Bisection

3.2 Kvalitativ tilnærmelse med øvre og nedre mål og transitiv uadskillelighed

Den psykologiske overvejelse af tærskler under, for hvilke perceptuelle eller andre sammenlignende vurderinger er vanskelige, hvis ikke umulige, blev indledt af Fechner . En vigtig tidlig matematisk analyse blev foretaget af Wiener . En stor del af den moderne litteratur begynder med Luce’S definition af en semiorder, som blev axiomatiseret som en enkelt binær relation i det endelige tilfælde af Scott og Suppes . Nogle af de mest betydningsfulde bidrag er kommet fra Falmagne .

Den probabilistiske analyse af tærskler stammer i det mindste fra værker af Thurstone . Falmagne har også været en central bidragyder til denne tilgang, med en række andre artikler skrevet sammen med kolleger: Falmagne og Iverson , Falmagne et al. , og Iverson og Falmagne . En omfattende gennemgang af al denne litteratur findes i Suppes et al., .

Næsten alt det arbejde, der henvises til, antager, at den manglende adskillelse af lignende begivenheder, objekter eller stimuli er en ikke-transsitiv relation. Den implicitte antagelse er, at med mange forskellige diskriminerende observationer kan mange oprindeligt ikke adskelnelige begivenheder adskilles. Her er det modsatte udgangspunktet og årsagen til brugen af ordet “transitiv” i titlen. Det er en konsekvens af de indførte aksiomer, at ikke-selektivitet er en ækvivalensrelation, og dermed transitiv. Resten af dette afsnit trækker i høj grad på Suppes .

I det foregående afsnit gennemgik jeg kort omfattende målinger med fokus på opbygningen af en finite standard ratio-scale repræsentation. Grundlaget for transitiv uadskillelighed er nu let at forklare. Et objekt, der vejes, er tildelt et unikt minimalt interval, f.eks. et mellem 1,9 g og 2,0 g. Den binære relation mellem to objekter, a og b, der ikke er en del af standardsekvensen, og som er ækvivalente i vægt, a ≈ b, er, at de er tildelt det samme minimale interval i standardsekvensen. Denne relation er naturligvis en ækvivalensrelation, dvs, refleksiv, symmetrisk og transitiv, men i det udviklede tilnærmelsessystem er disse egenskaber ikke direkte testbare, men snarere konsekvenser af vejningsoperationer med standardiserede, allerede “kalibrerede” sæt af vægte.

Så i den notation, der senere anvendes, er et objekt, der er tildelt det minimale interval (1.9 g, 2,0 g) siges som en tilnærmelse at have det øvre mål (af vægten) w* (a) = 2,0 g og det nedre mål w*(a) = 1,9 g. I praksis er der for alle undtagen de mest raffinerede måleprocedurer ingen statistisk analyse af at have vægt i et sådant minimumsinterval. I de tilfælde, hvor standardsekvensens minimumsinterval ligger lige på grænsen af instrumentets ydeevne, kan der gives en statistisk analyse for gentagne målinger.

Den almindelige praksis er ikke helt i overensstemmelse med min brug af et minimumsinterval og dermed tildelingen af en øvre og en nedre grænse som passende tilnærmet måling. Men det, der gøres, er nært og enkelt beslægtet. Som man lærer i elementære fysikkurser, for at udtrykke en måling som “nøjagtig til 0,1 g”, skrives målingen f.eks. som 1,9 ± 0,1 g. Det, der normalt anbefales i praksis, er at anvende to tilstødende minimumsintervaller for at reducere usikkerheden og at udtrykke selve målingen som et enkelt tal. De aksiomer, der er givet i afsnit 3, kan let ændres for at imødekomme denne brug af to tilstødende i stedet for ét minimalt interval.

Denne samme ± notation anvendes også i vid udstrækning til at udtrykke den statistiske standardfejl ved gentagne målinger. Det er her begrebsmæssigt vigtigt at bevare både øvre og nedre mål, for det grundlæggende synspunkt, der er formaliseret i aksiomerne, er, at der under de givne omstændigheder ikke er nogen finere måling end den af et minimalt interval til rådighed under de givne omstændigheder. Og ingen teoretisk konstruktion af en sandsynlighedsfordeling for placering inden for minimumsintervallet giver meget videnskabelig mening. Det, der understreges, er, at den givne formalisering er tænkt som et skridt tættere på meget, men bestemt ikke al, faktisk målepraksis, når en fast repræsentation i standardskala er til rådighed.

Terminologisk set kunne det, som jeg har kaldt en endelig, lige store mellemrums ekstensiv struktur, lige så godt kaldes en endelig, ekstensiv struktur med standardsekvenser. Terminologien om standardsekvenser er velkendt i litteraturen om grundlaget for måling. Dette sprog foreslår den nyttige betegnelse standardsæt for de sæt af vægte, der danner en standardsekvens.

For senere brug er det vigtigt at bemærke, at for to sæt af standardvægte A og B, hvis de ikke er ækvivalente i vægt, så er den mindste mulige forskel mellem dem vægten af et atomart sæt. Mere præcist er det ordnede sætpar (A, B) et minimalt par af standardmængder, hvis μ(A) – μ(B) = μ(ét atomart sæt), dvs. deres forskel er faktisk det mindste for ikke-ækvivalente standardmængder. Bemærk, at hvis (A, B) er et minimalt par, er A ≥ B. Ækvivalensen af sådanne par er et nyttigt begreb at definere. To minimale par (A, B) og (A′, B′,) er ækvivalente, hvis μ(A) = μ(A′) og μ(B) = μ(B′). Her er tre observationer, der er relevante for senere diskussioner:

Hvis man nu antager en endelig lige stor ekstensiv struktur (også kaldet en endelig standardsekvens), gives yderligere aksiomer for måling af omtrent ethvert fysisk objekt inden for standardsekvensens rækkevidde. De primitive begreber er nu

Hvis (S1, S2) er et minimalt par, og S1 ≥ W1 ≥ S2, så siges (S1 S2) at være et minimalt par for W1, og også W1 siges at have et minimalt par.

Det er på sin plads med nogle kommentarer til disse aksiomer. Axiom 1 bringer blot strukturen af standardmængder inden for tilnærmelsesrammen. Axiom 2 kræver, at der ikke er nogen overlapning af objekter mellem dem i S, der er kalibreret til standardmængder, og dem i W, der er objekter, der skal afvejes. Aksiom 3 er det eneste aksiom, der udelukkende er udtrykt i form af vejet objekter uden test ved hjælp af standardvægte. Dets krav om, at ≥ skal være forbundet med W, er velkendt. Axiomer 4-11 formulerer derefter testbare antagelser, som er tilstrækkelige til at retfærdiggøre en tilnærmelsesvis måling af vægte, der falder inden for standardmængdernes rækkevidde. Da både mængderne S og W er begrænsede, kan hvert aksiom testes direkte på en ligevægtsvægt. Axiom 4 giver en test for, at W1 er strengt tungere end W2, nemlig at finde et S1, således at W1 ≥ S1 og S1 ≥ W2. Aksiom 5 angiver så at sige en transitivitetsbetingelse for forholdet mellem standardmængder og vejede mængder eller objekter. Hvis S1 er tungere end W1 og W1 er tungere end S2, så må det være sådan, at S1 er tungere end S2. Axiom 6 udelukker, at et vejet objekt W1 har nøjagtig samme vægt som en standardmængde. Svagere former af dette aksiom er mulige, men med de dertil hørende komplikationer i forbindelse med testbetingelserne. Aksiomet ligner de velkendte aksiomer med “tvunget valg” i forbindelse med måling af overbevisninger eller handlinger. Axiom 7 kræver, at ethvert vejet objekt W1 skal være tungere end ethvert minimalt positivt standardsæt S1. Dette aksiom gør det muligt for en ligevægt eller en tilsvarende anordning at være ufølsom over for enhver positiv vægt, der er mindre end et minimalt standardsæt. Aksiom 8 er naturligvis en generalisering af det sædvanlige kvalitative additionsaksiom, der er beskrevet i aksiom 2 i definition 1, til tilnærmelsesvise målinger. Aksiom 9 garanterer, at der, når der gives usammenhængende mængder W1 og W2, som skal vejes, kan findes usammenhængende standardmængder, som er de mindste øvre grænser, S1 for W1 og S1 for W2, og som også er usammenhængende. Dette følger ikke af andre aksiomer, for hvis W1 ∪ W2 = W, kan foreningen af de usammenhængende mindste øvre grænser, S1 ∪ S1, være et atomart standardsæt, der er større end en mindste øvre grænse for W selv, så S må udvides for at dække dette tilfælde. Mulighederne er ekspliciteret i sætning 12. Axiom 10 er en test for, at W1 skal være strengt tungere end W2, og testen er naturligvis relativ til standardmængdernes grovhed. Aksiom 11 garanterer, at alle objekter eller sæt af objekter, der skal vejes, falder inden for standardmængdernes rækkevidde ved at have et minimalt par af standardmængder, dvs. en diskret mindste øvre grænse og en diskret største nedre grænse blandt standardmængder.

Der opstilles først et udsnit af elementære teoremer med fokus på transitiviteten af relationer ≥ og ≈ mellem sæt af objekter, der skal vejes.

THEOREM 10. Hvis W1 ≈ W2 og W2 ≥ W3, så er W1 ≥ W3.

Den næste sætning viser, at ækvivalensrelationen ≈ for standardmængder har kongruensegenskaben for ≥ på mængden S × W.

THEOREM 11. Hvis S1 ≈ S1 og S1 ≥ W1, så er S1 ≥ W1.

Den næste sætning hævder det testbare kriterium for, at W1 og W2 ikke kan skelnes fra hinanden.

THEOREM 12. W1 ≈ W2, hvis og kun hvis W1 og W2 har tilsvarende minimale par.

Med lignende metoder kan vi bevise et nært beslægtet resultat.

Vi er nu i stand til at hævde transitiviteten af uadskilleligheden af vægte.

THEOREM 14. Hvis W1 ≈ W2 og W2 ≈ W3, så er W1 ≈ W3.

Den betydning, som den næste sætning har for bestemmelse af den tilnærmelse, der gælder under addition af to disjunkte sæt W1 og W2 af genstande, der skal vejes, kommer frem i diskussionen efter sætningen.

Ved at lægge den omtrentlige vægt af to samlinger af fysiske genstande sammen, ud fra at veje dem individuelt, giver det omtrentlige resultat ikke mulighed for at udlede, hvilken af de to disjunkter, der er formuleret i sætning 15, der gælder. Disse to disjunkter beskriver to tilstødende, men forskellige minimumsintervaller. Men der er et vigtigt træk at bemærke. Addition øger ikke det tilnærmede interval efter addition. Så i sætning 15, når vi får W1 og W2, ved vi uden yderligere oplysninger ikke, i hvilket minimalt interval W1 ∪ W2 ligger, men som den disjunktive konklusion i aksiomet hævder, er det blot et af to tilstødende minimale intervaller, og ved at foretage sammenligningen empirisk kan vi afgøre hvilket.

Den disjunktive klausul (iii) i sætning 15 og antagelsen om eksakthed, dvs, ingen tilnærmelse, i selve målingen af standardsekvensen, markerer en forskel i forhold til de diskussioner og resultater om tilnærmelse, der findes flere forskellige steder i Foundations of Measurement . Faktisk introduceres standardbegrebet af et par (μ*, μ*) af øvre og nedre mål, der er nyttige som mål for tilnærmelse, ikke noget sted i de tre bind af Foundations of Measurement. Definitionen af et sådant par (μ*, μ*) følger i form af den definition, der tidligere er givet for et mål μ.

Begrebet om et par (μ*, μ*) af øvre og nedre mål er ikke nyt. Det går i hvert fald tilbage til Carathedory og andres brug af indre og ydre mål i analyser i sidste del af det nittende århundrede. Anvendelse i sandsynlighedsregning går mindst tilbage til Koopman.

Den omtrentlige måling repræsenteres eksplicit ved hjælp af øvre og nedre mål. Sætning 15, eller noget nogenlunde tilsvarende, er nødvendig for at fastslå de subadditive og superadditive egenskaber ved de øvre og nedre mål. Disse egenskaber er eksplicit formuleret i del (v) af den næste sætning.

Sammenligning af ulighederne i klausul (v) i den netop beviste sætning med de to disjunktive kvalitative muligheder udtrykt i sætning 15 tyder på, at der kan bevises en strammere grænse, og det er også tilfældet. Ulighederne i klausul (v) kan strammes til (v’) ved at indsætte udtrykket μ*(W1) + μ* (W2), som er begrundet i sætning 15.

KOROLLERIE 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Jeg har ikke angivet et invariansresultat for sætning 16, for det indlysende resultat følger af denne del af sætning 1. Men der er en anden beslægtet betragtning af større interesse. Det minimale interval af den finitte standardsekvens S = (S, F, ≥), der er en del af enhver struktur af tilnærmet omfattende måling, som karakteriseret ved definition 11, fastlægger den kvalitative empiriske præcision af de empiriske målinger. Lad os nu overveje en anden endelig standardsekvens T til måling af den samme egenskab ved delmængder af W, og lad (T1, T′1) være det minimale interval for T. I modsætning til den konventionelle accept af en enhed for omfattende måling har vi i tilfælde af tilnærmet måling en direkte kvalitativ sammenligning af præcisionen, som er givet ved det empiriske forhold mellem (S1, S′1) og (T1, T′1). F.eks. har den “vægt”, som jeg regelmæssigt bruger til at veje mig selv, et minimumsinterval på 0,25 lb, men en anden vægt, som jeg bruger sjældnere, har et minimumsinterval på 0,1 kg. Da 1 kg = 2,20 lb, er forholdet mellem 0,25 lb og 0,1 kg 0,25/.22, hvilket med to decimaler er 1,14. Den standardsekvens, der er kalibreret i det metriske system, er altså lidt mere præcis, selv om begge “skalaer” giver minimumsintervaller, der ligger ud over den præcision, der normalt iagttages eller registreres til de fleste formål. Enhver yderligere forfinelse af en af dem er af ringe eller ingen interesse med henblik på måling af kropsvægt.

Sammenlignende eksempler kan let gives for måling af længde ved hjælp af forskellige finitte standardsekvenser. Desuden kan den tilnærmede teori, der er udviklet her med hensyn til øvre og nedre mål, let udvides ved hjælp af de samme metoder til differensmåling, halveringsmåling og fællesmåling og med noget større vanskeligheder til flere dimensioner, f.eks. affin eller euklidisk geometri. Det er ikke overraskende, at anvendelsen af øvre og nedre mål har været mest anvendt til tilnærmelsesvis måling af subjektiv sandsynlighed. En omfattende gennemgang og analyse gives af Walley . Mit eget tidligere bidrag, Suppes , anvender øvre og nedre sandsynligheder, men med ikke-overskridende uadskillelighed.

Fokus her har været på tilnærmet måling, men en meget anderledes teori om øvre og nedre sandsynligheder kan udledes af en direkte mængde-teoretisk generalisering fra tilfældige variabler som tilfældige funktioner til tilfældige relationer. En indikation af den teoretiske forskel er, at de øvre og nedre foranstaltninger, der er afledt af tilfældige relationer af Suppes og Zanotti, er kapaciteter af uendelig orden i Choquet’s forstand . I modsætning hertil er de øvre og nedre mål, der her betragtes til tilnærmelsesvis måling, ikke engang kapaciteter af orden to. Det er klart, at den betydning af tilnærmelse, der er indført her og i Suppes, på ingen måde er den eneste mulighed.