Bisection

3.2 Kvalitatiivinen approksimaatio ylemmän ja alemman tason mittojen ja transitiivisen erottamattomuuden avulla

Psykologinen pohdinta kynnysarvoista, joiden alapuolella olevien raja-arvojen, joiden kohdalla havainnolliset tai muut vertailevat arvioinnit ovat vaikeita, elleivät peräti mahdottomia, aloitettiin Fechneriltä . Tärkeän varhaisen matemaattisen analyysin antoi Wiener . Suuri osa nykyaikaisesta kirjallisuudesta alkaa Lucen määritelmästä semiorder, joka aksiomatisoitiin yhdeksi binääriseksi relaatioksi äärellisessä tapauksessa Scott ja Suppes . Merkittävimpiä kirjoituksia on tehnyt Falmagne .

Kynnysarvojen todennäköisyysanalyysi on peräisin ainakin Thurstonen töistä . Falmagne on myös ollut keskeinen tekijä tässä lähestymistavassa, ja hän on kirjoittanut useita muita artikkeleita kollegoidensa kanssa: Falmagne ja Iverson , Falmagne et al., , ja Iverson ja Falmagne . Laaja katsaus kaikkeen tähän kirjallisuuteen on esitetty teoksessa Suppes et al., .

Lähes kaikissa mainituissa töissä oletetaan, että samankaltaisten tapahtumien, esineiden tai ärsykkeiden erottamattomuus on ei-transitiivinen suhde. Implisiittinen oletus on, että monilla erilaisilla erottelevilla havainnoilla monet alun perin erottamattomat tapahtumat voidaan erottaa toisistaan. Tässä päinvastainen on lähtökohta ja syy sanan ”transitiivinen” käyttöön otsikossa. Esitetyistä aksioomista seuraa, että erottamattomuus on ekvivalenssisuhde ja siten transitiivinen. Loppuosa tästä kappaleesta pohjautuu pitkälti Suppesin .

Edellisessä kappaleessa tarkastelin lyhyesti laajaa mittausta, joka keskittyi äärellisen vakiosuhdeasteikollisen esityksen rakentamiseen. Transitiivisen erottamattomuuden perusta on nyt helppo selittää. Punnittu objekti osoitetaan yksikäsitteiseen minimiväliin, esimerkiksi välille 1,9 g ja 2,0 g. Kahden objektin, a ja b, jotka eivät kuulu standardisuhdejoukkoon ja jotka ovat painoltaan ekvivalentteja, a ≈ b, binäärinen relaatio on, että ne osoitetaan standardisuhdejoukon samaan minimiväliin. Tämä relaatio on ilmeisesti ekvivalenssisuhde, ts, refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, mutta kehitetyssä approksimaatiojärjestelmässä nämä ominaisuudet eivät ole suoraan testattavissa, vaan pikemminkin seurauksia punnitusoperaatioista vakioiduilla, jo ”kalibroiduilla” painojoukoilla.

Siten myöhemmin käytetyssä notaatiossa minimiväliin (1.9 g, 2,0 g), sanotaan, että sillä on approksimaationa ylempi (painon) mitta w*(a) = 2,0 g ja alempi mitta w*(a) = 1,9 g. Käytännössä kaikissa muissa kuin kaikkein hienostuneimmissa mittausmenetelmissä ei tehdä tilastollista analyysiä siitä, että sen paino on tällaisella minimaalisella välialueella. Tapauksissa, joissa vakiosarjan minimiväli on juuri ja juuri mittalaitteen suorituskyvyn rajalla, voidaan antaa tilastollinen analyysi toistuville mittauksille.

Tavanomainen käytäntö ei ole täysin sopusoinnussa sen kanssa, että käytän minimiväliä ja sitä kautta ylä- ja alarajan määrittämistä sopivaksi likimääräiseksi mittaukseksi. Mutta se, mitä tehdään, liittyy läheisesti ja yksinkertaisesti siihen. Kuten fysiikan alkeiskursseilla opetetaan, jos mittaus ilmaistaan esimerkiksi ”0,1 g:n tarkkuudella”, mittaus kirjoitetaan muodossa 1,9 ± 0,1 g. Käytännössä suositellaan yleensä käyttämään kahta vierekkäistä minimiväliä epävarmuuden vähentämiseksi ja ilmaisemaan itse mittaus yhtenä lukuna. Kappaleessa 3 esitettyjä aksioomia voidaan helposti muuttaa siten, että ne soveltuvat tähän kahden vierekkäisen minimivälien käyttöön yhden minimivälien sijasta.

Tätä samaa ±-merkintätapaa käytetään myös laajalti toistettujen mittausten tilastollisen keskivirheen ilmaisemiseen. Tässä yhteydessä on käsitteellisesti tärkeää säilyttää sekä ylempi että alempi mitta, sillä aksioomissa virallistettu perusnäkemys on se, että mitään hienompaa mittausta kuin minimiväli ei ole käytettävissä annetuissa olosuhteissa. Mikään teoreettinen konstruktio todennäköisyysjakaumasta sijainnille minimivälien sisällä ei ole tieteellisesti kovin järkevä. Korostetaan sitä, että annetun formalisoinnin on tarkoitus olla askel lähemmäs suurta osaa, mutta ei varmastikaan kaikkea, todellista mittauskäytäntöä silloin, kun käytettävissä on kiinteä vakioasteikollinen esitys.

Terminologian osalta sitä, mitä olen kutsunut äärelliseksi tasaväliseksi ekstensiiviseksi rakenteeksi, voitaisiin yhtä hyvin kutsua äärelliseksi vakiojaksoiseksi ekstensiiviseksi rakenteeksi. Standardisekvenssien terminologia on tuttua mittauksen perusteita käsittelevässä kirjallisuudessa. Tämä kieli ehdottaa käyttökelpoista termiä vakiojoukot vakiojonon muodostaville painojoukoille.

Jatkokäytön kannalta on tärkeää huomata, että kahdelle vakiopainojoukolle A ja B, jos ne eivät ole painoltaan ekvivalentteja, niiden välinen pienin mahdollinen ero on yhden atomijoukon paino. Tarkemmin sanottuna järjestetty joukkojen pari (A, B) on minimaalinen vakiojoukkojen pari, jos μ(A) – μ(B) = μ(yksi atomijoukko), eli niiden erotus on itse asiassa minimi ei-ekvivalenttien vakiojoukkojen osalta. Huomaa, että jos (A, B) on minimaalinen pari, A ≥ B. Tällaisten parien ekvivalenssi on hyödyllinen käsite määritellä. Kaksi minimaalista paria (A, B) ja (A′, B′,) ovat ekvivalentteja, jos μ(A) = μ(A′) ja μ(B) = μ(B′). Seuraavassa kolme havaintoa, jotka ovat olennaisia myöhempien keskustelujen kannalta.

Edetään nyt, että on olemassa äärellinen yhtäläisesti jakautunut ekstensiivinen rakenne (jota kutsutaan myös äärelliseksi vakiojoukoksi), ja annetaan ylimääräisiä aksioomeja, joiden avulla voidaan mitata likimain mitä tahansa fysikaalista kohdetta vakiojoukon alueella. Alkeiskäsitteet ovat nyt

Jos (S1, S2) on minimaalinen pari ja S1 ≥ W1 ≥ S2, niin (S1 S2) sanotaan olevan minimaalinen pari W1:lle, ja myös W1:llä sanotaan olevan minimaalinen pari.

Joitakin kommentteja näistä aksioomista on aiheellista esittää. Aksiooma 1 vain tuo standardijoukkojen rakenteen approksimaatiokehykseen. Aksiooma 2 edellyttää, että standardijoukoille kalibroitujen S:n kohteiden ja punnittavien W:n kohteiden välillä ei ole päällekkäisyyttä. Aksiooma 3 on ainoa aksiooma, joka ilmaistaan puhtaasti punnittujen objektien avulla ilman standardipainoja käyttäviä testejä. Sen vaatimus ≥:n yhteenkuuluvuudesta W:n osalta on tuttu. Aksioomissa 4-11 muotoillaan sitten testattavia oletuksia, jotka riittävät perustelemaan standardijoukkojen alueeseen kuuluvien painojen likimääräisen mittaamisen. Koska sekä joukot S että W ovat äärellisiä, kukin aksiooma voidaan testata suoraan tasavartisella vaa’alla. Aksioomassa 4 testataan, että W1 on tiukasti painavampi kuin W2, eli etsitään sellainen S1, että W1 ≥ S1 ja S1 ≥ W2. Aksiooma 5 esittää niin sanotusti transitiivisuusehdon vakiojoukkojen ja punnittujen joukkojen tai objektien väliselle suhteelle. Jos S1 on painavampi kuin W1 ja W1 on painavampi kuin S2, niin on oltava niin, että S1 on painavampi kuin S2. Aksiooma 6 sulkee pois sen, että mikä tahansa punnittu objekti W1 on täsmälleen yhtä painava kuin mikä tahansa vakiojoukko. Tämän aksiooman heikommat muodot ovat mahdollisia, mutta silloin testiolosuhteet monimutkaistuvat. Aksiooma on samankaltainen kuin tutut ”pakko-valinta”-aksioomat uskomusten tai tekojen mittaamisessa. Aksiooma 7 edellyttää, että mikä tahansa punnittu objekti W1 on painavampi kuin mikä tahansa minimaalinen positiivinen standardijoukko S1. Tämä aksiooma sallii sen, että vaaka tai vastaava laite ei ole herkkä millekään positiiviselle painolle, joka on pienempi kuin minimaalinen vakiojoukko. Aksiooma 8 on ilmeisesti määritelmän 1 aksioomassa 2 esitetyn tavanomaisen laadullisen yhteenlaskuaksiooman yleistys likimääräiseen mittaukseen. Aksiooma 9 takaa, että annettujen epäyhtenäisten punnittavien joukkojen W1 ja W2 osalta voidaan löytää epäyhtenäiset standardijoukot, jotka ovat pienimmät ylärajat, S1 W1:lle ja S1 W2:lle, ja jotka ovat myös epäyhtenäisiä. Tämä ei seuraa muista aksioomista, koska jos W1 ∪ W2 = W, disjointtien pienimpien ylärajojen liitto, S1 ∪ S1, voi olla yksi atomaarinen vakiojoukko, joka on suurempi kuin itse W:n pienin yläraja, joten S:ää on suurennettava, jotta se kattaa tämän tapauksen. Mahdollisuudet on esitetty selvästi lauseessa 12. Aksiooma 10 on testi sille, että W1 on tiukasti raskaampi kuin W2, ja testi on tietysti suhteutettu standardijoukkojen karkeuteen. Aksiooma 11 takaa, että mitkä tahansa punnittavat kohteet tai kohteiden joukot kuuluvat vakiojoukkojen joukkoon siten, että niillä on minimaalinen pari vakiojoukkoja eli diskreetti pienin yläraja ja diskreetti suurin alaraja vakiojoukkojen joukossa.

Aluksi esitetään joukko alkeisteoremeja, joissa keskitytään punnittavien kohteiden joukkojen välisten suhteiden ≥ ja ≈ transitiokykyyn.

TEORIA 10. Jos W1 ≈ W2 ja W2 ≥ W3, niin W1 ≥ W3.

Seuraava lause osoittaa, että vakiojoukkojen ekvivalenssirelaatiolla ≈ on kongruenssiominaisuus ≥ joukolle S × W.

TEOREEMA 11. Jos S1 ≈ S1 ja S1 ≥ W1 niin S1 ≥ W1.

Seuraava lause väittää testattavan kriteerin sille, että W1 ja W2 ovat erottamattomia.

TEOREM 12. W1 ≈ W2 jos ja vain jos W1:llä ja W2:lla on ekvivalentteja minimipareja.

Samankaltaisin menetelmin voimme todistaa läheisesti toisiinsa liittyvän tuloksen.

Voitamme nyt väittää painojen erottamattomuuden transitiivisuuden.

TEOREMI 14. Jos W1 ≈ W2 ja W2 ≈ W3, niin W1 ≈ W3.

Seuraavan lauseen merkitys sen approksimaation määrittämiseksi, joka pätee kahden epäyhtenäisen punnittavien kohteiden joukon W1 ja W2 yhteenlaskussa, tuodaan esiin lauseen jälkeisessä keskustelussa.

Lisätessämme kahden fyysisten esineiden kokoelman likimääräisen painon, punnitsemalla ne yksitellen, likimääräisen tuloksen avulla emme voi päätellä, kumpi lauseessa 15 muotoilluista kahdesta disjunktiosta pätee. Nämä kaksi disjunktiota kuvaavat kahta vierekkäistä mutta erilaista minimiväliä. Yksi tärkeä piirre on kuitenkin huomattava. Yhteenlasku ei lisää approksimaatioväliä yhteenlaskun jälkeen. Niinpä lauseessa 15, kun meille annetaan W1 ja W2, emme ilman lisätietoa tiedä, kummassa minimiväli W1 ∪ W2 sijaitsee, vaan, kuten aksiooman disjunktiivinen johtopäätös väittää, se on vain toinen kahdesta vierekkäisestä minimivälistä, ja tekemällä vertailun empiirisesti voimme selvittää, kumpi niistä on.

Teoremin 15 disjunktiivinen lauseke (iii) ja täsmällisyysolettamus, ts, ei approksimaatiota, itse standardijakson mittauksessa, merkitsevät eroa approksimaatiota koskeviin keskusteluihin ja tuloksiin useissa eri paikoissa Foundations of Measurement -teoksessa. Itse asiassa standardikäsitettä ylemmän ja alemman mittaluvun parista (μ*, μ*), joka on käyttökelpoinen approksimaatiomittana, ei esitellä missään Foundations of Measurement -teoksen kolmessa niteessä. Tällaisen parin (μ*, μ*) määritelmä seuraa muodoltaan aiemmin annettua määritelmää toimenpiteelle μ.

Ylä- ja alamittojen parin (μ*, μ*) käsite ei ole uusi. Se juontaa juurensa ainakin siihen, kun Carathedory ja muut käyttivät sisä- ja ulkomittoja analyysissä 1800-luvun loppupuolella. Käyttö todennäköisyyslaskennassa juontaa juurensa ainakin Koopmaniin .

Likimääräisen mittauksen esitys annetaan nimenomaisesti ylempien ja alempien mittojen muodossa. Teoreemaa 15 tai jotakin suunnilleen vastaavaa tarvitaan ylempien ja alempien mittojen subadditiivisten ja superadditiivisten ominaisuuksien vahvistamiseksi. Nämä ominaisuudet muotoillaan eksplisiittisesti seuraavan teoreeman osassa (v).

Vertaamalla äsken todistetun lauseen lausekkeen (v) epätasa-arvoja lauseessa 15 esitettyihin kahteen disjunktiiviseen kvalitatiiviseen mahdollisuuteen voidaan olettaa, että tiukempi raja voidaan todistaa, ja näin onkin. Lausekkeen (v) epätasa-arvot voidaan tiukentaa lausekkeeksi (v’) lisäämällä siihen termi μ*(W1) + μ* (W2), mikä on perusteltua lauseen 15 nojalla.

KOROLLARI 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

En ole esittänyt invarianssitulosta lauseelle 16, sillä ilmeinen tulos seuraa lauseen 1 tästä osasta. Mutta on eräs toinen asiaan liittyvä tarkastelu, joka on kiinnostavampi. Määritelmän 11 luonnehtima äärellisen standardijakson S = (S, F, ≥) minimiväli, joka on osa mitä tahansa likimääräisen ekstensiivisen mittauksen rakennetta, kiinnittää empiiristen mittausten laadullisen empiirisen tarkkuuden. Tarkastellaan nyt toista äärellistä standardijaksoa T, jolla mitataan samaa ominaisuutta W:n osajoukoista, ja olkoon (T1, T′1) T:n minimiväli. Tällöin, toisin kuin perinteisessä ekstensiivisen mittauksen yksikön hyväksymisessä, likimääräisen mittauksen tapauksessa meillä on suoraan kvalitatiivinen tarkkuusvertailu, joka annetaan (S1, S′1):n ja (T1, T′1):n välisestä empiirisestä suhteesta. Esimerkiksi ”vaa’an”, jota käytän säännöllisesti itseni punnitsemiseen, minimiväli on 0,25 lb, mutta toisen, harvemmin käyttämäni vaa’an minimiväli on 0,1 kg. Koska 1 kg = 2,20 lb, 0,25 lb:n ja 0,1 kg:n suhde on 0,25/,22 eli kahden desimaalin tarkkuudella 1,14. Metrijärjestelmän mukaan kalibroitu standardisarja on siis hieman tarkempi, vaikka molemmissa ”asteikoissa” on vähimmäisetäisyydet, jotka ylittävät tavanomaisesti havaitun tai kirjatun tarkkuuden useimmissa tarkoituksissa. Jommankumman asteikon hienosäätö on vain vähän tai ei lainkaan kiinnostavaa ruumiinpainon mittaamisen kannalta.

Samankaltaisia esimerkkejä on helppo antaa pituuden mittaamisesta eri äärellisillä standardisarjoilla. Lisäksi tässä kehitetty likimääräinen teoria ylempien ja alempien mittojen suhteen voidaan helposti laajentaa samoilla menetelmillä erotusmittaukseen, puolitusmittaukseen ja yhteismittaukseen sekä hieman vaikeammin useisiin ulottuvuuksiin, esim. affiiniseen tai euklidiseen geometriaan. Ei ole yllättävää, että ylempien ja alempien mittojen sovelluksia on sovellettu eniten subjektiivisen todennäköisyyden likimääräiseen mittaamiseen. Kattavan katsauksen ja analyysin antaa Walley . Oma aikaisempi kirjoitukseni, Suppes , käyttää ylempiä ja alempia todennäköisyyksiä, mutta ei-transitiivisella erottamattomuudella.

Tässä on keskitytty likimääräiseen mittaamiseen, mutta hyvin erilainen ylempien ja alempien todennäköisyyksien teoria voidaan johtaa suorasta joukko-opillisesta yleistyksestä satunnaismuuttujista satunnaisfunktioina satunnaisiin suhteisiin. Osoituksena teoreettisesta erosta on se, että Suppesin ja Zanottin satunnaisista relaatioista johtamat ylemmät ja alemmat mitat ovat Choquet’n mielessä äärettömän järjestyksen kapasiteetteja. Sitä vastoin tässä likimääräistä mittausta varten tarkastellut ylemmät ja alemmat mitat eivät ole edes kahden kertaluvun kapasiteetteja. On selvää, että tässä ja Suppesissa esitelty approksimaation merkitys ei ole missään mielessä ainoa mahdollisuus.

.