I denne Thanksgiving var jeg sammen med min lille fætter, som delte kort fra et standard kortspil med 52 kort. Jeg stillede hende spørgsmålet:
“Hvor mange gange kan du give hele kortspillet og se en unik rækkefølge af kort – anderledes end hver anden gang du har givet kortspillet i fortiden?”
Og for at sige det på en anden måde,
“Hvor mange unikke kortspil (“permutationer”) af alle 52 kort er der?”
Hvis du har lavet noget talteori (eller kigget på titlen på indlægget), kender du svaret – 52! (Aka 52 faktorial. Jeg ville dog være lige så begejstret for, at 52 var svaret – det ville være meget mærkeligt og interessant)
Jeg søgte på nettet efter måder at forsøge at forstå dette tal på, og fik variationer af det samme svar, som var temmelig uforklarlige for min fætter. Så i stedet har jeg besluttet at gøre et forsøg selv.
Forestil dig, at du stoppede alt, hvad du var i gang med, og for resten af dit liv, hvert sekund af dit liv, nat og dag, fik du en ny, magisk blandet hånd med alle 52 kort. Denne magi gør det sådan, at du aldrig får en hånd, som du har set før. Du vil gerne vide, hvor mange unikke kort der er, og du har en dyb mistillid til matematikere – du er nødt til at se det med dine egne øjne.
Du har først en hånd, der tilfældigvis starter med klørknægten, derefter hjerterknægten, derefter sparknægten og derefter de 49 andre kort. “Hmm, interessant!” Du tænker… for dig selv, for du har sikkert ikke mange venner, hvis dette er din hobby.
Det næste sekund har du en hånd, der starter med hjerter es og derefter har de 51 andre kort.
Du bliver ved, og i næste uge keder du dig ret meget. Hvornår bliver jeg færdig? Den tirsdag ser du et spil, som har hjerterknægt, derefter klørknægt, derefter sparknægt og alle de øvrige kort i nøjagtig samme position, som du fik i det første spil.
“Wow, det er super interessant, og super tæt på den første hånd, men stadig en ny hånd!” Du udbryder til et rum fuld af tomme pizzakasser og på dette tidspunkt imaginære venner, da du ikke har sovet i en uge.
Du indser, at du får brug for hjælp for at blive ved med at gøre dette. Så det lykkes dig at overbevise alle andre mennesker på jorden, alle 7 milliarder af dem, om at gøre det sammen med dig, hvert sekund af hver dag. Du må finde ud af det her! Af en eller anden grund er du ikke i stand til at overbevise matematikerne om at arbejde på dit projekt, men igen har du alligevel aldrig været stor fan af dem.
Selvfølgelig skrider tingene ikke hurtigt nok frem. Du beslutter dig for at opfinde en tidsmaskine og et ungdomsfontæne, og alle går tilbage til universets begyndelse og starter forfra med alle 7 milliarder mennesker, der alle deler kort, hele dagen, hver dag, én gang i sekundet pr. person. Du tror, det vil helt sikkert virke, og så vil du komme til at se dinosaurer! Der er mange sekunder fra nu og til universets begyndelse – du spurgte en astronom, og han fortalte dig, at der er gået 4×10^27 sekunder siden da, eller 4 efterfulgt af 17 nuller. Matematikerne kommer med dig, men nægter stadig at hjælpe med at dele kort. De er bare med for at se dinosaurer, siger de. En råber: “Det gør dig lidt utilpas, men du har ikke tid til deres pjat, og du glemmer dem hurtigt, da du vender tilbage til at dele kort.
Der sker et Big Bang, og universet udvider sig. Galakserne dannes, og de første stjerner skabes og eksploderer, hvorved kosmos bliver tilsået med jern og andre tunge grundstoffer. Solsystemet dannes, og så langsomt dannes planeterne. Jorden afkøles, der dannes et hav, og der opstår liv. Alt imens 7 milliarder mennesker, hver dag, hele dagen, hvert sekund, giver unikke kortspil. Dinosaurer strejfer rundt på jorden og bliver derefter udryddet. For mange æoner siden er du blevet den mest forhadte person i tilværelsen for at have skabt dette projekt og overbevist alle om at slutte sig til dig. Tiden bliver ved med at gå, og folk bliver ved med at dele kort, indtil vi ankommer tilbage til dagens dato.
Du ser tilbage på alle de fremskridt, du har gjort. Wow! Vi har været i stand til at lave 3×10^27 kombinationer, det er fantastisk! Det er en 3 efterfulgt af 27 nuller. Så mange forskellige tilbud af kortspillet, alle unikke.
“Vi må være tæt på!”, siger du selvsikkert til de nærmeste udmattede kortfiftende mennesker. De ser på dig med rent had i deres øjne. Du ville ønske, at du måske bare havde prøvet at spørge en matematiker i første omgang for at finde ud af, om det overhovedet er muligt at finde alle de unikke tilbud (matematikerne kalder dem “permutationer”).
Den klogeste og mest venlige matematiker prikker dig på skulderen. Du bad hende kortlægge dine fremskridt i forhold til at samle alle de forskellige muligheder, da hun tilsyneladende ikke fnisede lige så meget som de andre, da hun gik forbi og så dig dele kort. Hun rækker dig et skema.
“Hvad er det her, en syg joke?” Du kræver, rasende, da hun har givet dig et diagram med en fremskridtslinje, der er tom.
“Vi skal rejse i tiden igen til universets begyndelse… du skal bruge mere tid til at blive færdig…” Hun foreslår forsigtigt.
“Okay, godt, fint nok. Hvor mange gange mere?” Du skyder tilbage, stadig rasende.
“10^40 gange…” Der er en pause, mens du stirrer tomt på hende.
“Lad mig sige tallet”, siger hun, “Jeg tror ikke, at den videnskabelige notation virkelig ramte dig… Det er: Tre, nul, nul, nul, nul, nul, nul, nul, nul, nul…”
“Bare skriv det ned”, afbryder du hende, mens du mumler under din ånde om, at du alligevel aldrig rigtig har kunnet lide matematikere.
Hun skriver det på et stykke papir og forklarer: “Du bliver nødt til at fortsætte dette eksperiment med alle 7 milliarder mennesker og gentagne gange vende tilbage til universets begyndelse for at få flere sekunder til at dele kort.”
“Du bliver nødt til at rejse tilbage i tiden så mange gange”, gentager hun selvsikkert, med en tone af medlidenhed i stemmen.
Papiret siger: “30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 gange”.
Dine knæ giver efter, mens du synker ned på gulvet.
I fortvivlelsens dybde ser du op på matematikeren. Hun smiler.
“Ved du hvad, du kunne bare have spurgt os matematikere i starten. Antallet af kombinationer er 52!, hvilket bare er 52*51*50…*3*2*1. Det svarer til ca. 8×10^67, eller 8 med 67 nuller efter sig.”
Du nikker og føler dig lettet over, at du kender svaret. Så kigger du op. Du ser 7 milliarder mennesker, som alle lige har forladt deres arbejde og kigger mærkeligt på dig. Du kan ikke lide deres blik. Da de begynder at rejse sig op og bevæge sig mod dig, løber du hen til din tidsmaskine og indstiller den til kun at transportere dig selv til Jura-tiden.
“Jeg skulle have stolet på matematikerne …. !” Din stemme forsvinder, mens du begynder tidsrejsen. Du er stadig ikke sikker på, at du forstår, hvordan store tal eller sandsynlighed fungerer, men du tror, at det er klogt at tage chancen med de forfærdelige øgler i stedet.
I baggrunden begynder matematikerne at fnise igen.
Tal:
- Alderen af universet = 4×10^17
- 7.000.000.000.000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 milliarder / universets alder i sekunder = 3×10^40