simplificate prin alegerea unui sistem adecvat.
- A creat conceptul de potențial: câmpul gravitațional, de exemplu, este un câmp potențial.
- A descoperit orbitele lagrangiane.
- A rezolvat probleme vechi de un secol în teoria numerelor, puse de Fermat, care învinseseră alți matematicieni.
- A fost un fondator al teoriei grupurilor.
- A jucat un rol cheie în crearea sistemului metric de greutăți și măsuri.
Anceputuri
Joseph-Louis Lagrange s-a născut într-o familie prosperă (nașii săi erau aristocrați) în orașul italian Torino, Piemont, la 25 ianuarie 1736.
La naștere, numele său era Giuseppe Lodovico Lagrangia. Forma franceză a numelui său este folosită de obicei pentru că a scris multe dintre lucrările sale în franceză și, în ultima parte a vieții sale, s-a stabilit la Paris.
Ca adolescent în Italia, Joseph a început să-și spună Lagrange. Avea strămoși francezi din ambele părți ale familiei sale, lucru de care pare să se fi mândrit, deși el s-a considerat întotdeauna piemontez mai degrabă decât francez. După mulți ani petrecuți la Paris, el și-a păstrat puternicul accent italian.
Joseph a fost numit după numele tatălui său, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, trezorierul regelui, responsabil pentru fortificațiile și infrastructura orașului Torino. Mama lui Joseph a fost Maria Teresa Grosso, fiica unui medic eminent. Iosif a fost cel mai mare dintre cei 11 copii ai lor, dintre care doar doi au supraviețuit copilăriei.
Educație
În 1750, la vârsta de 14 ani, Iosif a devenit student la Universitatea din Torino. Plictisit de geometria lui Euclid și Arhimede, nu a avut niciun interes în a studia matematica.
El plănuia să calce pe urmele tatălui său și să studieze dreptul. Cu toate acestea, tatăl său a avut probleme financiare din cauza unor speculații nechibzuite.
Interesul lui Joseph pentru matematică a fost stârnit când a citit o lucrare scrisă în secolul precedent de Edmund Halley, în care Halley folosea ecuații algebrice pentru a descrie performanța optică a lentilelor. Spre deosebire de geometrie, ceva din algebra lui Halley l-a captivat.
S-a îndepărtat de drept și a început să participe la cursuri de matematică și fizică. Deși îi plăceau acestea, absorbirea cărților de ultimă oră ale unor matematicieni precum Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin și Jean d’Alembert a fost cea care l-a catapultat înainte cu o viteză aproape miraculoasă.
Lagrange nu a dormit prea mult. A căpătat obiceiul de-o viață de a se menține treaz pentru ore lungi de muncă cu ajutorul ceaiului și al cafelei.
Concepția lui Lagrange despre matematică
René Descartes și Pierre de Fermat au demonstrat că geometria și algebra sunt interschimbabile. Legătura fusese bănuită de mult timp. În secolul al XI-lea, Omar Khayyam scrisese:
„Cine crede că algebra este un truc pentru a obține necunoscute a gândit-o în zadar. Nu trebuie să se acorde atenție faptului că algebra și geometria sunt diferite în aparență. Algebrele sunt fapte geometrice care sunt dovedite de Propozițiile 5 și 6 din Cartea 2 a Elementelor lui Euclid.”
Isaac Newton a realizat celebrul său sistem al lumii în Principia bazându-se pe idei geometrice.
Lagrange a început să creadă din ce în ce mai mult că progresul în continuare al mecanicii va fi inhibat de geometrie. El a favorizat analiza – o abordare în întregime algebrică a calculului.
„Marii maeștri ai analizei moderne sunt Lagrange, Laplace și Gauss, care au fost contemporani… Lagrange este perfect atât în formă, cât și în materie, el este atent să explice procedura sa și, deși argumentele sale sunt generale, ele sunt ușor de urmărit. Laplace, pe de altă parte, nu explică nimic… Gauss este la fel de exact și elegant ca Lagrange, dar și mai greu de urmărit decât Laplace…”…
Novice Mathematician
În 1754, la vârsta de 18 ani, Joseph Lagrange a publicat prima sa lucrare matematică: Scrisoare către Giulio Carlo da Fagnano. În ea a descris descoperirea sa că expansiunea binomială și formula pentru diferența unui produs au coeficienți identici.
Nu era un rezultat nou, deși la început a crezut că este.
Viața lui Lagrange în context
Viața lui Joseph Lagrange și viețile unor matematicieni înrudiți.
Operele lui Joseph-Louis Lagrange
Calculul variațiilor
În august 1755, la vârsta de 19 ani, Lagrange a trimis o lucrare celui mai mare matematician în viață din lume, Leonhard Euler. El a descris noua sa metodă de a găsi maximele și minimele funcțiilor, un strălucit salt înainte în calcul. În septembrie 1755, Euler i-a răspuns în scris, exprimându-și marea admirație pentru munca lui Lagrange.
Câteva zile mai târziu, lui Lagrange i s-a oferit și a acceptat un post de profesor asistent de matematică la o școală de artilerie din Torino – Academia Militară Regală. A părăsit Universitatea din Torino fără o diplomă și a început să predea calculul & mecanic. Studenții săi erau cu toții mai în vârstă decât el, iar el nu era cel mai bun dintre profesori – era mai degrabă timid, iar prelegerile sale erau prea avansate pentru studenții săi.
Corespondența ulterioară dintre Lagrange și Euler a dus la o nouă ramură a matematicii – calculul variațiilor.
Euler a fost atât de copleșit de importanța muncii lui Lagrange încât a propus ca tânărul din Torino să fie ales ca membru străin al Academiei din Berlin. Lagrange a fost ales în mod corespunzător la 2 septembrie 1756, la vârsta de 20 de ani.
Lagrange a crezut întotdeauna că fondarea calculului variațiilor a fost cea mai mare operă a sa. Aceasta l-a consacrat, în timp ce era încă adolescent, ca unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII-lea.
Hilbert și calculul variațiilor
David Hilbert
În 1900, la 145 de ani după ce Lagrange a creat calculul variațiilor, acesta rămânea unul dintre cele mai importante domenii ale matematicii. Când David Hilbert a pus faimoasele sale 23 de probleme matematicienilor din lume, trei dintre ele se refereau la calculul variațiilor:
- Problema 19: Sunt soluțiile problemelor regulate din calculul variațiilor întotdeauna neapărat analitice? Aceasta a fost rezolvată de Ennio de Giorgi și John F. Nash. Răspunsul este da.
- Problema 20: Toate problemele variaționale cu anumite condiții la limită au soluții? Aceasta a generat o cantitate enormă de muncă desfășurată de un număr mare de matematicieni. Răspunsul este da.
- Problema 23: Este necesară dezvoltarea în continuare a calculului variațiilor. Aceasta este o problemă care, așa cum a recunoscut Hilbert, nu are o soluție definitivă. Cu toate acestea, el a considerat domeniul atât de vital pentru viitorul matematicii încât a fost fericit să facă din ea ultima sa problemă.
O viziune
Lagrange avea idei mari. La vârsta de 20 de ani, viziunea sa era de a unifica toată mecanica folosind un singur principiu fundamental:
„Voi deduce mecanica completă a corpurilor solide și fluide folosind principiul celei mai mici acțiuni”.
Lagrange și-a atins în cele din urmă obiectivul în anii 1780, descriind succesul său în Mecanica analitică în 1788. Singurul principiu unitar s-a dovedit a fi mai degrabă lucrul virtual decât cea mai mică acțiune. El a folosit pentru prima dată lucrul virtual în 1763 într-o lucrare în care discuta despre librația lunii.
Fondarea Academiei de Științe din Torino
Lagrange s-a săturat de atitudinile științifice înfundate din Torino. În 1757, el s-a reunit cu alți doi foști studenți pentru a forma Societatea Privată din Torino. Scopul Societății era de a cultiva cercetarea științifică după modelul Academiilor de Științe din Franța și Berlin.
În 1759, noua societate a început să își publice propria revistă în franceză și latină: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscelanee de Filosofie și Matematică.
În 1783, cu sprijinul regelui, societatea a devenit Academia Regală de Științe din Torino.
Moving Beyond Newton
Lagrange a început să își publice lucrările în revista societății sale. În multe dintre ele a aplicat noul său calcul al variațiilor la lumea fizică pentru a descoperi noi rezultate și a arunca o nouă lumină asupra fenomenelor. Lucrările sale din această perioadă apar în trei volume istorice, toate conținând o varietate de lucrări revoluționare, printre care:
- Teoria propagării sunetului, inclusiv prima descriere matematică completă a unei corzi care vibrează ca o undă transversală. De asemenea, prima utilizare a calculului diferențial în teoria probabilităților.
- Teoria și notația calculului variațiilor, soluții la probleme de dinamică și deducerea principiului celei mai mici acțiuni.
- Soluții la mai multe probleme de dinamică, prima utilizare a funcției Lagrangian, ecuații diferențiale generale care descriu trei corpuri atrase reciproc de gravitație, integrarea ecuațiilor diferențiale și soluția la o problemă veche de un secol pe care Pierre de Fermat o pusese în teoria numerelor.
Blocajul mareelor & Librația Lunii
În 1764, Lagrange a câștigat premiul Academiei Franceze de Științe pentru studiul său care descrie de ce vedem doar o singură față a Lunii și de ce observăm librația. Librația este o oscilație și o legănare aparentă a Lunii cauzată de efectele orbitale care ne permite să vedem mai mult din suprafața sa decât ne-am aștepta. Ca urmare a librării Lunii, atunci când o observăm pe parcursul unei perioade de timp, putem vedea, de fapt, aproximativ 59% din suprafața sa, în loc de 50%, cât ne-am fi așteptat inițial.
Premiul lui Lagrange a fost, de asemenea, semnificativ pentru că a folosit pentru prima dată principiul lucrului virtual: mai târziu a folosit acest principiu ca bază a mecanicii lagrangiane.
Lunile lui Jupiter
În 1766, Lagrange a câștigat din nou premiul Academiei Franceze de Științe, de data aceasta pentru explicația sa privind orbitele sateliților lui Jupiter.
Anii Berlinului: 1766-1786
La vârsta de 30 de ani, Lagrange s-a mutat la Berlin, înlocuindu-l pe Euler ca director de matematică la Academia Prusacă de Științe. Academia încercase să-l atragă încă de la vârsta de 19 ani, dar el refuzase pentru că simțea că va fi în umbra lui Euler.
Cei 20 de ani pe care Lagrange i-a petrecut la Berlin au fost cei mai productivi pentru el. Deși uneori a fost nevoit să se oprească din lucru din cauza stării de sănătate precare, atunci când sănătatea sa era bună, a publicat lucrări originale și valoroase în ritm de aproximativ una pe lună. Majoritatea au fost publicate de Academia din Berlin, în timp ce altele au apărut în alte două volume din Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Ecuații diferențiale parțiale
În anii 1770 și în prima jumătate a anilor 1780, producția lui Lagrange privind ecuațiile diferențiale a fost prodigioasă, ceea ce a dus la crearea de către el a matematicii ecuațiilor diferențiale parțiale.
Ecuații diferențiale parțiale
Ecuațiile diferențiale pot fi folosite pentru a descrie schimbările din lumea reală. Ele descriu relația dintre o mărime fizică, cum ar fi viteza, și rata de schimbare a acesteia.
Ecuațiile diferențiale ordinare descriu o singură mărime care se schimbă, cum ar fi viteza.
Un grafic de densitate de probabilitate pentru un electron în orbitalul 2p al unui electron al unui atom de hidrogen. Graficul este construit din soluția ecuației lui Schrödinger – o ecuație cu derivate parțiale.
Lagrange a creat ecuațiile cu derivate parțiale pentru a descrie situații mai complicate în care se schimbă mai mult de o cantitate – în jargonul matematic, ecuațiile cu derivate parțiale descriu o funcție a mai multor variabile care se schimbă.
De exemplu, ecuația lui Schrödinger este o ecuație cu derivate parțiale bine cunoscută în mecanica cuantică a cărei soluție permite deducerea orbitalilor electronilor. Acești orbitali descriu volumul în interiorul căruia ne așteptăm să găsim un electron într-un atom.
Teoria grupurilor & Simetrie
Teorema lui Langrange, care datează din 1771, constă în faptul că ordinea unui subgrup trebuie să împartă întotdeauna exact ordinea grupului. Acesta a fost unul dintre primii pași în teoria grupurilor.
Puncte lagrangiane
În 1772, Lagrange a revenit la o problemă care l-a intrigat – problema celor trei corpuri în gravitație. Tratatul său pe această temă, Essai sur le Problème des Trois Corps, i-a adus un nou premiu al Academiei Franceze de Științe.
A considerat o situație în care există două obiecte cu masă relativ mare, cum ar fi Pământul și Soarele, care orbitează în jurul unui centru de greutate reciproc. El a calculat potențialul gravitațional pentru acest tip de situație, rezumat în harta de contur de mai jos.
Hartă de contur a potențialului gravitațional pentru sistemul Pământ-Soare, arătând cele cinci puncte lagrangiane: L1, L2, L3, L3, L4, L5.
Unde liniile de contur sunt apropiate, potențialul gravitațional este ridicat. În mod similar, acolo unde liniile de contur sunt mai depărtate, potențialul gravitațional este mai mic.
Lagrange a identificat cinci puncte de echilibru, punctele lagrangiane L1, L2, L3, L4 și L5. Obiectele aflate în aceste puncte își mențin poziția în raport cu cele două mase mai mari. (Euler a identificat punctele L1, L2 și L3, cu câțiva ani mai devreme, într-o analiză mai puțin amănunțită.)
Astăzi, satelitul Observatorului Solar și Heliosferic al NASA este situat în punctul L1 dintre Pământ și Soare, permițând observarea soarelui fără întrerupere de pe o platformă stabilă.
Telescopul spațial James Webb, succesorul telescopului spațial Hubble, este programat să fie plasat în punctul L2 Pământ-Soare în 2020.
Mecanica lagrangiană
Lagrange și-a finalizat capodopera sa, Mecanica analitică, la Berlin, la începutul anilor 1780. Vor trece câțiva ani până când va găsi un editor.
„Aproape am terminat o carte de mecanică analitică întemeiată exclusiv pe principiul . Dar, din moment ce încă nu am nici o idee unde și când va putea fi publicată, nu mă grăbesc să o termin”.
Lagrange era mândru că cartea sa nu conținea diagrame: el considera mecanica drept o ramură a matematicii pure – o geometrie cu patru dimensiuni – trei de spațiu, una de timp. El credea că se vor găsi adevăruri mai mari în rigoarea algebrei și a calculului fuzionate în analiză decât în ceea ce el vedea ca o gândire intuitivă reprezentată în diagrame. El era mândru că a scos mecanica din provincia geometriei și a plasat-o ferm în domeniul analizei.
Lagrange a elaborat totul pornind de la un singur principiu fundamental: lucrul virtual. Pornind de la acest principiu, căruia i-a aplicat calculul variațiilor, el a produs funcția lagrangeană în coordonate generalizate, permițând ca un mare număr de probleme din mecanică să fie abordate dintr-o nouă direcție și să fie rezolvate probleme insolubile anterior.
Mecanica lagrangeană a dus la o înțelegere mai profundă a lumii fizice. De exemplu, la peste 150 de ani după ce Lagrange a scris Mecanica analitică, lucrarea lui Paul Dirac The Lagrangian in Quantum Mechanics (Lagrange în mecanica cuantică) l-a condus pe Richard Feynman la o formulare complet nouă a mecanicii cuantice, apoi la integralele de traiectorie și, în cele din urmă, la soluția completă a electrodinamicii cuantice pe care a descris-o ca fiind „bijuteria fizicii”.
Anii Parisului: 1786-1813
Deși Lagrange a scris capodopera sa, Mecanica analitică, la Berlin, aceasta a fost publicată abia în 1788, după ce s-a mutat la Paris la invitația Academiei Franceze de Științe.
În primii săi ani la Paris, Lagrange a fost copleșit de depresie și lipsă de energie – a constatat că nimic nu-i putea menține interesul. Două lucruri l-au ajutat să iasă din letargie: căsătoria sa din 1792 cu o soție tânără și simpatică; și numirea sa ca președinte al comisiei pentru greutăți și măsuri în 1793.
Supraviețuirea Terorii
Regatul de teroare al Revoluției franceze a început în 1793. Lagrange a supraviețuit acesteia. L-a ajutat faptul că era străin. De asemenea, era blând și a făcut întotdeauna tot posibilul să evite disputele și politica.
Antoine Lavoisier, un membru anterior al comisiei pentru greutăți și măsuri și un fondator al chimiei moderne, nu a fost la fel de norocos: și-a pierdut capul în 1794. Lagrange a fost îngrozit de soarta lui Lavoisier, comentând:
„A fost nevoie doar de o clipă ca să-i cadă capul, dar o sută de ani nu ar fi suficienți pentru a reproduce egalul său”.
Sistemul metric
Lagrange a pledat puternic pentru adoptarea kilogramului și a metrului. Acestea au fost acceptate de comisie în 1799.
Ècole Polytechnique
În 1794, Ècole Polytechnique s-a deschis la Paris, iar Lagrange, acum în vârstă de 58 de ani, a fost numit profesor de matematică. Prelegerile sale au fost savurate de ceilalți profesori. Cu toate acestea, toți studenții, cu excepția celor mai capabili, le-au găsit prea dificile. Situația era similară cu cea de mulți ani mai devreme, când, adolescent fiind, a ținut prelegeri la Torino.
Sophie Germain, exclusă de la Polytechnique pentru că era femeie, a obținut notele de curs de Analiză ale lui Lagrange și a fost încântată de ele: erau cele mai bune note de matematică pe care le văzuse. Lagrange a aflat despre talentul matematic al lui Germain, a vizitat-o și a răspândit vestea despre strălucirea ei.
Familia și sfârșitul
În 1767, la vârsta de 31 de ani, Lagrange s-a căsătorit cu verișoara sa Vittoria Conti. El nu-și dorea copii, iar cei doi erau tovarăși comozi – se cunoșteau de ceva timp. Niciunul dintre ei nu se bucura de o sănătate bună, iar Vittoria era frecvent bolnavă. Ea a murit în 1783, după 16 ani de căsătorie. Lagrange a plâns-o profund și a intrat în depresie.
La Paris, în 1792, Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier, în vârstă de 24 de ani, i-a devenit devotat lui Lagrange, care avea 56 de ani. Ea l-a cunoscut prin intermediul tatălui ei, astronomul Pierre Charles Le Monnier. Lui Renée îi părea rău pentru Lagrange – era un om strălucit care părea să își fi pierdut pofta de viață; părea neobișnuit de trist și obosit de lume. Renée a decis să se căsătorească cu el și a rămas fermă împotriva tuturor obiecțiilor. Cei doi s-au căsătorit și s-a dovedit a fi o uniune fericită pentru amândoi. Nu au avut copii.
În 1802, Lagrange a devenit cetățean francez.
Lagrange a participat cu regularitate la slujba romano-catolică, deși, în rest, pare să fi vorbit puțin despre religia sa.
Joseph-Louis Lagrange a murit, la vârsta de 77 de ani, la 10 aprilie 1813 la Paris. Supraviețuit de soția sa Renée, el a fost înmormântat în Panthéon, locul de odihnă finală al multor oameni eminenți, inclusiv Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin și Pierre & Marie Curie.
Când Turnul Eiffel a fost inaugurat în 1889, Lagrange a fost unul dintre cei 72 de oameni de știință, ingineri și matematicieni francezi ale căror nume au fost gravate pe plăcile de pe turn.
„Toate compozițiile sale matematice sunt remarcabile printr-o eleganță singulară, prin simetria formelor și generalitatea metodelor și, dacă se poate vorbi astfel, prin perfecțiunea stilului analitic.”
Autorul acestei pagini: The Doc
© Toate drepturile rezervate.
Citează această pagină
Vă rugăm să folosiți următoarea citare conform MLA:
Publicat de FamousScientists.org
Lecturi suplimentare
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: Tradus și editat de Auguste Boissonnade și Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013
>.