Matematiikan maailma tarjoaa siis lukuisia numerotyyppejä, joilla kullakin on omat erityisominaisuutensa. Matemaatikot muotoilevat teorioita lukujen ja lukuryhmien välisistä suhteista. He tukevat teorioitaan aksioomilla (aiemmin vahvistetut väittämät, joiden oletetaan olevan totta) ja teoreemoilla (väittämät, jotka perustuvat toisiin teoreemoihin tai aksioomiin).
Ensimmäinen askel uuden, kiiltävän matemaattisen teorian rakentamisessa on kuitenkin teoreettisen kysymyksen esittäminen lukujen suhteista. Voiko esimerkiksi kahden kuution summa olla kuutio? Muistatko edellisen sivun Pythagoraan kolmoset? Nämä kolmen luvun kolmikot, kuten (3, 4, 5), ratkaisevat yhtälön a2 + b2 = c2. Mutta entä a3 + b3 = c3? Matemaatikko Pierre de Fermat esitti saman kysymyksen kuutioista, ja vuonna 1637 hän väitti laatineensa matemaattisen todisteen, joka vaivalloisen logiikan rivi toisensa jälkeen osoitti kiistatta, että ei, kahden kuution summa ei voi olla kuutio. Kutsumme tätä Fermat’n viimeiseksi lauseeksi. Valitettavasti sen sijaan, että Fermat olisi esittänyt muistiinpanoissaan täydellisen todistuksen, hän kirjoitti vain: ”Minulla on todella ihmeellinen osoitus tästä lauseesta, jonka tämä marginaali on liian kapea sisältääkseen.” .
mainos
Seuraavana aikana seurasi yli kolme ja puoli vuosisataa, joiden aikana matemaatikot eri puolilla maailmaa yrittivät turhaan löytää Fermat’n todistuksen uudelleen. Mitä tällä etsinnällä ratsastettiin? Ei mikään, paitsi akateeminen ylpeys ja rakkaus puhtaaseen, abstraktiin matematiikkaan. Sitten vuonna 1993 englantilainen matemaatikko Andrew Wiles onnistui osoittamaan 356 vuotta vanhan lauseen Fermat’n aikaan keksimättömän laskennallisen matematiikan avulla. Asiantuntijat kiistelevät edelleen siitä, oliko Fermat todella laatinut tällaisen ilmiömäisen todistuksen tietokoneiden käyttöä edeltävällä aikakaudellaan vai erehtyikö hän.
Muut numeroteorian kysymykset liittyivät erilaisiin havaittuihin tai teoreettisiin kuvioihin luvuissa tai lukujoukoissa. Kaikki alkaa tuosta älykkään ajattelun keskeisimmästä osa-alueesta: kuvioiden tunnistamisesta. Brownin yliopiston matematiikan professori Joseph H. Silverman esittää viisi numeroteorian perusvaihetta:
- Kerää matemaattista tai abstraktia dataa.
- Tutki dataa ja etsi kuvioita tai suhteita.
- Muotoile arvelu (tyypillisesti yhtälön muodossa), joka selittää nämä kuviot tai suhteet.
- Testaa arvelu lisätiedoilla.
- Suunnittele todiste, joka osoittaa arvelun olevan oikea. Todistuksen tulisi alkaa tunnetuista tosiasioista ja päättyä haluttuun tulokseen.
Fermat’n viimeinen lause oli siis oikeastaan arvaus 356 vuoden ajan, ja siitä tuli oikea lause vasta vuonna 1993. Toiset, kuten Eukleideen todistus äärettömistä alkuluvuista (joka todistaa, että alkulukuja on rajattomasti), on säilynyt vankkana matemaattisen päättelyn mallina vuodesta 300 eKr. Silti muutkin lukuteorian arvelut, niin vanhat kuin uudetkin, ovat edelleen todistamatta.
Luvut ovat yhtä äärettömiä kuin ihmisen ymmärrys on rajallista, joten lukuteoria ja sen eri osa-alueet tulevat jatkossakin kiehtomaan matematiikan ystävien mieliä ikuisuuksia. Vanhat ongelmat saattavat kaatua, mutta uudet ja monimutkaisemmat arvaukset nousevat.
Tutustu seuraavalla sivulla oleviin linkkeihin, joista löydät lisää tietoa matematiikasta.
Mainos