Mallilla etsitään Ts:n ja Ta:n arvot, joiden avulla ilmakehän yläosasta poistuva säteilyteho on yhtä suuri kuin auringonvalon absorboima säteilyteho. Maapallon kaltaiseen planeettaan sovellettuna lähtevä säteily on pitkäaaltoista ja auringonvalo lyhytaaltoista. Näillä kahdella säteilyvirralla on erilaiset päästö- ja absorptio-ominaisuudet. Idealisoidussa mallissa oletetaan, että ilmakehä on täysin läpinäkyvä auringonvalolle. Planeetan albedo αP on avaruuteen heijastuva osuus saapuvasta auringon säteilyvirrasta (koska ilmakehän oletetaan olevan täysin läpinäkyvä auringon säteilylle, ei ole väliä sillä, kuvitellaanko tämän albedon johtuvan heijastumisesta planeetan pinnalta vai ilmakehän yläosasta tai sen sekoituksesta). Tulevan auringonsäteilyn vuontiheys määritetään aurinkovakiolla S0. Maapalloa sovellettaessa sopivat arvot ovat S0=1366 W m-2 ja αP=0,30. Kun otetaan huomioon, että pallon pinta-ala on neljä kertaa sen leikkauspinta-alan (varjon) pinta-ala, keskimääräinen tuleva säteily on S0/4.
Pitkän aallon säteilyn osalta oletetaan, että maapallon pinnan emissiivisyys on 1 (eli maapallo on infrapunassa musta kappale, mikä on realistista). Pinta emittoi säteilyvirran tiheyden F Stefan-Boltzmannin lain mukaisesti:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}
missä σ on Stefan-Boltzmannin vakio. Avain kasvihuoneilmiön ymmärtämiseen on Kirchhoffin lämpösäteilyn laki. Millä tahansa aallonpituudella ilmakehän absorptiokyky on yhtä suuri kuin emissiokyky. Pinnalta tuleva säteily voi olla infrapunaspektrin hieman eri osassa kuin ilmakehän emittoima säteily. Mallissa oletetaan, että keskimääräinen emissiivisyys (absorptiokyky) on sama kummallekin näistä infrapunasäteilyvirroista, kun ne ovat vuorovaikutuksessa ilmakehän kanssa. Näin ollen pitkäaaltosäteilyn osalta yksi symboli ε tarkoittaa sekä ilmakehän emissiivisyyttä että absorptiokykyä minkä tahansa infrapunasäteilyvirran osalta.
Infrapunavirtatiheys ilmakehän yläosasta ulos:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}}
Viimeisessä termissä ε edustaa pinnalta ylöspäin suuntautuvan pitkäaaltosäteilyn absorboituvaa osuutta, ilmakehän absorptiokykyä. Oikeanpuoleisessa ensimmäisessä termissä ε on ilmakehän emissiivisyys, Stefan-Boltzmannin lain oikaisu sen huomioon ottamiseksi, että ilmakehä ei ole optisesti paksu. Näin ollen ε:n tehtävänä on sulauttaa tai keskiarvoistaa kaksi säteilyvirtaa ulospäin suuntautuvan säteilyvirran tiheyttä laskettaessa.
Nolla nettosäteilyä, joka poistuu ilmakehän yläosasta, edellyttää:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}}
Pinnalle tuleva nollan nettosäteily edellyttää:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}}
Atmosfäärin energiatasapaino voidaan joko johtaa kahdesta edellä mainitusta tasapainoehdosta tai johtaa itsenäisesti:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Huomaa tärkeä kerroin 2, joka johtuu siitä, että ilmakehä säteilee sekä ylös- että alaspäin.Näin ollen Ta:n ja Ts:n suhde on riippumaton ε:stä:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}={T_{s} \over 1.189}}}
Ta voidaan siis ilmaista Ts:n avulla, ja saadaan ratkaisuTs:lle mallin tuloparametrien avulla:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}\right)\sigma T_{s}^{4}}}
tai
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}
Ratkaisu voidaan ilmaista myös efektiivisen emissiolämpötilan Te avulla, joka on lämpötila, joka luonnehtii lähtevää infrapunavirran tiheyttä F, ikään kuin säteilijä olisi täydellinen säteilijä, joka noudattaa F=σTe4. Tämä on helppo käsitteellistää mallin yhteydessä. Te on myös Ts:n ratkaisu, kun ε=0 eli ei ilmakehää:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
Te:n määritelmällä:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}}
Täydelliselle kasvihuoneelle, jossa pinnalta ei karkaa säteilyä eli ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}}
Käytettäessä edellä määriteltyjä Maalle sopivia parametreja,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
For ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
For ε=0.78,
T s = 288.3 K T a = 242.5 K {\displaystyle T_{s}=288.3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Tämä Ts:n arvo sattuu olemaan lähellä julkaistua 287,2 K:n mittauksiin perustuvaa maapallon keskimääräistä ”pintalämpötilaa”. ε=0,78 merkitsee, että 22 % pintasäteilystä karkaa suoraan avaruuteen, mikä on sopusoinnussa sen väitteen kanssa, jonka mukaan kasvihuoneilmiössä karkaa 15-30 %.
Hiilidioksidin kaksinkertaistumisen säteilypakote on yksinkertaisella parametrisoinnilla 3,71 W m-2. Tämä on myös IPCC:n hyväksymä arvo.F:n yhtälöstä {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\ right)}
Käyttämällä Ts:n ja Ta:n arvoja ε=0.78 saadaan Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2, kun Δε=.019. Näin ollen ε:n muutos 0,78:sta 0,80:een on yhdenmukainen hiilidioksidin kaksinkertaistumisen aiheuttaman säteilypakotteen kanssa. Kun ε=0,80, T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Siten tämä malli ennustaa globaalin lämpenemisen ΔTs = 1,2 K hiilidioksidin kaksinkertaistuessa. GCM:n tyypillinen ennuste on 3 K pinnan lämpeneminen, pääasiassa siksi, että GCM sallii positiivisen takaisinkytkennän, joka johtuu erityisesti vesihöyryn lisääntymisestä. Yksinkertainen korvike tämän takaisinkytkentäprosessin huomioon ottamiselle on esittää lisäkasvua Δε = 0,02, jolloin kokonaismääräksi tulee Δε = 0,04, mikä vastaa likimain vesihöyryn lisääntymisen vaikutusta, joka liittyisi lämpötilan nousuun. Tämä idealisoitu malli ennustaa tällöin hiilidioksidin kaksinkertaistuessa maapallon lämpenemistä ΔTs = 2,4 K, mikä vastaa suurin piirtein IPCC:n arviota.