Wellparkin panimo tunnettiin alun perin nimellä Drygate-panimo. Hugh ja Robert Tennent perustivat sen nimellä H & R Tennent vuonna 1740 Drygate Bridgeen, Glasgow’n katedraalin lähelle, vaikka heidän esi-isänsä Robert Tennent oli panostanut samassa paikassa Molendinar Burnin rannalla jo vuodesta 1556 lähtien, mikä teki siitä vanhimman yhtäjaksoisesti toimivan kaupallisen yrityksen Glasgow’ssa.
Hugh Tennentin pojat John ja Robert jatkoivat perheyrityksen toimintaa nimellä J & R Tennent vuodesta 1769. Liiketoiminta laajeni 1790-luvulla, kun Tennentin perhe osti viereisen William McLehosen panimon ja nimesi 5 hehtaarin (20 000 m2) suuruisen alueen Wellparkin panimoksi.
Yritys valmisti alun perin stout-oluita ja vahvoja vientioluita. 1800-luvun puoliväliin mennessä J&R Tennent oli maailman suurin pullotetun oluen viejä. Robert Tennent kuoli vuonna 1826 ja John Tennent vuonna 1827. Hugh Tennent (Robertin vanhin poika) otti sen jälkeen yrityksen haltuunsa. Hugh Tennent jäi eläkkeelle vuonna 1855, ja hänen viides poikansa Charles Tennent otti ohjat käsiinsä, mutta hän kuoli vuonna 1864, joitakin kuukausia ennen isäänsä. Tämän jälkeen panimoa pyörittivät Charles Tennentin poikien Archibaldin ja Hugh Tennentin puolesta toimitsijat.
Vuonna 1884 Hugh Tennent otti yrityksen haltuunsa ja valmisti ensimmäisen kerran Tennent’s lager -olutta vuonna 1885. Myöhemmin hän rakensi Wellparkin alueelle uuden lager-panimon, joka aloitettiin vuonna 1889 ja valmistui vuonna 1891. J&R Tennent valmisti ensimmäisen tynnyrilagerin vuonna 1924, ensimmäisen purkitetun lagerin vuonna 1935 ja ensimmäisen tynnyrilagerin vuonna 1963.
J&R Tennent siirtyi Charrington United Breweriesin omistukseen vuonna 1963, ja vuonna 1966 se fuusioitui virallisesti United Caledonian Breweriesin, Charringtonin toisen skotlantilaisen tytäryhtiön, kanssa muodostaen Tennent Caledonian Breweriesin. Uuden yhtiön panimotoiminta keskittyi Wellparkin panimoon ja Heriot Breweryyn Edinburghissa. Wellpark saneerattiin vuosina 1965-1968, mutta Heriot purettiin 1990-luvulla. Vuonna 1967 Charringtons sulautui Bassin kanssa Bass Charrington Groupiksi. Myöhemmin sen osti kesäkuussa 2000 belgialainen panimoyhtiö Interbrew (nykyisin InBev), josta tuli osa Anheuser-Busch InBeviä vuonna 2008.
C&C Group of Ireland ilmoitti 27. elokuuta 2009 ostavansa panimon ja Tennent’s-brändin AB-InBeviltä. Se sopi myös Beck’sin ja Stella Artoisin Skotlannin ja Irlannin jakeluoikeuksien hankkimisesta osana 180 miljoonan punnan tarjousta.
Toukokuussa 2014 C&C Group ja Williams Bros Brewing Co avasivat paikalla käsityöläispanimoyhteisyrityksen nimeltä Drygate Brewing Co.