Bisektion

3.2 Kvalitativ approximation med övre och undre mått och transitiv omöjlighet

Det psykologiska övervägandet av tröskelvärden under vilka perceptuella eller andra jämförande bedömningar är svåra, om inte omöjliga, inleddes av Fechner . En viktig tidig matematisk analys gjordes av Wiener . En stor del av den moderna litteraturen börjar med Luces definition av en halvordning, som axiomatiserades som en enda binär relation i det ändliga fallet av Scott och Suppes . Några av de mest betydelsefulla bidragen har kommit från Falmagne.

Den probabilistiska analysen av trösklar härstammar åtminstone från Thurstone . Falmagne har också varit en central bidragsgivare till detta tillvägagångssätt, med ett antal andra artiklar skrivna tillsammans med kollegor: Falmagne och Iverson , Falmagne et al. och Iverson och Falmagne . En omfattande genomgång av all denna litteratur finns i Suppes et al., .

Nästan allt arbete som det hänvisas till utgår från att omöjligheten att särskilja liknande händelser, objekt eller stimuli är en icke övergående relation. Det implicita antagandet är att med många olika diskriminerande observationer kan många ursprungligen omöjliga händelser skiljas åt. Här är motsatsen utgångspunkten och anledningen till att ordet ”transitiv” används i titeln. Det är en följd av de införda axiomen att omöjlighet är en ekvivalensrelation och därmed transitiv. Resten av detta avsnitt bygger till stor del på Suppes .

I det föregående avsnittet granskade jag kortfattat omfattande mätningar med fokus på konstruktionen av en ändlig standardkvotsskalerepresentation. Grunden för transitiv oskiljbarhet är nu lätt att förklara. Ett objekt som vägs tilldelas ett unikt minimalt intervall, till exempel ett mellan 1,9 g och 2,0 g. Det binära förhållandet att två objekt, a och b, som inte ingår i standardsekvensen, är likvärdiga i vikt, a ≈ b, är att de tilldelas samma minimala intervall i standardsekvensen. Denna relation är uppenbarligen en ekvivalensrelation, dvs, reflexiv, symmetrisk och transitiv, men i det utvecklade approximationssystemet är dessa egenskaper inte direkt testbara, utan snarare konsekvenser av vägningsoperationer med redan ”kalibrerade” standarduppsättningar av vikter.

Så, i den notation som används senare, är ett objekt som tilldelas det minimala intervallet (1.9 g, 2,0 g) sägs, som en approximation, ha det övre måttet (vikt) w* (a) = 2,0 g och det undre måttet w*(a) = 1,9 g. I praktiken, för alla utom de mest raffinerade mätmetoderna, ges ingen statistisk analys av att ha en vikt i ett sådant minimalt intervall. I de fall då det minimala intervallet i standardsekvensen ligger precis på gränsen för instrumentets prestanda kan en statistisk analys ges för upprepade mätningar.

Den vanliga praxisen är inte helt i överensstämmelse med mitt användande av ett minimalt intervall och därmed tilldelningen av en övre och en undre gräns som lämpligt ungefärligt mått. Men det som görs är nära och enkelt relaterat. Som det lärs ut i grundläggande fysikkurser, för att uttrycka en mätning som ”exakt till 0,1 g”, till exempel, skrivs mätningen som 1,9 ± 0,1 g. Vad som vanligtvis rekommenderas i praktiken är att använda två intilliggande minimala intervall för att minska osäkerheten och att uttrycka själva mätningen som ett enda tal. De axiom som anges i avsnitt 3 kan lätt ändras för att tillgodose denna användning av två intilliggande i stället för ett minimalt intervall.

Denna samma ±-notation används också allmänt för att uttrycka det statistiska standardfelet för upprepade mätningar. Det är begreppsmässigt viktigt här att behålla både övre och undre mått, för den grundläggande synen som formaliseras i axiomen är att ingen finare mätning än den i ett minimalt intervall är tillgänglig under de givna omständigheterna. Och ingen teoretisk konstruktion av en sannolikhetsfördelning för platsen inom det minimala intervallet är vetenskapligt meningsfull. Poängen som betonas är att den givna formaliseringen är tänkt att vara ett steg närmare mycket, men säkerligen inte all, faktisk mätningspraxis när en fast representation i standardskala är tillgänglig.

Som en fråga om terminologi skulle det som jag har kallat en ändlig extensiv struktur med lika avstånd lika väl kunna kallas en ändlig extensiv struktur med standardsekvens. Terminologin för standardsekvenser är välkänd i litteraturen om mätningens grunder. Detta språk föreslår den användbara termen standarduppsättningar för de uppsättningar av vikter som bildar en standardsekvens.

För senare användning är det viktigt att notera att för två uppsättningar av standardvikter A och B, om de inte är ekvivalenta i vikt så är den minsta möjliga skillnaden mellan dem vikten av en atomuppsättning. Mer exakt är det ordnade paret av uppsättningar (A, B) ett minimalt par av standarduppsättningar om μ(A) – μ(B) = μ(en atomuppsättning), dvs. deras skillnad är faktiskt den minsta för icke ekvivalenta standarduppsättningar. Observera att om (A, B) är ett minimalt par är A ≥ B. Ekvivalensen av sådana par är ett användbart begrepp att definiera. Två minimala par (A, B) och (A′, B′,) är likvärdiga om μ(A) = μ(A′) och μ(B) = μ(B′). Här följer tre observationer som är relevanta för senare diskussioner:

Med utgångspunkt i att vi nu antar en ändlig, jämnt fördelad extensiv struktur (även kallad en ändlig standardsekvens) ges ytterligare axiom för att mäta ungefär vilket fysiskt objekt som helst inom standardsekvensens räckvidd. De primitiva begreppen är nu

Om (S1, S2) är ett minimalt par och S1 ≥ W1 ≥ S2 sägs (S1 S2) vara ett minimalt par för W1, och även W1 sägs ha ett minimalt par.

Vissa kommentarer till dessa axiom är lämpliga. Axiom 1 för bara in standardmängdernas struktur i approximationsramen. Axiom 2 kräver att det inte finns någon överlappning av objekt mellan dem i S, kalibrerade för standardmängder, och dem i W, objekt som skall vägas. Axiom 3 är det enda axiom som enbart uttrycks i termer av vägda objekt, utan tester med hjälp av standardvikter. Dess krav på att ≥ ska vara sammanhängande för W är välbekant. Axiom 4-11 formulerar sedan testbara antaganden som är tillräckliga för att rättfärdiga ungefärlig mätning av vikter som faller inom intervallet för standardmängder. Eftersom både S och W är ändliga kan varje axiom testas direkt på en jämviktsvåg. Axiom 4 ger testet för att W1 är strikt tyngre än W2, nämligen att hitta ett S1 så att W1 ≥ S1 och S1 ≥ W2. Axiom 5 anger ett transitivitetsvillkor, så att säga, för förhållandet mellan standardmängder och vägda mängder eller objekt. Om S1 är tyngre än W1 och W1 är tyngre än S2 måste det vara så att S1 är tyngre än S2. Axiom 6 utesluter att ett vägt objekt W1 har exakt samma vikt som en standardmängd. Svagare former av detta axiom är möjliga, men med deltagande komplikationer av testvillkoren. Axiomet liknar de välkända axiomen om ”tvingade val” när det gäller mätning av övertygelser eller handlingar. Axiom 7 kräver att varje vägt objekt W1 är tyngre än varje minimal positiv standarduppsättning S1. Detta axiom gör det möjligt för en jämviktsvåg eller en jämförbar anordning att inte vara känslig för någon positiv vikt som är mindre än en minimal standarduppsättning. Axiom 8 är uppenbarligen en generalisering till approximativ mätning av det vanliga kvalitativa additionsaxiomet som exemplifieras i Axiom 2 i definition 1. Axiom 9 garanterar att man, givet disjunkta uppsättningar W1 och W2 som skall vägas, kan hitta disjunkta standarduppsättningar som är minsta övre gränser, S1 för W1 och S1 för W2, och som också är disjunkta. Detta följer inte av andra axiom, för om W1 ∪ W2 = W, kan föreningen av de disjoina minsta övre gränserna S1 ∪ S1 vara en atomär standardmängd som är större än den minsta övre gränsen för W själv, så S måste utvidgas för att täcka detta fall. Möjligheterna förklaras uttryckligen i teorem 12. Axiom 10 är ett test för att W1 ska vara strikt tyngre än W2, och testet är naturligtvis relativt till standardmängdernas grovhet. Axiom 11 garanterar att alla objekt, eller uppsättningar av objekt, som ska vägas faller inom standarduppsättningarna genom att de har ett minimalt par standarduppsättningar, dvs. en diskret minsta övre gräns och en diskret största nedre gräns bland standarduppsättningarna.

Ett urval av elementära teorem anges först, med fokus på transitiviteten hos relationerna ≥ och ≈ mellan uppsättningar av objekt som ska vägas.

TESOREM 10. Om W1 ≈ W2 och W2 ≥ W3 så är W1 ≥ W3.

Nästa sats visar att ekvivalensrelationen ≈ för standardmängder har kongruensegenskapen för ≥ på mängden S × W.

THEOREM 11. Om S1 ≈ S1 och S1 ≥ W1 så är S1 ≥ W1.

Nästa sats hävdar det testbara kriteriet för att W1 och W2 inte kan särskiljas.

THEOREM 12. W1 ≈ W2 om och endast om W1 och W2 har likvärdiga minimala par.

Med liknande metoder kan vi bevisa ett nära besläktat resultat.

Vi är nu i stånd att hävda transitiviteten hos oskiljbarheten av vikter.

THEOREM 14. Om W1 ≈ W2 och W2 ≈ W3 så är W1 ≈ W3.

Den betydelse som nästa sats har för att bestämma den approximation som gäller vid addition av två disjunkta uppsättningar W1 och W2 av objekt som ska vägas framkommer i diskussionen som följer på satsen.

När man adderar den ungefärliga vikten av två samlingar av fysiska föremål, genom att väga dem individuellt, gör det ungefärliga resultatet det inte möjligt för oss att dra slutsatsen om vilken av de två disjunkter som formuleras i teorem 15 som gäller. Dessa två skiljelinjer beskriver två intilliggande men olika minimala intervaller. Men det finns en viktig egenskap att notera. Addition ökar inte approximationsintervallet efter addition. Så i sats 15, när vi får W1 och W2, vet vi utan ytterligare information inte i vilket minimalt intervall W1 ∪ W2 ligger, men, som den disjunktiva slutsatsen i axiomet hävdar, är det bara ett av två intilliggande minimala intervall, och genom att göra jämförelsen empiriskt kan vi avgöra vilket.

Den disjunktiva klausulen (iii) i sats 15 och antagandet om exakthet, dvs, ingen approximation, i själva mätningen av standardsekvensen, markerar en skillnad från diskussionerna och resultaten om approximation på flera olika ställen i Foundations of Measurement . Faktum är att standardkonceptet med ett par (μ*, μ*) av övre och undre mått, som är användbara som mått på approximation, inte introduceras någonstans i de tre volymerna av Foundations of Measurement. Definitionen av ett sådant par (μ*, μ*) följer i form av den som tidigare gavs för ett mått μ.

Begreppet ett par (μ*, μ*) av övre och undre mått är inte nytt. Det går åtminstone tillbaka till användningen av inre och yttre mått i analyser under senare delen av 1800-talet av Carathedory och andra. Användningen inom sannolikhetsområdet går åtminstone tillbaka till Koopman.

Den approximativa mätningens representation ges uttryckligen i termer av övre och undre mått. Sats 15, eller något ungefär likvärdigt, behövs för att fastställa de subadditiva och superadditiva egenskaperna hos de övre och undre måtten. Dessa egenskaper formuleras explicit i del (v) av nästa sats.

En jämförelse av olikheterna i klausul (v) i den nyss bevisade satsen med de två disjunktiva kvalitativa möjligheter som uttrycks i sats 15 tyder på att en snävare gräns kan bevisas, vilket också är fallet. Ojämlikheterna i klausul (v) kan skärpas till (v’) genom att man lägger in termen μ*(W1) + μ*(W2), vilket motiveras av sats 15.

KOROLLÄR 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Jag har inte angett något invariansresultat för sats 16, för det uppenbara följer av denna del av sats 1. Men det finns en annan relaterad betraktelse av större intresse. Det minimala intervallet av den ändliga standardsekvensen S = (S, F, ≥) som är en del av varje struktur för approximativ extensiv mätning, som kännetecknas av definition 11, fastställer den kvalitativa empiriska precisionen hos de empiriska mätningarna. Betrakta nu en andra ändlig standardsekvens T för att mäta samma egenskap hos delmängderna av W, och låt (T1, T′1) vara T:s minimala intervall. Till skillnad från det konventionella godkännandet av en enhet för omfattande mätning har vi i fallet med approximativ mätning en direkt kvalitativ jämförelse av precisionen som ges av det empiriska förhållandet mellan (S1, S′1) och (T1, T′1). Till exempel har den ”våg” som jag regelbundet använder för att väga mig själv ett minsta intervall på 0,25 lb, men en annan våg som jag använder mer sällan har ett minsta intervall på 0,1 kg. Eftersom 1 kg = 2,20 lb är förhållandet mellan 0,25 lb och 0,1 kg 0,25/.22, vilket med två decimaler är 1,14. Den standardsekvens som är kalibrerad i det metriska systemet är alltså något mer exakt, även om båda ”skalorna” ger minsta intervall som ligger över den precision som vanligtvis observeras eller registreras för de flesta ändamål. Varje ytterligare förfining av någon av dem är av litet eller inget intresse för att mäta kroppsvikt.

Samma exempel kan lätt ges för längdmätning med hjälp av olika finita standardsekvenser. Dessutom kan den approximativa teori som utvecklats här i termer av övre och undre mått lätt utvidgas med samma metoder till differensmätning, bisektionsmätning och conjoint-mätning, och med något större svårighet till flera dimensioner, t.ex. affin eller euklidisk geometri. Det är inte överraskande att tillämpningar av övre och undre mått har tillämpats mest på approximativ mätning av subjektiv sannolikhet. En omfattande genomgång och analys ges av Walley . Mitt eget tidigare bidrag, Suppes , använder övre och lägre sannolikheter, men med icke-transsitiv omöjlighet.

Fokus här har legat på approximativ mätning, men en mycket annorlunda teori om övre och lägre sannolikheter kan härledas från en direkt mängdteoretisk generalisering från slumpmässiga variabler som slumpmässiga funktioner till slumpmässiga relationer. En indikation på den teoretiska skillnaden är att de övre och undre mått som härleds från slumpmässiga relationer av Suppes och Zanotti är kapaciteter av oändlig ordning i Choquets mening . Däremot är de övre och undre mått som här beaktas för approximativ mätning inte ens kapaciteter av ordning två. Det är uppenbart att den approximation som införs här och i Suppes inte på något sätt är den enda möjligheten.