Modellen finder de værdier for Ts og Ta, der gør det muligt for den udgående strålingseffekt, der undslipper toppen af atmosfæren, at være lig med den absorberede strålingseffekt fra sollyset. Når den anvendes på en planet som Jorden, vil den udgående stråling være langbølget, og sollyset vil være kortbølget. Disse to strålingsstrømme vil have forskellige emissions- og absorptionsegenskaber. I den idealiserede model antager vi, at atmosfæren er fuldstændig gennemsigtig for sollys. Den planetariske albedo αP er den del af den indkommende solstråling, der reflekteres tilbage til rummet (da atmosfæren antages at være fuldstændig gennemsigtig for solstråling, er det ligegyldigt, om denne albedo antages at være forårsaget af refleksion på planetens overflade eller i toppen af atmosfæren eller en blanding). Den indkommende solstrålings fluxdensitet er angivet ved solkonstanten S0. For anvendelse på planeten Jorden er de passende værdier S0=1366 W m-2 og αP=0,30. Når der tages hensyn til, at en kugles overfladeareal er 4 gange arealet af dens skæringspunkt (dens skygge), er den gennemsnitlige indkommende stråling S0/4.
For langbølgestråling antages jordens overflade at have en emissivitet på 1 (dvs. at jorden er et sort legeme i det infrarøde område, hvilket er realistisk). Overfladen udsender en strålingsfluxtæthed F i henhold til Stefan-Boltzmann-loven:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}}
hvor σ er Stefan-Boltzmann-konstanten. En nøgle til at forstå drivhuseffekten er Kirchhoff’s lov om varmestråling. Ved enhver given bølgelængde vil atmosfærens absorptivitet være lig med emissiviteten. Stråling fra overfladen kan ligge i en lidt anden del af det infrarøde spektrum end den stråling, der udsendes af atmosfæren. I modellen antages det, at den gennemsnitlige emissivitet (absorptivitet) er identisk for begge disse stråler af infrarød stråling, når de interagerer med atmosfæren. For langbølgestråling betegner ét symbol ε således både atmosfærens emissivitet og absorptivitet for en hvilken som helst strøm af infrarød stråling.
Den infrarøde fluxtæthed ud af toppen af atmosfæren:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}}
I det sidste udtryk repræsenterer ε den del af den opadgående langbølgestråling fra overfladen, der absorberes, dvs. atmosfærens absorptivitet. I den første term til højre er ε atmosfærens emissivitet, tilpasningen af Stefan-Boltzmann-loven for at tage højde for, at atmosfæren ikke er optisk tyk. ε spiller således den rolle at blande eller midle de to strålingsstrømme i beregningen af den udadgående flodtæthed.
Nul nettostråling, der forlader toppen af atmosfæren, kræver:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alpha _{p}})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}=0}
Nul nettostråling, der kommer ind i overfladen, kræver:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4}}}}S_{0}}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
Energibalance i atmosfæren kan enten udledes af de to ovenstående ligevægtsbetingelser eller udledes uafhængigt af hinanden:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Bemærk den vigtige faktor 2, som skyldes, at atmosfæren stråler både opad og nedad, således at forholdet mellem Ta og Ts er uafhængigt af ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}}={T_{s} \over 1.189}}}
Dermed kan Ta udtrykkes i termer af Ts, og der fås en løsning forTs i termer af modellens inputparametre:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4}}}}S_{0}(1-\alpha _{p}})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}}\right)\sigma T_{s}^{4}}}
eller
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}}
Løsningen kan også udtrykkes i form af den effektive emissionstemperatur Te, som er den temperatur, der karakteriserer den udgående infrarøde fluxtæthed F, som om radiatoren var en perfekt radiator, der adlyder F=σTe4. Dette er let at begribe i forbindelse med modellen. Te er også løsningen for Ts i tilfældet ε=0, dvs. ingen atmosfære:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
Med definitionen af Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}
For et perfekt drivhus, hvor ingen stråling undslipper fra overfladen, eller ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
Hvis man anvender de parametre, der er defineret ovenfor som passende for Jorden,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
For ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
For ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Denne værdi af Ts ligger tilfældigvis tæt på den offentliggjorte 287,2 K for den gennemsnitlige globale “overfladetemperatur” baseret på målinger. ε=0,78 indebærer, at 22% af overfladestrålingen undslipper direkte til rummet, hvilket er i overensstemmelse med udsagnet om, at 15% til 30% undslipper i drivhuseffekten.
Den strålingsforcerende kraft for en fordobling af kuldioxid er 3,71 W m-2 i en simpel parameterisering. Det er også den værdi, som IPCC har tilsluttet sig. Ud fra ligningen for F {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\right)}
Ved anvendelse af værdierne for Ts og Ta for ε=0,78 kan Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 med Δε=.019. En ændring af ε fra 0,78 til 0,80 er således i overensstemmelse med den strålingsforcing fra en fordobling af kuldioxid. For ε=0,80 er T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Dermed forudsiger denne model en global opvarmning på ΔTs = 1,2 K for en fordobling af kuldioxid. En typisk forudsigelse fra en GCM er 3 K overfladeopvarmning, primært fordi GCM’en tillader positiv feedback, især fra øget vanddamp. Et simpelt surrogat for at medtage denne feedbackproces er at antage en yderligere stigning på Δε=.02, i alt Δε=.04, for at tilnærme sig virkningen af den stigning i vanddamp, der ville være forbundet med en temperaturstigning. Denne idealiserede model forudsiger derefter en global opvarmning på ΔTs = 2,4 K for en fordobling af kuldioxid, hvilket er nogenlunde i overensstemmelse med IPCC.