Joseph-Louis Lagrange er en gigant i matematikkens historie. Han har ydet store bidrag til udviklingen af fysik, himmellegemekanik, regning, algebra, talteori og gruppeteori. Han var stort set autodidakt og opnåede ikke en universitetsgrad.
Fascineret af funktionsmaksima og -minima var Lagrange den vigtigste grundlægger af variationsberegningen.
I en vidtrækkende omformulering af Isaac Newtons love skabte Lagrange en genial ny vision af mekanikken. Han gjorde dette ved hjælp af variationskalkulen for at afsløre de brede implikationer af et enkelt fysisk princip, det virtuelle arbejde. Et resultat heraf var den lagrangeanske funktion, der er uundværlig i avanceret fysik, og som beregnes ved at trække potentiel energi fra kinetisk energi.
Lagranges vision var udelukkende baseret på algebra og regning. Han mente, at dette var mere matematisk stringent end intuitive ideer genereret af geometri. Han vurderede, at hans metoder placerede mekanikken inden for den rene matematiks område.
I himmellegemekanikken opdagede Lagrange de lagrangeanske punkter, der er elsket af både science fiction-forfattere og planlæggere af rumobservatorier og -stationer.
Lagrange gav os den velkendte notation f′(x) til at repræsentere en funktions afledte, f′′′(x) en anden afledte osv., og det var faktisk ham, der gav os ordet afledte.
Resultater og nøglepunkter
Joseph-Louis Lagrange var en produktiv, autodidakt matematiker og fysiker. Nogle af hans vigtigste resultater er:
Lagrange:
- Byggede på Leonhard Eulers tidligere arbejde for at skabe variationskalkulen – han kaldte den sin ‘variationsmetode’.’
- Indførte ∂-notationen og skabte de første partielle differentialligninger.
- Gav den mest generaliserede redegørelse for princippet om mindste virkning i hans tid.
- Skabte et helt nyt område inden for mekanikken, lagrangsk mekanik, for både faste stoffer og væsker, baseret på begrebet virtuelt arbejde og ved hjælp af den lagrangske funktion.
- Indførte begrebet generaliserede koordinater. Lagrangsk mekanik kan anvendes i ethvert koordinatsystem – problemerne forenkles ved at vælge et passende system.
- Skabte begrebet potentiale: Gravitationsfeltet er f.eks. et potentialefelt.
- Offentliggjorde Lagrangske baner.
- Løste århundredgamle problemer i talteori, som Fermat havde stillet, og som havde besejret andre matematikere.
- Var en af grundlæggerne af gruppeteori.
- Spillede en nøglerolle i skabelsen af det metriske system af vægte og mål.
Begyndelser
Joseph-Louis Lagrange blev født ind i en velhavende familie (hans gudforældre var aristokrater) i den italienske by Torino i Piemonte den 25. januar 1736.
Hans navn ved fødslen var Giuseppe Lodovico Lagrangia. Den franske form af hans navn bruges normalt, fordi han skrev mange af sine artikler på fransk og i den sidste del af sit liv bosatte sig i Paris.
Som teenager i Italien begyndte Joseph at kalde sig Lagrange. Han havde franske forfædre på begge sider af sin familie, hvilket han synes at have været stolt af, selv om han altid betragtede sig selv som piemonteser snarere end franskmand. Efter mange år i Paris beholdt han sin stærke italienske accent.
Joseph blev opkaldt efter sin far, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, kongens kasserer, der var ansvarlig for Torins befæstninger og infrastruktur. Josefs mor var Maria Teresa Grosso, datter af en fremtrædende læge. Josef var den ældste af deres 11 børn, hvoraf kun to overlevede barndommen.
Uddannelse
I 1750, som 14-årig, blev Josef student ved universitetet i Torino. Han var kedet af Euklids og Arkimedes’ geometri og havde ingen interesse i at studere matematik.
Han planlagde at følge i sin fars fodspor og studere jura. Hans far var imidlertid kommet i økonomiske problemer ved at spekulere uforsigtigt.
Josephs interesse for matematik blev vakt, da han læste en afhandling skrevet i det foregående århundrede af Edmund Halley, hvor Halley brugte algebraiske ligninger til at beskrive linsers optiske ydeevne. I modsætning til geometri var der noget ved Halleys algebra, der fængslede ham.
Han fjernede sig fra juraen og begyndte at deltage i matematik- og fysikforelæsninger. Selv om han nød disse, var det optagelsen af banebrydende bøger af matematikere som Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin og Jean d’Alembert, der katapulterede ham fremad med en næsten mirakuløs hastighed.
Lagrange sov ikke meget. Han fik den livslange vane at holde sig vågen i lange arbejdstimer ved hjælp af te og kaffe.
Lagranges begreb om matematik
René Descartes og Pierre de Fermat havde vist, at geometri og algebra er indbyrdes udskiftelige. Sammenhængen havde længe været mistænkt. I det ellevte århundrede havde Omar Khayyam skrevet:
“Den, der tror, at algebra er et trick til at opnå ukendte størrelser, har tænkt det forgæves. Man skal ikke være opmærksom på, at algebra og geometri er forskellige i udseende. Algebraer er geometriske kendsgerninger, som er bevist ved sætning 5 og 6 i bog 2 i Euklids Elementer.”
Isaac Newton havde udarbejdet sit berømte system af verden i Principia, der byggede på geometriske ideer.
Lagrange fik i stigende grad den opfattelse, at yderligere fremskridt inden for mekanikken ville blive hæmmet af geometrien. Han foretrak analyse – en helt algebraisk tilgang til beregning.
“De store mestre i moderne analyse er Lagrange, Laplace og Gauss, som var samtidige … Lagrange er perfekt både i form og stof, han er omhyggelig med at forklare sin fremgangsmåde, og selv om hans argumenter er generelle, er de lette at følge. Laplace på den anden side forklarer intet … Gauss er lige så præcis og elegant som Lagrange, men endnu vanskeligere at følge end Laplace …”
Novice Mathematician
I 1754, i en alder af 18 år, udgav Joseph Lagrange sit første matematiske værk: Brev til Giulio Carlo da Fagnano. Heri beskrev han sin opdagelse af, at binomialudvidelsen og formlen for differentialet af et produkt har identiske koefficienter.
Dette var ikke et nyt resultat, selv om han først troede, at det var det.
Lagranges levetid i kontekst
Joseph Lagranges levetid og relaterede matematikeres levetid.
Joseph-Louis Lagranges værker
Variationsregning
I august 1755, som 19-årig, sendte Lagrange et papir til verdens største nulevende matematiker, Leonhard Euler. Han beskrev sin nye metode til at finde funktionsmaksima og -minima, et genialt spring fremad inden for beregning. I september 1755 skrev Euler tilbage og udtrykte sin store beundring for Lagranges arbejde.
Et par dage senere blev Lagrange tilbudt og accepterede et job som assisterende professor i matematik på en artilleriskole i Torino – det kongelige militærakademi. Han forlod universitetet i Torino uden eksamen og begyndte at undervise i beregning & mekanik. Hans elever var alle ældre end ham selv, og han var ikke den bedste lærer – han var ret sky, og hans forelæsninger var for avancerede for sine elever.
En efterfølgende korrespondance mellem Lagrange og Euler førte til en ny gren af matematikken – variationsregning.
Euler var så overvældet af vigtigheden af Lagranges arbejde, at han foreslog, at den unge mand fra Torino blev valgt som udenlandsk medlem af Berlins akademi. Lagrange blev behørigt valgt den 2. september 1756, da han var 20 år gammel.
Lagrange har altid ment, at grundlæggelsen af variationsberegningen var hans største arbejde. Det etablerede ham, mens han stadig var teenager, som en af de største matematikere i det attende århundrede.
Hilbert og variationsregning
David Hilbert
I 1900, 145 år efter Lagrange skabte variationsregningen, var den stadig et af de vigtigste områder i matematikken. Da David Hilbert stillede sine berømte 23 problemer til verdens matematikere, vedrørte tre af dem variationskalkulen:
- Problem 19: Er løsningerne af regelmæssige problemer i variationskalkulen altid nødvendigvis analytiske? Dette problem blev løst af Ennio de Giorgi og John F. Nash. Svaret er ja.
- Problem 20: Har alle variationsproblemer med visse randbetingelser løsninger? Dette genererede en enorm mængde arbejde udført af et stort antal matematikere. Svaret er ja.
- Problem 23: Der er behov for en videreudvikling af variationsberegningen. Dette er et problem, der, som Hilbert erkendte, ikke har en endelig løsning. Han anså dog området for at være så afgørende for matematikkens fremtid, at han gerne gjorde det til sit sidste problem.
En vision
Lagrange havde store idéer. Som 20-årig havde han en vision om at forene hele mekanikken ved hjælp af et enkelt grundlæggende princip:
“Jeg vil udlede den komplette mekanik for faste og flydende legemer ved hjælp af princippet om mindste virkning.”
Lagrange nåede endelig sit mål i 1780’erne og beskrev sin succes i Analytisk mekanik i 1788. Det eneste samlende princip viste sig at være virtuelt arbejde snarere end mindste handling. Han brugte første gang virtuelt arbejde i 1763 i en artikel om månens libration.
Grundlæggelse af videnskabsakademiet i Torino
Lagrange blev træt af de indelukkede videnskabelige holdninger i Torino. I 1757 slog han sig sammen med to andre tidligere studerende for at danne det private selskab i Torino. Selskabets formål var at dyrke videnskabelig forskning på samme måde som de franske og berlinske videnskabsakademier.
I 1759 begyndte det nye selskab at udgive sit eget tidsskrift på fransk og latin: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Diverse om filosofi og matematik.
I 1783 blev selskabet med kongens støtte til det kongelige videnskabsakademi i Torino.
Lagrange begyndte at offentliggøre sine artikler i sit selskabs tidsskrift. I mange af dem anvendte han sin nye variationsberegning på den fysiske verden for at opdage nye resultater og kaste nyt lys over fænomener. Hans artikler fra denne periode optræder i tre historiske bind, der alle indeholder en række banebrydende artikler, herunder:
- The Theory of Sound Propagation, herunder den første komplette matematiske beskrivelse af en streng, der vibrerer som en tværgående bølge. Også den første anvendelse af differentialregning i sandsynlighedsteori.
- Theori og notation af variationsregning, løsninger på dynamikproblemer og udledning af princippet om mindste virkning.
- Løsninger på flere dynamikproblemer, den første anvendelse af den lagrangske funktion, generelle differentialligninger, der beskriver tre legemer, der tiltrækkes gensidigt af tyngdekraften, integration af differentialligninger og løsningen på et århundrede gammelt problem, som Pierre de Fermat havde stillet i talteori.
Tidal Locking & Libration af månen
I 1764 vandt Lagrange det franske videnskabsakademis pris for sin undersøgelse, der beskriver, hvorfor vi kun ser ét ansigt af månen, og hvorfor vi observerer libration. Libration er en tilsyneladende vuggen og gyngen af månen forårsaget af kredsløbseffekter, som gør det muligt for os at se mere af dens overflade, end vi kunne forvente. Som følge af månens libration kan vi, når vi observerer den over en periode, faktisk se ca. 59 % af dens overflade i stedet for de 50 %, som vi umiddelbart kunne forvente.
Lagranges prisbelønnede bidrag var også betydningsfuldt, fordi han for første gang anvendte princippet om virtuelt arbejde: Senere brugte han dette princip som grundlag for den lagrangeanske mekanik.
Jupiters måner
I 1766 vandt Lagrange igen det franske videnskabsakademis pris, denne gang for sin forklaring af Jupiters måners baner.
The Berlin Years: 1766-1786
I en alder af 30 år flyttede Lagrange til Berlin, hvor han afløste Euler som direktør for matematik ved det preussiske videnskabsakademi. Akademiet havde forsøgt at tiltrække ham, siden han var 19 år, men han havde afvist, fordi han følte, at han ville stå i Eulers skygge.
De 20 år, Lagrange tilbragte i Berlin, var hans mest produktive. Selv om han til tider måtte stoppe sit arbejde på grund af dårligt helbred, udgav han, når hans helbred var godt, originale, værdifulde artikler med en hastighed på omkring én om måneden. De fleste blev udgivet af Berlin-akademiet, mens andre udkom i yderligere to bind af Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Partielle differentialligninger
I 1770’erne og den første halvdel af 1780’erne var Lagranges produktion om differentialligninger enorm, hvilket resulterede i, at han skabte matematikken for partielle differentialligninger.
Partielle differentialligninger
Differentialligninger kan bruges til at beskrive forandringer i den virkelige verden. De beskriver forholdet mellem en fysisk størrelse, f.eks. hastighed, og dens ændringshastighed.
Ordinære differentialligninger beskriver en enkelt skiftende størrelse, f.eks. hastighed.
Et sandsynlighedstæthedsgraf for en elektron i et brintatoms 2p-elektronorbital. Plottet er konstrueret ud fra løsningen af Schrödinger-ligningen – en partiel differentialligning.
Lagrange skabte partielle differentialligninger til at beskrive mere komplicerede situationer, hvor mere end én størrelse ændrer sig – i matematisk jargon beskriver partielle differentialligninger en funktion af flere skiftende variable.
For eksempel er Schrödinger-ligningen en velkendt partiel differentialligning i kvantemekanikken, hvis løsning gør det muligt at udlede elektronbaner. Disse orbitaler beskriver det volumen, inden for hvilket vi forventer at finde en elektron i et atom.
Gruppeteori & Symmetri
Langranges sætning, der stammer fra 1771, går ud på, at en undergruppes orden altid skal dele gruppens orden nøjagtigt. Dette var et af de tidligste skridt i gruppeteorien.
Lagrangepunkter
I 1772 vendte Lagrange tilbage til et problem, der fascinerede ham – trekroppsproblemet i tyngdekraften. Hans afhandling om emnet, Essai sur le Problème des Trois Corps, førte til, at han igen vandt det franske videnskabsakademis pris.
Han betragtede en situation, hvor der er to objekter med relativt stor masse, såsom jorden og solen, der kredser om et fælles tyngdepunkt. Han beregnede gravitationspotentialet for denne type situation, som er opsummeret i konturkortet nedenfor.
Gravitationspotentialets konturkort for jord-sol-systemet, der viser de fem lagrangiske punkter: L1, L2, L3, L4, L5.
Hvor konturlinjerne er tæt på hinanden, er gravitationspotentialet højt. Tilsvarende hvor linjerne er længere fra hinanden, er gravitationspotentialet lavere.
Lagrange identificerede fem balancepunkter, de lagrangeanske punkter L1, L2, L3, L4 og L5. Genstande i disse punkter holder deres position i forhold til de to større masser. (Euler identificerede punkterne L1, L2 og L3 nogle få år tidligere i en mindre grundig analyse.)
I dag er NASA’s Solar and Heliospheric Observatory Satellite placeret i jord-sol L1-punktet, hvilket gør det muligt at se solen uden afbrydelser fra en stabil platform.
James Webb-rumteleskopet, efterfølgeren til Hubble-rumteleskopet, skal efter planen placeres ved jord-solens L2-punkt i 2020.
Lagranges mekanik
Lagrange færdiggjorde sit mesterværk, Analytisk mekanik, i Berlin i begyndelsen af 1780’erne. Der skulle gå flere år, før han fandt en udgiver.
“Jeg har næsten færdiggjort en bog om analytisk mekanik, der udelukkende er baseret på princippet . Men da jeg endnu ikke har nogen idé om, hvor og hvornår den kan blive udgivet, har jeg ikke travlt med at færdiggøre den.”
Lagrange var stolt af, at hans bog ikke indeholdt nogen diagrammer: Han betragtede mekanikken som en gren af den rene matematik – en geometri med fire dimensioner – tre af rummet og en af tiden. Han mente, at større sandheder ville blive fundet i algebraens og kalkulens strenghed smeltet sammen i en analyse end i det, han så som intuitiv tænkning repræsenteret i diagrammer. Han var stolt af at have fjernet mekanikken fra geometriens område og placeret den solidt inden for analysens domæne.
Lagrange arbejdede alt ud fra et enkelt grundlæggende princip: virtuelt arbejde. Med udgangspunkt i dette princip, som han anvendte variationskalkulen på, frembragte han den lagrangske funktion i generaliserede koordinater, hvilket gjorde det muligt at nærme sig en lang række problemer i mekanikken fra en ny retning og løse hidtil uløselige problemer.
Lagrangsk mekanik førte til en mere dybtgående forståelse af den fysiske verden. For eksempel førte Paul Diracs artikel The Lagrangian in Quantum Mechanics over 150 år efter, at Lagrange skrev Analytical Mechanics, Richard Feynman til en helt ny formulering af kvantemekanikken, derefter til stiintegraler og til sidst til den fuldstændige løsning af kvanteelektrodynamikken, som han beskrev som “fysikkens juvel”.
Paris-årene: 1786-1813
Og selv om Lagrange skrev sit mesterværk Analytisk mekanik i Berlin, blev det ikke udgivet før 1788, efter at han var flyttet til Paris på opfordring fra det franske videnskabsakademi.
I sine første år i Paris blev Lagrange overvældet af depression og mangel på energi – han fandt, at intet kunne fastholde hans interesse. To ting hjalp ham ud af sin lethargi: hans ægteskab i 1792 med en ung, sympatisk hustru, og at han i 1793 blev udnævnt til formand for vægt- og målingskommissionen.
Overlevede terroren
Den franske revolutions rædselsregime begyndte i 1793. Lagrange overlevede den. Det hjalp, at han var udlænding. Desuden var han mild og gjorde altid sit bedste for at undgå diskussioner og politik.
Antoine Lavoisier, et tidligere medlem af vægt- og målkommissionen og en af grundlæggerne af den moderne kemi, var ikke så heldig: Han mistede hovedet i 1794. Lagrange var forfærdet over Lavoisiers skæbne og kommenterede:
“Det tog kun et øjeblik for hans hoved at falde, men hundrede år ville ikke være nok til at gengive det samme”.
Det metriske system
Lagrange argumenterede kraftigt for indførelsen af kilogrammet og meteren. Disse blev accepteret af kommissionen i 1799.
Ècole Polytechnique
I 1794 åbnede Ècole Polytechnique i Paris, og Lagrange, der nu var 58 år gammel, blev udnævnt til professor i matematik. Hans forelæsninger blev smagt af de andre professorer. Alle undtagen de dygtigste studerende fandt dem imidlertid for vanskelige. Dette lignede situationen mange år tidligere, da han som teenager holdt forelæsninger i Torino.
Sophie Germain, der var udelukket fra Polytechnique, fordi hun var kvinde, fik Lagranges forelæsningsnoter om analyse og var begejstret for dem: det var de bedste matematiknoter, hun havde set. Lagrange fik kendskab til Germains matematiske talent, besøgte hende og spredte budskabet om hendes genialitet.
Familien og enden
I 1767, 31 år gammel, giftede Lagrange sig med sin kusine Vittoria Conti. Han ønskede ikke børn, og de to var behagelige kammerater – de havde kendt hinanden i nogen tid. Ingen af dem havde et godt helbred, og Vittoria var ofte syg. Hun døde i 1783 efter 16 års ægteskab. Lagrange sørgede dybt over hende og blev deprimeret.
I Paris blev den 24-årige Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier i 1792 forelsket i Lagrange, som var 56 år, i 1792. Hun mødte ham gennem sin far, astronomen Pierre Charles Le Monnier. Renée havde ondt af Lagrange – han var en genial mand, som syntes at have mistet lysten til livet; han virkede usædvanlig trist og træt af verden. Renée besluttede sig for at gifte sig med ham, og stod fast mod alle indvendinger. De to giftede sig, og det viste sig at blive en lykkelig forening for begge. De fik ingen børn.
I 1802 blev Lagrange fransk statsborger.
Lagrange deltog regelmæssigt i den romersk-katolske messe, selv om han ellers synes at have sagt lidt om sin religion.
Joseph-Louis Lagrange døde, 77 år gammel, den 10. april 1813 i Paris. Han efterlod sig sin kone Renée og blev begravet i Panthéon, som er det sidste hvilested for mange fremtrædende personer, herunder Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin og Pierre & Marie Curie.
Da Eiffeltårnet åbnede i 1889, var Lagrange en af de 72 franske videnskabsmænd, ingeniører og matematikere, hvis navne blev indgraveret på plaketter på tårnet.
“Alle hans matematiske kompositioner er bemærkelsesværdige ved en enestående elegance, ved symmetri i formerne og generalitet i metoderne, og hvis man kan tale sådan, ved perfektion af den analytiske stil.”
Author of this page: The Doc
© Alle rettigheder forbeholdes.
Cite this Page
Benyt venligst følgende MLA-kompatible citation:
Published by FamousScientists.org
Forther Reading
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, okt. 2010
J.L. Lagrange
Analytisk mekanik: Oversat og redigeret af Auguste Boissonnade og Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, apr 2013