Månens bevægelseRediger
Hipparchus studerede også Månens bevægelse og bekræftede de nøjagtige værdier for to perioder af dens bevægelse, som de kaldæiske astronomer i vid udstrækning formodes at have været i besiddelse af før ham, uanset deres endelige oprindelse. Den traditionelle værdi (fra det babyloniske system B) for den gennemsnitlige synodiske måned er 29 dage; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29,5305941… dage. Udtrykt som 29 dage + 12 timer + 793/1080 timer er denne værdi senere blevet brugt i den hebraiske kalender. Kaldæerne vidste også, at 251 synodiske måneder ≈ 269 anomalistiske måneder. Hipparchus brugte et multiplum af denne periode med en faktor 17, fordi dette interval også er en formørkelsesperiode og også er tæt på et helt antal år (4267 måner : 4573 anomalistiske perioder : 4630,53 knudeperioder : 4611,98 månebaner : 344,996 år : 344,982 solbaner : 126.007,003 dage : 126.351,985 omdrejninger). Det, der var så usædvanligt og nyttigt ved cyklussen, var, at alle formørkelsespar med et interval på 345 år forekommer med lidt over 126.007 dages mellemrum inden for et snævert interval på kun ca. ±1⁄2 time, hvilket garanterer (efter division med 4267) et skøn over den synodiske måned, der er korrekt med en del i størrelsesordenen 10 millioner. Den 345-årige periodicitet er grunden til, at de gamle kunne forestille sig en gennemsnitlig måned og kvantificere den så præcist, at den selv i dag er korrekt med en brøkdel af et sekund af tiden.
Hipparchus kunne bekræfte sine beregninger ved at sammenligne formørkelser fra hans egen tid (formentlig 27. januar 141 f.Kr. og 26. november 139 f.Kr. ifølge ), med formørkelser fra babyloniske optegnelser 345 år tidligere (Almagest IV.2; ). Allerede al-Biruni (Qanun VII.2.II) og Kopernikus (de revolutionibus IV.4) bemærkede, at perioden på 4.267 måner faktisk er ca. 5 minutter længere end den værdi for formørkelsesperioden, som Ptolemæus tilskriver Hipparchos. Babyloniernes tidsbestemmelsesmetoder havde imidlertid en fejl på ikke mindre end 8 minutter. Moderne forskere er enige om, at Hipparchus afrundede formørkelsesperioden til nærmeste time og brugte den til at bekræfte gyldigheden af de traditionelle værdier, snarere end at forsøge at udlede en forbedret værdi ud fra sine egne observationer. Ud fra moderne efemerider og under hensyntagen til ændringen i dagens længde (se ΔT) anslår vi, at fejlen i den antagne længde af den synodiske måned var mindre end 0,2 sekunder i det 4. århundrede f.Kr. og mindre end 0,1 sekund på Hipparchos’ tid.
Månens baneRediger
Det havde længe været kendt, at månens bevægelse ikke er ensartet: dens hastighed varierer. Dette kaldes dens anomali, og det gentager sig med sin egen periode; den anomalistiske måned. Kaldæerne tog højde for dette på aritmetisk vis og brugte en tabel, der angav Månens daglige bevægelse i henhold til datoen inden for en lang periode. Grækerne foretrak imidlertid at tænke i geometriske modeller af himlen. Apollonius af Perga havde i slutningen af det 3. århundrede f.Kr. foreslået to modeller for månens og planeternes bevægelse:
- I den første ville månen bevæge sig ensartet langs en cirkel, men Jorden ville være excentrisk, dvs. i en vis afstand fra cirklens centrum. Så Månens tilsyneladende vinkelhastighed (og dens afstand) ville variere.
- Månen selv ville bevæge sig ensartet (med en vis middelbevægelse i anomali) på en sekundær cirkulær bane, kaldet en epicykel, der selv ville bevæge sig ensartet (med en vis middelbevægelse i længdegrad) over den primære cirkulære bane omkring Jorden, kaldet deferent; se deferent og epicykel. Apollonius viste, at disse to modeller rent faktisk var matematisk ækvivalente. Alt dette var imidlertid teori og var ikke blevet omsat til praksis. Hipparchos var den første astronom, vi kender, der forsøgte at bestemme de relative proportioner og de faktiske størrelser af disse baner.
Hipparchos udtænkte en geometrisk metode til at finde parametrene ud fra tre positioner af Månen, i bestemte faser af dens anomali. Faktisk gjorde han dette separat for den excentriske og den epicykliske model. Ptolemæus beskriver de nærmere detaljer i Almagest IV.11. Hipparchus brugte to sæt af tre måneformørkelsesobservationer, som han nøje udvalgte for at opfylde kravene. Den excentriske model tilpassede han til disse formørkelser fra sin babylonske formørkelsesliste: 22/23 december 383 f.Kr., 18/19 juni 382 f.Kr. og 12/13 december 382 f.Kr. Den epicykliske model tilpassede han til måneformørkelsesobservationer foretaget i Alexandria den 22. september 201 f.Kr., 19. marts 200 f.Kr. og 11. september 200 f.Kr..
- For den excentriske model fandt Hipparchos for forholdet mellem radius af excentret og afstanden mellem excentrets centrum og centrum af ekliptika (dvs, observatøren på Jorden): 3144 : 327 2⁄3 ;
- og for den epicykliske model, forholdet mellem deferentens radius og epicyklens radius: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
De lidt mærkelige tal skyldes den besværlige enhed, han brugte i sin akkordtabel ifølge en gruppe historikere, som forklarer deres rekonstruktions manglende evne til at stemme overens med disse fire tal som delvis skyldes nogle sjuskede afrundings- og regnefejl hos Hipparchos, som Ptolemæus kritiserede ham for (han lavede selv også afrundingsfejl). En mere simpel alternativ rekonstruktion stemmer overens med alle fire tal. Under alle omstændigheder fandt Hipparchus inkonsistente resultater; han brugte senere epicykelmodellens forhold (3122 1⁄2 : 247 1⁄2 : 247 1⁄2), som er for lille (60 : 4;45 sexagesimalt). Ptolemæus fastsatte et forhold på 60 : 5 1⁄4. (Den maksimale vinkelafvigelse, der kan produceres med denne geometri, er arcsin af 5 1⁄4 divideret med 60, eller ca. 5° 1′, et tal, der derfor undertiden citeres som ækvivalent til Månens centrumsligning i den hipparkæiske model.)
Solens tilsyneladende bevægelseRediger
Hvor Hipparchos, Meton, Euctemon og deres elever i Athen havde foretaget en solhvervsobservation (dvs, timet tidspunktet for sommersolhverv) den 27. juni 432 f.Kr. (proleptisk juliansk kalender). Aristarchos af Samos siges at have gjort det i 280 f.Kr., og Hipparchos fik også en observation af Archimedes. Som det fremgår af en artikel fra 1991, beregnede Hipparchus i 158 f.Kr. et meget fejlagtigt sommersolhverv ud fra Callippus’ kalender. Han observerede sommersolhverv i 146 og 135 f.Kr. begge med en nøjagtighed på få timer, men observationer af jævndøgnets tidspunkt var mere enkle, og han lavede tyve i løbet af sin levetid. Ptolemæus giver en omfattende diskussion af Hipparchos’ arbejde om årets længde i Almagest III.1 og citerer mange observationer, som Hipparchos gjorde eller brugte, og som strækker sig fra 162-128 f.Kr. En analyse af Hipparchos’ sytten jævndøgnsobservationer foretaget på Rhodos viser, at den gennemsnitlige fejl i deklinationen er positiv syv bueminutter, hvilket næsten stemmer overens med summen af luftbrydning og Swerdlow’s parallakse. Den tilfældige støj er to bueminutter eller næsten en bueminut, hvis man tager hensyn til afrunding, hvilket omtrent stemmer overens med øjets skarphed. Ptolemæus citerer en jævndøgnstidspunkt af Hipparchus (den 24. marts 146 f.Kr. ved daggry), som adskiller sig med 5 timer fra den observation, der blev foretaget på Alexandrias store offentlige ækvatorring samme dag (1 time før middag): Hipparchus kan have besøgt Alexandria, men han foretog ikke sine jævndøgnsobservationer der; formodentlig var han på Rhodos (på næsten samme geografiske længdegrad). Ptolemæus hævder, at hans solobservationer var på et transitinstrument indstillet i meridianen.
En nyere ekspertoversættelse og analyse af Anne Tihon af papyrus P. Fouad 267 A har bekræftet det ovenfor citerede resultat fra 1991, at Hipparchus fik et sommersolhverv i 158 f.Kr. Men papyrussen angiver datoen 26. juni, over en dag tidligere end konklusionen i 1991-artiklen om 28. juni. Den tidligere undersøgelses §M fandt, at Hipparchus ikke vedtog solhverv den 26. juni før 146 f.Kr., da han grundlagde solens bane, som Ptolemæus senere vedtog. En sammenkobling af disse data tyder på, at Hipparchus ekstrapolerede solhvervssolhvervet den 26. juni 158 f.Kr. fra hans 145 solhverv 12 år senere, en procedure, der kun ville forårsage en minimal fejl. Papyrussen bekræftede også, at Hipparchus havde brugt den callippiske solbevægelse i 158 f.Kr., et nyt fund i 1991, men ikke direkte attesteret før P. Fouad 267 A. En anden tabel på papyrussen er måske for den sidereale bevægelse og en tredje tabel er for den metoniske tropiske bevægelse, der bruger et tidligere ukendt år på 365 1⁄4 – 1⁄309 dage. Dette blev formentlig fundet ved at dele de 274 år fra 432 til 158 f.Kr. i det tilsvarende interval på 100077 dage og 14 3⁄4 timer mellem Metons solopgang og Hipparchos’ solnedgangssolhverv.
I slutningen af sin karriere skrev Hipparchos en bog kaldet Peri eniausíou megéthous (“Om årets længde”) om sine resultater. Den etablerede værdi for det tropiske år, indført af Callippus i eller før 330 f.Kr. var 365 1⁄4 dage. At spekulere i en babylonisk oprindelse for det callippiske år er svært at forsvare, da Babylon ikke observerede solhverv, og derfor var den eneste bevarede årslængde i System B baseret på græske solhverv (se nedenfor). Hipparchos’ jævndøgnsobservationer gav varierende resultater, men han påpeger selv (citeret i Almagest III.1(H195)), at observationsfejlene hos ham selv og hans forgængere kan have været så store som 1⁄4 dag. Han brugte gamle solskifteobservationer og konstaterede en forskel på ca. én dag på ca. 300 år. Så han fastsatte længden af det tropiske år til 365 1⁄4 – 1⁄300 dage (= 365,24666… dage = 365 dage 5 timer 55 min, hvilket afviger fra den faktiske værdi (moderne skøn, inklusive jordens drejeacceleration) i hans tid på ca. 365,2425 dage, en fejl på ca. 6 min pr. år, en time pr. årti, 10 timer pr. århundrede.
Mellem Metons solhvervsobservation og hans egen var der 297 år, der strakte sig over 108.478 dage. D. Rawlins bemærkede, at dette indebærer et tropisk år på 365,24579… dage = 365 dage;14,44,51 (sexagesimalt; = 365 dage + 14/60 + 44/602 + 51/603), og at denne nøjagtige årslængde er fundet på en af de få babyloniske lertavler, som udtrykkeligt angiver System B-måneden. Dette er et tegn på, at Hipparchos’ værk var kendt af kaldæerne.
En anden værdi for året, der tilskrives Hipparchos (af astrologen Vettius Valens i det 1. århundrede) er 365 + 1/4 + 1/288 dage (= 365,25347… dage = 365 dage 6 timer 5 min), men dette kan være en forvanskning af en anden værdi, der tilskrives en babylonisk kilde: 365 + 1/4 + 1/144 dage (= 365,25694… dage = 365 dage 6 timer 10 min). Det er ikke klart, om dette ville være en værdi for det sideriske år (faktisk værdi på hans tid (moderne skøn) omkring 365,2565 dage), men forskellen med Hipparchus’ værdi for det tropiske år er i overensstemmelse med hans præcessionsrate (se nedenfor).
Solens baneRediger
For Hipparchus vidste astronomerne, at årstidernes længder ikke er lige lange. Hipparchus foretog observationer af jævndøgn og solhverv, og ifølge Ptolemæus (Almagest III.4) fastslog han, at foråret (fra forårsjævndøgn til sommersolhverv) varede 94½ dag, og sommeren (fra sommersolhverv til efterårsjævndøgn) 92 1⁄2 dag. Dette er uforeneligt med en forudsætning om, at Solen bevæger sig rundt om Jorden i en cirkel med ensartet hastighed. Hipparchos’ løsning var at placere Jorden ikke i centrum af Solens bevægelse, men i en vis afstand fra centrum. Denne model beskrev Solens tilsyneladende bevægelse ret godt. I dag ved man, at planeterne, herunder Jorden, bevæger sig i omtrentlige ellipser omkring Solen, men dette blev først opdaget, da Johannes Kepler offentliggjorde sine to første love for planeternes bevægelse i 1609. Den værdi for excentriciteten, som Ptolemæus tilskriver Hipparchus, er, at forskydningen er 1⁄24 af banens radius (hvilket er lidt for stort), og at apogeumets retning ville ligge på 65,5° længdegrad fra forårsjævndøgnet. Hipparchus kan også have brugt andre sæt observationer, hvilket ville føre til andre værdier. En af hans to formørkelsestrios sollængder er i overensstemmelse med, at han oprindeligt havde vedtaget upræcise længder for forår og sommer på 95 3⁄4 og 91 1⁄4 dage. Hans anden triplet af solpositioner stemmer overens med 94 1⁄4 og 92 1⁄2 dage, hvilket er en forbedring af de resultater (94 1⁄2 og 92 1⁄2 dage), som Ptolemæus tilskrev Hipparchus, og som nogle få forskere stadig sætter spørgsmålstegn ved forfatterskabet til. Ptolemæus foretog ingen ændringer tre århundreder senere, og udtrykte længder for efterårs- og vintersæsonen, som allerede var implicitte (som vist, f.eks. af A. Aaboe).
Afstand, parallakse, størrelse af Månen og SolenRediger
Hipparchos påtog sig også at finde afstandene og størrelserne af Solen og Månen. Hans resultater optræder i to værker: Perí megethōn kaí apostēmátōn (“Om størrelser og afstande”) af Pappus og i Pappus’ kommentar til Almagest V.11; Theon af Smyrna (2. århundrede) nævner værket med tilføjelsen “of the Sun and Moon”.
Hipparchus målte solens og månens tilsyneladende diametre med sin diopter. Ligesom andre før og efter ham fandt han, at Månens størrelse varierer, når den bevæger sig på sin (excentriske) bane, men han fandt ingen mærkbar variation i Solens tilsyneladende diameter. Han fandt ud af, at ved den gennemsnitlige afstand til Månen havde Solen og Månen den samme tilsyneladende diameter; ved denne afstand passer Månens diameter 650 gange ind i cirklen, dvs, den gennemsnitlige tilsyneladende diameter er 360⁄650 = 0°33′14″.
Som andre før og efter ham bemærkede han også, at Månen har en mærkbar parallakse, dvs. at den fremstår forskudt fra sin beregnede position (i forhold til Solen eller stjernerne), og forskellen er større, når den er tættere på horisonten. Han vidste, at dette skyldes, at Månen i de dengang gældende modeller kredser om Jordens centrum, men at observatøren befinder sig på overfladen – Månen, Jorden og observatøren danner en trekant med en skarp vinkel, der ændrer sig hele tiden. Ud fra størrelsen af denne parallakse kan Månens afstand, målt i jordradius, bestemmes. For Solen var der imidlertid ingen observerbar parallakse (vi ved nu, at den er ca. 8,8″, hvilket er flere gange mindre end opløsningen for det blotte øje).
I den første bog antager Hipparchus, at Solens parallakse er 0, som om den er i uendelig afstand. Derefter analyserer han en solformørkelse, som Toomer (mod over et århundredes astronomers mening) antager at være formørkelsen af 14. marts 190 f.Kr. Den var total i området omkring Hellespont (og i hans fødeby, Nikæa); på det tidspunkt Toomer foreslår, at romerne forberedte sig på krig mod Antiochus III i området, og formørkelsen nævnes af Livius i hans Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Den blev også observeret i Alexandria, hvor det blev rapporteret, at solen blev skjult 4/5 af månen. Alexandria og Nicaea ligger på samme meridian. Alexandria ligger på ca. 31° nord, og området omkring Hellespont ca. 40° nord. (Det er blevet hævdet, at forfattere som Strabo og Ptolemæus havde ret anstændige værdier for disse geografiske positioner, så Hipparchus må også have kendt dem. Strabos Hipparchus-afhængige breddegrader for denne region er imidlertid mindst 1° for høje, og Ptolemæus synes at kopiere dem, idet han placerer Byzans 2° højt i breddegrad). Hipparchus kunne tegne en trekant dannet af de to steder og månen, og ud fra simpel geometri var han i stand til at fastslå månens afstand, udtrykt i jordradius. Da formørkelsen fandt sted om morgenen, befandt månen sig ikke i meridianen, og det er blevet foreslået, at den afstand, som Hipparchus fandt, derfor var en nedre grænse. Under alle omstændigheder fandt Hipparchus ifølge Pappus, at den mindste afstand er 71 (fra denne formørkelse), og den største 81 jordradier.
I den anden bog tager Hipparchus udgangspunkt i den modsatte ekstreme antagelse: han tildeler Solen en (mindste) afstand på 490 jordradier. Dette ville svare til en parallakse på 7′, hvilket tilsyneladende er den største parallakse, som Hipparchus mente ikke ville blive bemærket (til sammenligning: det menneskelige øjes typiske opløsning er ca. 2′; Tycho Brahe foretog observationer med det blotte øje med en nøjagtighed på ned til 1′). I dette tilfælde er Jordens skygge en kegle i stedet for en cylinder som under den første antagelse. Hipparchus observerede (ved måneformørkelser), at ved den gennemsnitlige afstand til Månen er diameteren af skyggekeglen 2 1⁄2 månediameter. Denne tilsyneladende diameter er, som han havde observeret, 360⁄650 grader. Med disse værdier og simpel geometri kunne Hipparchus bestemme middelafstanden; da den blev beregnet for en minimumsafstand til Solen, er det den maksimale middelafstand, der er mulig for Månen. Med sin værdi for banens excentricitet kunne han også beregne den mindste og største afstand for Månen. Ifølge Pappus fandt han en mindste afstand på 62, en middelafstand på 67 1⁄3, og følgelig en største afstand på 72 2⁄3 jordradius. Med denne metode er minimumsgrænsen for den gennemsnitlige afstand 59 jordradier, når Solens parallakse mindskes (dvs. dens afstand øges) – præcis den gennemsnitlige afstand, som Ptolemæus senere udledte.
Hipparchus havde således det problematiske resultat, at hans mindste afstand (fra bog 1) var større end hans største gennemsnitlige afstand (fra bog 2). Han var intellektuelt ærlig over for denne uoverensstemmelse og var sandsynligvis klar over, at især den første metode er meget følsom over for nøjagtigheden af observationerne og parametrene. (Faktisk viser moderne beregninger, at størrelsen af solformørkelsen i 189 f.Kr. i Alexandria må have været tættere på 9⁄10-dele og ikke de rapporterede 4⁄5-dele, en brøkdel, der passer bedre til graden af totalitet i Alexandria af formørkelser i 310 og 129 f.Kr. som også var næsten totale i Hellespont, og som af mange anses for at være mere sandsynlige muligheder for den formørkelse, som Hipparchus brugte til sine beregninger.)
Ptolemæus målte senere måle måneparallaksen direkte (Almagest V.13), og brugte Hipparchos’ anden metode med måneformørkelser til at beregne Solens afstand (Almagest V.15). Han kritiserer Hipparchus for at gøre modstridende antagelser og opnå modstridende resultater (Almagest V.11): men tilsyneladende forstod han ikke Hipparchus’ strategi, der gik ud på at opstille grænser, der var i overensstemmelse med observationerne, snarere end at fastsætte en enkelt værdi for afstanden. Hans resultater var de bedste hidtil: Månens faktiske gennemsnitlige afstand er 60,3 jordradius, inden for hans grænser fra Hipparchos’ anden bog.
Theon af Smyrna skrev, at ifølge Hipparchos er Solen 1.880 gange så stor som Jorden, og Jorden syvogtyve gange så stor som Månen; tilsyneladende refererer dette til rumfang, ikke til diametre. Af geometrien i bog 2 følger det, at Solen befinder sig i 2.550 jordradius, og at Månens gennemsnitlige afstand er 60 1⁄2 radius. På samme måde citerer Kleomedes Hipparchus for størrelsen af Solen og Jorden som 1050:1; dette fører til en middelafstand til Månen på 61 radius. Tilsyneladende har Hipparchus senere forfinet sine beregninger og udledt nøjagtige enkeltværdier, som han kunne bruge til forudsigelser af solformørkelser.
Se for en mere detaljeret diskussion.
FormørkelserRediger
Pliny (Naturalis Historia II.X) fortæller os, at Hipparchus påviste, at måneformørkelser kan forekomme med fem måneders mellemrum og solformørkelser med syv måneders mellemrum (i stedet for de sædvanlige seks måneder); og at solen kan være skjult to gange på tredive dage, men som den ses af forskellige nationer. Ptolemæus diskuterede dette et århundrede senere udførligt i Almagest VI.6. Geometrien og grænserne for Solens og Månens positioner, når en sol- eller måneformørkelse er mulig, er forklaret i Almagest VI.5. Hipparchus har tilsyneladende foretaget lignende beregninger. Resultatet, at to solformørkelser kan forekomme med en måneds mellemrum, er vigtigt, fordi dette ikke kan baseres på observationer: den ene er synlig på den nordlige og den anden på den sydlige halvkugle – som Plinius angiver – og sidstnævnte var utilgængelig for grækerne.
Forudsigelse af en solformørkelse, dvs. præcis hvornår og hvor den vil være synlig, kræver en solid måneteori og en ordentlig behandling af måneparallaksen. Hipparchos må have været den første, der var i stand til at gøre dette. En grundig behandling kræver sfærisk trigonometri, og derfor må de, der fortsat er sikre på, at Hipparchus ikke havde en sådan, spekulere i, at han måske har nøjedes med plane tilnærmelser. Han kan have diskuteret disse ting i Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (“On the monthly motion of the Moon in latitude”), et værk nævnt i Suda.
Pliny bemærker også, at “han opdagede også af hvilken præcis grund, selv om den skygge, der forårsager formørkelsen, fra solopgang og fremefter skal være under jorden, skete det en gang i fortiden, at månen blev formørket i vest, mens begge luminarier var synlige over jorden” (oversættelse H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) argumenterede, at dette må henvise til den store totale måneformørkelse den 26. november 139 f.Kr., hvor månen over en ren havhorisont set fra Rhodos blev formørket i nordvest, lige efter at solen var stået op i sydøst. Dette ville være den anden formørkelse i det 345-årige interval, som Hipparchus brugte til at verificere de traditionelle babyloniske perioder: dette sætter en sen dato for udviklingen af Hipparchus’ måneteori. Vi ved ikke, hvilken “nøjagtig grund” Hipparchus fandt til at se månen formørket, mens den tilsyneladende ikke var i nøjagtig opposition til solen. Parallakse sænker højden af lysende væsener; refraktion hæver dem, og fra et højt synspunkt er horisonten sænket.