Twin prime conjecture, også kendt som Polignac’s conjecture, i talteori, påstand om, at der er uendeligt mange twin primes, eller par af primes, der adskiller sig med 2. For eksempel er 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, og 17 og 19 twin primes. Efterhånden som tallene bliver større, bliver primtal mindre hyppige og tvillingprimer endnu sjældnere.
Den første udtalelse om tvillingprimeformodningen blev givet i 1846 af den franske matematiker Alphonse de Polignac, som skrev, at ethvert lige tal kan udtrykkes på uendelig mange måder som forskellen mellem to på hinanden følgende primtal. Når det lige tal er 2, er der tale om den dobbelte primtalskonjektur, dvs. 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = …. (Selv om formodningen undertiden kaldes Euklids tvillingeprimtalformodning, gav han det ældste kendte bevis for, at der findes et uendeligt antal primtal, men han formodede ikke, at der findes et uendeligt antal tvillingeprimtal). Der blev gjort meget få fremskridt med hensyn til denne formodning indtil 1919, hvor den norske matematiker Viggo Brun viste, at summen af de reciprokke værdier af de to primtal konvergerer mod en sum, der nu er kendt som Bruns konstant. (I modsætning hertil divergerer summen af primtalenes reciprokaler mod uendeligt.) Bruns konstant blev i 1976 beregnet som ca. 1,90216054 ved hjælp af tvillingeprimtaler op til 100 milliarder. I 1994 brugte den amerikanske matematiker Thomas Nicely en pc udstyret med den dengang nye Pentium-chip fra Intel Corporation, da han opdagede en fejl i chippen, som gav inkonsistente resultater i hans beregninger af Brun’s konstant. Negativ omtale i matematikkredse fik Intel til at tilbyde gratis erstatningschips, der var blevet ændret for at rette problemet. I 2010 gav Nicely en værdi for Bruns konstant på 1,902160583209 ± 0,000000000000781 baseret på alle dobbelte primtal under 2 × 1016.
Det næste store gennembrud fandt sted i 2003, da den amerikanske matematiker Daniel Goldston og den tyrkiske matematiker Cem Yildirim offentliggjorde en artikel, “Small Gaps Between Primes”, som fastslog eksistensen af et uendeligt antal primtalpar inden for en lille forskel (16, med visse andre antagelser, især Elliott-Halberstam-konjekturen). Selv om deres bevis var mangelfuldt, korrigerede de det sammen med den ungarske matematiker János Pintz i 2005. Den amerikanske matematiker Yitang Zhang byggede videre på deres arbejde og viste i 2013, at der uden antagelser var et uendeligt antal, der adskiller sig med 70 millioner. Denne grænse blev forbedret til 246 i 2014, og ved at antage enten Elliott-Halberstam-konjekturen eller en generaliseret form af denne konjektur var forskellen henholdsvis 12 og 6. Disse teknikker kan gøre det muligt at gøre fremskridt med hensyn til Riemann-hypotesen, som er forbundet med primtalssætningen (en formel, der giver en tilnærmelse af antallet af primtal, der er mindre end en given værdi). Se også Millennium-problemet.