Kuun liikeMuutos
Hipparkhos tutki myös Kuun liikettä ja vahvisti sen liikkeen kahta jaksoa koskevat tarkat arvot, jotka kaldealaisilla tähtitieteilijöillä oletetaan yleisesti olleen ennen häntä, olipa niiden lopullinen alkuperä mikä tahansa. Perinteinen arvo (Babylonian järjestelmästä B) keskimääräiselle synodiselle kuukaudelle on 29 päivää; 31,50,8,20 (sekagesimaaliluku) = 29,5305941… päivää. Tätä arvoa on myöhemmin käytetty heprealaisessa kalenterissa muodossa 29 päivää + 12 tuntia + 793/1080 tuntia. Kaldealaiset tiesivät myös, että 251 synodista kuukautta ≈ 269 poikkeavaa kuukautta. Hipparkhos käytti tämän ajanjakson 17-kertaista kerrointa, koska tämä aikaväli on myös pimennysjakso ja myös lähellä kokonaislukua (4267 kuuta : 4573 anomaalista jaksoa : 4630,53 solmujaksoa : 4611,98 kuun kiertorataa : 344,996 vuotta : 344,982 auringon kiertorataa : 126 007,003 vuorokautta : 126 351,985 kierrosta). Poikkeuksellista ja hyödyllistä tässä syklissä oli se, että kaikki 345 vuoden välein tapahtuvat pimennysparit esiintyvät hieman yli 126 007 päivän välein vain noin ±1⁄2 tunnin tarkkuudella, mikä takaa (jaettuna 4267:llä) synodisen kuukauden arvion, joka pitää paikkansa yhden osan suuruusluokkaa 10 miljoonaa. 345 vuoden jaksollisuuden vuoksi muinaiset pystyivät hahmottamaan keskimääräisen kuukauden ja määrittämään sen niin tarkasti, että se on vielä nykyäänkin sekunnin murto-osan tarkkuudella oikea.
Hipparkhos pystyi vahvistamaan laskelmansa vertailemalla oman aikansa auringonpimennyksiä (oletettavasti 27.1.141 eaa. ja 26.11.139 eaa. mukaan ) babylonialaisten muistiinpanojen 345 vuotta aiempiin auringonpimennyksiin (Almagest IV.2; ). Jo al-Biruni (Qanun VII.2.II) ja Kopernikus (de revolutionibus IV.4) totesivat, että 4267 kuun jakso on itse asiassa noin viisi minuuttia pidempi kuin Ptolemaioksen Hipparkhokselle antama arvo pimennysajalle. Babylonialaisten ajanmääritysmenetelmissä oli kuitenkin peräti 8 minuutin virhe. Nykytutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että Hipparkhos pyöristi pimennysajan lähimpään tuntiin ja käytti sitä vahvistaakseen perinteisten arvojen paikkansapitävyyden sen sijaan, että olisi yrittänyt johtaa parempaa arvoa omista havainnoistaan. Nykyaikaisten efemeridien perusteella ja ottaen huomioon päivän pituuden muutoksen (ks. ΔT) arvioimme, että virhe synodisen kuukauden oletetussa pituudessa oli alle 0,2 sekuntia 4. vuosisadalla eaa. ja alle 0,1 sekuntia Hipparkhoksen aikaan.
Kuun kiertorataToimitus
Oli jo pitkään tiedetty, että Kuun liike ei ole tasaista: sen nopeus vaihtelee. Tätä kutsutaan sen poikkeavuudeksi, ja se toistuu omalla jaksollaan; poikkeavalla kuukaudella. Kaldealaiset ottivat tämän huomioon aritmeettisesti ja käyttivät taulukkoa, jossa ilmoitettiin Kuun päivittäinen liike päivämäärän mukaan pitkän ajanjakson sisällä. Kreikkalaiset kuitenkin ajattelivat mieluummin taivaan geometristen mallien avulla. Apollonius Pergalainen oli 3. vuosisadan lopulla eaa. ehdottanut kahta mallia Kuun ja planeettojen liikkeelle:
- Ensimmäisessä Kuu liikkuisi tasaisesti ympyrää pitkin, mutta Maa olisi eksentrinen eli jonkin verran etäällä ympyrän keskipisteestä. Niinpä Kuun näennäinen kulmanopeus (ja sen etäisyys) vaihtelisi.
- Kuukin itse liikkuisi tasaisesti (jonkinlaisella keskimääräisellä liikkeellä anomaliassa) toissijaisella ympyränmuotoisella kiertoradalla, jota kutsutaan episykliksi, joka itse liikkuisi tasaisesti (jonkinlaisella keskimääräisellä liikkeellä pituusasteessa) maapallon ympärillä kulkevalla ympyränmuotoisella pääasiallisella kiertoradalla, jota kutsutaan deferentiksi; ks. deferentti ja episykli. Apollonius osoitti, että nämä kaksi mallia olivat itse asiassa matemaattisesti samanarvoisia. Kaikki tämä oli kuitenkin vain teoriaa, eikä sitä ollut toteutettu käytännössä. Hipparkhos oli ensimmäinen tuntemamme tähtitieteilijä, joka yritti määrittää näiden kiertoratojen suhteelliset mittasuhteet ja todelliset koot.
Hipparkhos kehitti geometrisen menetelmän, jonka avulla hän pystyi löytämään parametrit Kuun kolmesta asennosta sen anomalian tietyissä vaiheissa. Itse asiassa hän teki tämän erikseen eksentriselle ja epicycle-mallille. Ptolemaios kuvaa yksityiskohtia Almagest IV.11:ssä. Hipparkhos käytti kahta kolmen kuunpimennyshavainnon sarjaa, jotka hän valitsi huolellisesti täyttääkseen vaatimukset. Eksentrisen mallin hän sovitti näihin pimennyksiin Babylonian pimennysluettelosta: 22./23. joulukuuta 383 eaa., 18./19. kesäkuuta 382 eaa. ja 12./13. joulukuuta 382 eaa. Epikulaarisen mallin hän sovitti Aleksandriassa tehtyihin kuunpimennyshavaintoihin 22. syyskuuta 201 eaa., 19. maaliskuuta 200 eaa. ja 11. syyskuuta 200 eaa.
- Eksentrisen mallin osalta Hipparkhos löysi eksentrisen keskipisteen säteen ja eksentrisen keskipisteen keskipisteen ja ekliptikan keskipisteen välisen etäisyyden väliselle suhteelle (ts, maanpäällinen havaitsija): 3144 : 327 2⁄3 ;
- ja episyklisen mallin osalta deferenttisen säteen ja episyklisen säteen välinen suhde: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
Hieman oudot luvut johtuvat hankalasta yksiköstä, jota hän käytti sointutaulukossaan erään historioitsijaryhmän mukaan, joka selittää rekonstruktionsa kyvyttömyyden olla yhtä mieltä näiden neljän luvun kanssa osittain johtuvan joistakin Hipparkhoksen huolimattomista pyöristys- ja laskuvirheistä, joista Ptolemaios kritisoi häntä (hän itsekin syyllistyi pyöristysvirheisiin). Yksinkertaisempi vaihtoehtoinen rekonstruktio vastaa kaikkia neljää lukua. Joka tapauksessa Hipparkhos löysi epäjohdonmukaisia tuloksia; hän käytti myöhemmin epikyklimallin suhdelukua (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), joka on liian pieni (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolemaios vahvisti suhdeluvuksi 60 : 5 1⁄4. (Suurin tällä geometrialla tuotettavissa oleva kulmapoikkeama on 5 1⁄4:n jaettuna 60:llä eli noin 5° 1′:lla jaettuna oleva kaarikin, luku, joka siksi toisinaan noteerataan Hipparkanuksen mallissa Kuun keskipisteen yhtälön vastineeksi.)
Auringon näennäinen liikeEdit
Ennen kuin Hipparkhos, Meton, Euctemon ja heidän oppilaansa Ateenassa olivat tehneet auringonseisaushavaintoja (ts, ajoittaneet kesäpäivänseisauksen hetken) 27. kesäkuuta 432 eKr. (proleptinen juliaaninen kalenteri). Aristarkhos Samoksen sanotaan tehneen niin vuonna 280 eaa., ja myös Hipparkhoksella oli Arkhimedeen tekemä havainto. Kuten vuonna 1991 julkaistussa artikkelissa osoitetaan, Hipparkhos laski vuonna 158 eaa. hyvin virheellisen kesäpäivänseisauksen Kallippoksen kalenterista. Hän havaitsi kesäpäivänseisauksen vuosina 146 ja 135 eaa. molemmat muutaman tunnin tarkkuudella, mutta päiväntasauksen hetken havainnot olivat yksinkertaisempia, ja hän teki elinaikanaan kaksikymmentä havaintoa. Ptolemaios käsittelee Almagest III.1:ssä laajasti Hipparkhoksen työtä vuoden pituuden määrittämiseksi ja siteeraa monia Hipparkhoksen tekemiä tai käyttämiä havaintoja vuosilta 162-128 eaa. Hipparkhoksen Rodoksella tekemien seitsemäntoista päiväntasauksen havainnon analyysi osoittaa, että keskivirhe deklinaatiossa on positiivinen seitsemän kaariminuuttia, mikä vastaa lähes ilman taittumisen ja Swerdlow’n parallaksin summaa. Satunnainen kohina on kaksi kaariminuuttia tai lähes yksi kaariminuutti, jos pyöristys otetaan huomioon, mikä vastaa suunnilleen silmän terävyyttä. Ptolemaios siteeraa Hipparkhoksen tekemää päiväntasauksen ajoitusta (24. maaliskuuta 146 eaa. aamunkoitteessa), joka eroaa viisi tuntia Aleksandrian suurella julkisella päiväntasaajarenkaalla samana päivänä tehdystä havainnosta (tunti ennen keskipäivää): Hipparkhos on saattanut vierailla Aleksandriassa, mutta hän ei tehnyt siellä päiväntasauksen havaintojaan; oletettavasti hän kävi Rhodoksella (melkein samalla maantieteellisellä pituudella). Ptolemaios väittää, että hänen aurinkohavaintonsa tehtiin meridiaanille asetetulla kauttakulkumittarilla.
Anne Tihonin hiljattain tekemä asiantuntijakäännös ja analyysi papyruksesta P. Fouad 267 A on vahvistanut edellä mainitun vuoden 1991 havainnon, jonka mukaan Hipparkhos sai kesäpäivänseisauksen vuonna 158 eaa. Mutta papyrus antaa päivämääräksi 26.6., eli yli vuorokauden etuajassa vuoden 1991 asiakirjan päätelmään, jonka mukaan se olisi 28.6.. Aikaisemman tutkimuksen M §:ssä todettiin, että Hipparkhos otti käyttöön 26. kesäkuuta olevan auringonseisauspäivän vasta vuonna 146 eaa., jolloin hän perusti auringon kiertoradan, jonka Ptolemaios myöhemmin hyväksyi. Näiden tietojen yhdistäminen viittaa siihen, että Hipparkhos ekstrapoloi vuoden 158 eKr. 26. päivänseisauksen kesäkuun 26. päivänseisauksen vuoden 145 auringonseisauksen perusteella 12 vuotta myöhemmin, ja tämä menettely aiheuttaisi vain pienen virheen. Papyrus vahvisti myös sen, että Hipparkhos oli käyttänyt kalippista aurinkoliikennettä vuonna 158 eKr., mikä oli uusi havainto vuonna 1991, mutta sitä ei todistettu suoraan ennen kuin P. Fouad 267 A. Toinen papyruksen taulukko koskee ehkä sideriaalista liikettä ja kolmas taulukko metonista trooppista liikettä, jossa käytettiin aiemmin tuntematonta 365 1⁄4 – 1⁄309 päivän mittaista vuotta. Tämä löydettiin oletettavasti jakamalla 274 vuotta vuodesta 432 vuoteen 158 eaa. vastaavalla 100077 päivän ja 14 3⁄4 tunnin välein Metonin auringonnousun ja Hipparkhoksen auringonlaskun auringonseisausten välillä.
Uransa lopussa Hipparkhos kirjoitti tuloksistaan kirjan nimeltä Peri eniausíou megéthous (”Vuoden pituudesta”). Trooppisen vuoden vakiintunut arvo, jonka Kallippos otti käyttöön vuonna 330 eaa. tai sitä ennen, oli 365 1⁄4 päivää. Kallippoksen vuoden babylonialaisen alkuperän spekulointia on vaikea puolustaa, sillä Babyloniassa ei noudatettu auringonseisauksia, joten ainoa säilynyt järjestelmä B:n vuoden pituus perustui kreikkalaisiin auringonseisauksiin (ks. jäljempänä). Hipparkhoksen päiväntasauksen havainnot antoivat vaihtelevia tuloksia, mutta hän itse huomauttaa (lainattu teoksessa Almagest III.1(H195)), että hänen ja hänen edeltäjiensä havaintovirheet saattoivat olla jopa 1⁄4 päivää. Hän käytti vanhoja auringonseisaushavaintoja ja määritteli noin yhden päivän eron noin 300 vuodessa. Niinpä hän asetti trooppisen vuoden pituudeksi 365 1⁄4 – 1⁄300 päivää (= 365,24666… päivää = 365 päivää 5 tuntia 55 minuuttia, mikä eroaa todellisesta arvosta (nykyaikainen arvio, maapallon pyörimiskiihtyvyys mukaan luettuna) hänen aikanaan noin 365,2425 päivää, eli virhe on noin 6 minuuttia vuodessa, tunti vuosikymmenessä, 10 tuntia vuosisadassa.
Metonin auringonottohavaintojen ja hänen omien havaintojensa välissä oli 297 vuotta, jotka kestivät 108 478 päivää. D. Rawlins totesi, että tämä merkitsee trooppisen vuoden pituutta 365,24579… päivää = 365 päivää;14,44,51 (sekagesimaalinen; = 365 päivää + 14/60 + 44/602 + 51/603) ja että tämä tarkka vuoden pituus on löydetty yhdestä niistä harvoista babylonialaisista savitauluista, joissa on nimenomaisesti määritelty B-järjestelmän kuukausi. Tämä on osoitus siitä, että kaldealaiset tunsivat Hipparkhoksen teoksen.
Toinen Hipparkhokselle (1. vuosisadalla astrologi Vettius Valensin toimesta) liitetty vuosiluvun arvo on 365 + 1/4 + 1/288 päivää (= 365,25347… päivää = 365 päivää 6 tuntia 5 minuuttia), mutta tämä saattaa olla väärennös toisesta babylonialaiseen lähteeseen liitetystä arvosta: 365 + 1/4 + 1/144 päivää (= 365,25694… päivää = 365 päivää 6 tuntia 10 minuuttia). Ei ole selvää, olisiko tämä sideriaalisen vuoden arvo (todellinen arvo hänen aikanaan (nykyaikainen arvio) noin 365,2565 päivää), mutta ero Hipparkhoksen trooppisen vuoden arvoon on sopusoinnussa hänen käyttämänsä prekessiovauhdin kanssa (ks. jäljempänä).
Auringon kiertorata Muokkaa
Ennen Hipparkhosta tähtitieteilijät tiesivät, etteivät vuodenaikojen pituudet ole yhtä suuria. Hipparkhos teki havaintoja päiväntasauksesta ja auringonseisauksesta, ja Ptolemaioksen mukaan (Almagest III.4) hän määritteli, että kevät (kevätpäiväntasauksesta kesäpäivänseisaukseen) kesti 94½ päivää ja kesä (kesäpäivänseisauksesta syyspäiväntasaukseen) 92 1⁄2 päivää. Tämä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, jonka mukaan aurinko liikkuu maapallon ympäri ympyrää tasaisella nopeudella. Hipparkhoksen ratkaisu oli se, että Maa ei ollut Auringon liikkeen keskipisteessä vaan jonkin matkan päässä keskipisteestä. Tämä malli kuvasi Auringon näennäistä liikettä melko hyvin. Nykyään tiedetään, että planeetat, Maa mukaan luettuna, liikkuvat likimääräisesti ellipsinmuotoisesti Auringon ympäri, mutta tämä havaittiin vasta, kun Johannes Kepler julkaisi kaksi ensimmäistä lakia planeettojen liikkeestä vuonna 1609. Ptolemaioksen Hipparkhokselle antama arvo eksentrisyydelle on, että siirtymä on 1⁄24 radan säteestä (mikä on hieman liian suuri), ja apogeumin suunta olisi 65,5° pituusasteella kevätpäiväntasauksesta. Hipparkhos on saattanut käyttää myös muita havaintosarjoja, jotka johtaisivat erilaisiin arvoihin. Toisen hänen kahden pimennyskolmionsa auringon pituudet ovat sopusoinnussa sen kanssa, että hän oli alun perin hyväksynyt kevään ja kesän epätarkoiksi pituuksiksi 95 3⁄4 ja 91 1⁄4 päivää. Hänen toisen aurinkoasentokolmionsa on yhdenmukainen 94 1⁄4 ja 92 1⁄2 päivän kanssa, mikä on parannus Ptolemaioksen Hipparkhokselle antamiin tuloksiin (94 1⁄2 ja 92 1⁄2 päivää), joiden kirjoittajuuden muutamat tutkijat yhä kyseenalaistavat. Ptolemaios ei tehnyt muutoksia kolme vuosisataa myöhemmin ja ilmaisi syys- ja talvikauden pituudet, jotka olivat jo ennestään implisiittisiä (kuten esimerkiksi A. Aaboe on osoittanut).
Kuun ja Auringon etäisyys, parallaksit, kokoMuutos
Hipparkhos ryhtyi myös selvittämään Auringon ja Kuun etäisyyksiä ja kokoja. Hänen tuloksensa ilmestyvät kahdessa teoksessa: Pappuksen teoksessa Perí megethōn kaí apostēmátōn (”Koolla ja etäisyyksillä”) ja Pappuksen kommentissa Almagest V.11; Theon Smyrnan Theon (2. vuosisata) mainitsee teoksen lisäyksellä ”Auringosta ja Kuusta”.
Hipparkhos mittasi Auringon ja Kuun näennäiset halkaisijat diopterillaan. Kuten muutkin ennen häntä ja hänen jälkeensä, hän havaitsi, että Kuun koko vaihtelee sen liikkuessa (eksentrisellä) kiertoradallaan, mutta hän ei havainnut havaittavaa vaihtelua Auringon näennäisessä halkaisijassa. Hän havaitsi, että Kuun keskietäisyydellä Auringolla ja Kuulla oli sama näennäinen halkaisija; tuolla etäisyydellä Kuun halkaisija mahtuu 650 kertaa ympyrään, ts, keskimääräiset näennäiset halkaisijat ovat 360⁄650 = 0°33′14″.
Kuten muutkin ennen häntä ja hänen jälkeensä, hän huomasi myös, että Kuulla on huomattava parallaksi, eli että se näyttää siirtyneeltä laskennallisesta sijainnistaan (verrattuna Aurinkoon tai tähtiin), ja ero on suurempi, kun se on lähempänä horisonttia. Hän tiesi, että tämä johtuu siitä, että silloisissa malleissa Kuu kiertää Maan keskipistettä, mutta havaitsija on maan pinnalla – Kuu, Maa ja havaitsija muodostavat kolmion, jonka terävä kulma muuttuu koko ajan. Tämän parallaksin suuruudesta voidaan määrittää Kuun etäisyys Maan säteillä mitattuna. Auringolle ei kuitenkaan ollut havaittavaa parallaksia (nyt tiedämme, että se on noin 8,8″, joka on monta kertaa pienempi kuin paljain silmin havaittavissa oleva erottelukyky).
Ensimmäisessä kirjassaan Hipparkhos olettaa, että Auringon parallaksi on 0, ikään kuin se olisi äärettömän kaukana. Sitten hän analysoi auringonpimennyksen, jonka Toomer (vastoin yli vuosisadan tähtitieteilijöiden mielipidettä) olettaa olevan 14. maaliskuuta 190 eaa. tapahtunut pimennys. Se oli täydellinen Hellespontin alueella (ja hänen synnyinpaikkakunnallaan Nikeassa); Toomer ehdottaa, että roomalaiset valmistautuivat tuolloin alueella sotaan Antiokhos III:n kanssa, ja Livius mainitsee pimennyksen Ab Urbe Condita Libri VIII.2 -teoksessaan. Pimennys havaittiin myös Aleksandriassa, jossa auringon kerrottiin peittävän kuun 4/5:llä. Aleksandria ja Nikea sijaitsevat samalla meridiaanilla. Alexandria on noin 31° pohjoista leveyttä ja Hellespontin alue noin 40° pohjoista leveyttä. (On väitetty, että Strabon ja Ptolemaioksen kaltaisilla kirjoittajilla oli melko hyvät arvot näille maantieteellisille sijainneille, joten Hipparkhoksenkin on täytynyt tuntea ne. Strabon Hipparkhoksesta riippuvaiset leveysasteet tälle alueelle ovat kuitenkin ainakin 1° liian korkeat, ja Ptolemaios näyttää kopioivan niitä sijoittamalla Bysantin 2° korkealle leveysasteelle). Hipparkhos pystyi piirtämään näiden kahden paikan ja Kuun muodostaman kolmion, ja yksinkertaisen geometrian avulla hän pystyi määrittämään Kuun etäisyyden Maan säteinä ilmaistuna. Koska auringonpimennys tapahtui aamulla, Kuu ei ollut meridiaanilla, ja on ehdotettu, että Hipparkhoksen löytämä etäisyys oli näin ollen alaraja. Joka tapauksessa Pappuksen mukaan Hipparkhos havaitsi, että pienin etäisyys on 71 (tästä pimennyksestä) ja suurin 81 Maan sädettä.
Kakkoskirjassaan Hipparkhos lähtee päinvastaisesta ääriolettamasta: hän määrittää Auringon (pienimmäksi) etäisyydeksi 490 Maan sädettä. Tämä vastaisi 7′:n parallaksia, joka on ilmeisesti suurin parallaksi, jota Hipparkhos arveli jäävän huomaamatta (vertailun vuoksi: ihmissilmän tyypillinen erotuskyky on noin 2′; Tycho Brahe teki paljain silmin havaintoja jopa 1′:n tarkkuudella). Tällöin Maan varjo on pikemminkin kartio kuin sylinteri, kuten ensimmäisessä oletuksessa. Hipparkhos havaitsi (kuunpimennysten aikana), että Kuun keskietäisyydellä varjokartion halkaisija on 2 1⁄2 kuun halkaisijaa. Tämä näennäinen halkaisija on, kuten hän oli havainnut, 360⁄650 astetta. Näiden arvojen ja yksinkertaisen geometrian avulla Hipparkhos pystyi määrittämään keskietäisyyden; koska se laskettiin Auringon vähimmäisetäisyydelle, se on Kuun suurin mahdollinen keskietäisyys. Radan eksentrisyyttä koskevan arvonsa avulla hän pystyi laskemaan myös Kuun pienimmän ja suurimman etäisyyden. Pappuksen mukaan hän löysi pienimmäksi etäisyydeksi 62, keskiarvoksi 67 1⁄3 ja näin ollen suurimmaksi etäisyydeksi 72 2⁄3 Maan sädettä. Tällä menetelmällä Auringon parallaksin pienentyessä (eli sen etäisyyden kasvaessa) minimiraja keskietäisyydelle on 59 Maan sädettä – täsmälleen sama keskietäisyys, jonka Ptolemaios myöhemmin johti.
Hipparkhos sai siis sen ongelmallisen tuloksen, että hänen minimietäisyytensä (kirjasta 1) oli suurempi kuin hänen suurin keskietäisyytensä (kirjasta 2). Hän oli älyllisesti rehellinen tämän ristiriidan suhteen ja todennäköisesti tajusi, että erityisesti ensimmäinen menetelmä on hyvin herkkä havaintojen ja parametrien tarkkuudelle. )
Ptolemaios mittasi myöhemmin kuun parallaksin suoraan (Almagest V.13).) ja käytti Hipparkhoksen toista menetelmää kuunpimennysten kanssa Auringon etäisyyden laskemiseen (Almagest V.15). Hän arvostelee Hipparkhosta ristiriitaisten oletusten tekemisestä ja ristiriitaisten tulosten saamisesta (Almagest V.11): mutta ilmeisesti hän ei ymmärtänyt Hipparkhoksen strategiaa, jonka tarkoituksena oli määrittää havaintojen kanssa sopusoinnussa olevat raja-arvot eikä yhtä ainoaa etäisyyden arvoa. Hänen tuloksensa olivat toistaiseksi parhaat: Kuun todellinen keskietäisyys on 60,3 Maan sädettä, hänen Hipparkhoksen toisesta kirjasta saamiensa rajojen sisällä.
Theon Smyrnaalainen kirjoitti, että Hipparkhoksen mukaan Aurinko on 1880 kertaa Maan kokoinen ja Maa kaksikymmentäseitsemän kertaa Kuun kokoinen; ilmeisesti tämä viittaa tilavuuksiin, ei halkaisijoihin. Kirjan 2 geometriasta seuraa, että Aurinko on 2550 Maan säteen päässä ja Kuun keskimääräinen etäisyys on 60 1⁄2 sädettä. Vastaavasti Kleomedes siteeraa Hipparkhosta, jonka mukaan Auringon ja Maan koko on 1050:1; tämä johtaa Kuun keskimääräiseksi etäisyydeksi 61 sädettä. Ilmeisesti Hipparkhos tarkensi myöhemmin laskelmiaan ja johti tarkat yksittäiset arvot, joita hän pystyi käyttämään auringonpimennysten ennustamiseen.
Vrt. tarkempi keskustelu.
EclipsesEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) kertoo Hipparkhoksen osoittaneen, että kuunpimennykset voivat tapahtua viiden kuukauden välein ja auringonpimennykset seitsemän kuukauden välein (tavanomaisen kuuden kuukauden sijasta); ja Aurinko voi peittyä kahdesti kolmenkymmenen päivän aikana, mutta eri kansojen näkemänä. Ptolemaios käsitteli tätä yksityiskohtaisesti sata vuotta myöhemmin teoksessa Almagest VI.6. Geometria sekä Auringon ja Kuun sijainnin rajat, jolloin auringon- tai kuunpimennys on mahdollinen, selitetään Almagest VI.5:ssä. Hipparkhos teki ilmeisesti samanlaisia laskelmia. Tulos, jonka mukaan kaksi auringonpimennystä voi tapahtua kuukauden välein, on tärkeä, koska tämä ei voi perustua havaintoihin: toinen näkyy pohjoisella ja toinen eteläisellä pallonpuoliskolla – kuten Plinius osoittaa – ja jälkimmäinen oli kreikkalaisille saavuttamattomissa.
Auringonpimennyksen ennustaminen, toisin sanoen tarkalleen ottaen se, milloin ja missä se tulee näkyviin, edellyttää vankkaa kuuteoriaa ja kuun parallaksin asianmukaista käsittelyä. Hipparkhoksen on täytynyt olla ensimmäinen, joka kykeni tähän. Perusteellinen käsittely edellyttää sfääristä trigonometriaa, joten ne, jotka ovat edelleen varmoja siitä, että Hipparkhoselta puuttui se, joutuvat arvailemaan, että hän saattoi tyytyä planaarisiin approksimaatioihin. Hän on saattanut käsitellä näitä asioita teoksessa Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (”Kuun kuukausittaisesta liikkeestä leveysasteilla”), joka mainitaan Sudassa.
Pliny huomauttaa myös, että ”hän sai myös selville, mistä tarkasta syystä, vaikka auringonpimennyksen aiheuttavan varjon on auringonnoususta lähtien oltava maan alapuolella, tapahtui kerran menneisyydessä, että Kuu pimeni lännessä samalla, kun molemmat valopilvet näkyivät maan yläpuolella” (käännös H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 s. 207). Toomer (1980) väitti, että tämän täytyy viitata 26. marraskuuta 139 eaa. tapahtuneeseen suureen täydelliseen kuunpimennykseen, jolloin Rhodokselta katsottuna puhtaan merihorisontin yläpuolella Kuu pimeni luoteessa heti Auringon noustua kaakossa. Tämä olisi toinen auringonpimennys sen 345 vuoden jakson aikana, jota Hipparkhos käytti perinteisten babylonialaisten ajanjaksojen todentamiseen: tämä asettaa Hipparkhoksen kuuteorian kehittämisen myöhäiseen ajankohtaan. Emme tiedä, minkä ”tarkan syyn” Hipparkhos löysi siihen, että hän näki Kuun pimenevän, vaikka se ei ilmeisesti ollut täsmällisessä oppositiossa Auringon kanssa. Parallaksi laskee valopisteiden korkeutta; taittuminen nostaa niitä, ja korkealta katsottuna horisontti laskee.