Jeg har for nylig forsøgt at finde nogle gode matematikrelaterede film, og jeg har fundet “Good Will Hunting”. Det er en gammel film (1997), men selvom jeg har hørt en masse om den, har jeg aldrig set den. Så jeg tænkte, at det er på tide at give den en chance. Filmen følger den 20-årige arbejder Will Hunting, et uanerkendt geni, der som led i en aftale om udsættelse af strafforfølgningen efter at have overfaldet en politibetjent bliver klient hos en terapeut og studerer avanceret matematik hos en berømt professor.
Filmen er utrolig, og jeg elskede den. Man får lov til at se, hvordan Will revurderer sine relationer til folk omkring ham, og hvordan han konfronterer sin fortid og beslutter sig for sin fremtid. Kan helt klart anbefale denne film. I dette indlæg vil jeg ikke tale om den sentimentale del, men jeg vil nævne nogle interessante matematik, som optræder i den.
Den problemstilling, jeg taler om, er den, der optræder i begyndelsen af filmen, da professoren giver sine studerende en vanskelig opgave:
Opgaven er ikke ekstremt let at forstå, fordi den involverer en hel del matematik på universitetsniveau: lineær algebra (elementær teori om matricer, potenser af matricer, Jordans normalform), analyse (konvergens i normerede vektorrum, potenserier, konvergens af potenserier), kombinatorik (genererende funktion, optælling, gentagelsesformler) og grafteori (adjacensmatrix, stier, potenser af adjacensmatrixen).
Problemet stammer for det meste fra det matematiske område, der kaldes grafteori. Dette er studiet af grafer – matematiske strukturer, som modellerer parvise relationer mellem objekter. En graf består i denne sammenhæng af hjørner, knuder eller punkter, som er forbundet af kanter, buer eller linjer. Vi kan sige, at grafer kan være udirigerede (der er ingen forskel mellem de 2 toppunkter, der er knyttet til hver kant) og dirigerede (dens kanter er dirigeret fra et toppunkt til et andet).
Det viser sig, at problemerne i sidste ende er relateret til Cayleys formel, der siger, at antallet af mærkede træer på n knudepunkter er nn-2. Derefter opregner han 8 forskellige umærkede træer med 10 knuder. For at få mere lys i dette, skal man forstå, at et træ er en udirigeret graf, hvor to hjørner er forbundet af præcis én sti. Hvis du skulle undre dig, har matematikken også begrebet skov i dette tilfælde: en disjoint union af træer.
For en mere matematisk forklaring vil jeg råde dig til at læse Matematik i Good Will Hunting II: Problems from the Students Perspective. Desuden har Numberphile en god film om dette problem:
Totalt råd til at du læser mere om dette og måske (hvorfor ikke?!) begynder at læse om grafteori (klik på billedet for mere information):
Have a great week. Du kan finde mig på Facebook, Tumblr, Google+, Twitter og Instagram. Jeg vil forsøge at skrive der så ofte som muligt.
Glem ikke, at matematik er overalt! God fornøjelse!
