La conjecture des nombres premiers jumeaux, également connue sous le nom de conjecture de Polignac, en théorie des nombres, affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, ou de paires de nombres premiers qui diffèrent par 2. Par exemple, 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, et 17 et 19 sont des nombres premiers jumeaux. Lorsque les nombres deviennent plus grands, les nombres premiers deviennent moins fréquents et les nombres premiers jumeaux encore plus rares.
La première déclaration de la conjecture des nombres premiers jumeaux a été donnée en 1846 par le mathématicien français Alphonse de Polignac, qui a écrit que tout nombre pair peut être exprimé de manière infinie comme la différence entre deux nombres premiers consécutifs. Lorsque le nombre pair est 2, il s’agit de la conjecture des nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = ….. (Bien que la conjecture soit parfois appelée conjecture des nombres premiers jumeaux d’Euclide, celui-ci a donné la plus ancienne preuve connue qu’il existe un nombre infini de nombres premiers mais n’a pas conjecturé qu’il existe un nombre infini de nombres premiers jumeaux). Très peu de progrès ont été faits sur cette conjecture jusqu’en 1919, lorsque le mathématicien norvégien Viggo Brun a montré que la somme des réciproques des nombres premiers jumeaux converge vers une somme, maintenant connue sous le nom de constante de Brun. (En 1976, la constante de Brun a été calculée à environ 1,90216054 en utilisant les nombres premiers jumeaux jusqu’à 100 milliards. En 1994, le mathématicien américain Thomas Nicely utilisait un ordinateur personnel équipé de la nouvelle puce Pentium de la société Intel lorsqu’il a découvert un défaut dans la puce qui produisait des résultats incohérents dans ses calculs de la constante de Brun. La publicité négative de la communauté mathématique a conduit Intel à offrir gratuitement des puces de remplacement qui avaient été modifiées pour corriger le problème. En 2010, Nicely a donné une valeur pour la constante de Brun de 1,902160583209 ± 0,000000000781 basée sur tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 2 × 1016.
La prochaine grande percée a eu lieu en 2003, lorsque le mathématicien américain Daniel Goldston et le mathématicien turc Cem Yildirim ont publié un article, « Small Gaps Between Primes », qui établissait l’existence d’un nombre infini de paires de nombres premiers dans une petite différence (16, avec certaines autres hypothèses, notamment celle de la conjecture d’Elliott-Halberstam). Bien que leur preuve soit imparfaite, ils l’ont corrigée avec le mathématicien hongrois János Pintz en 2005. Le mathématicien américain Yitang Zhang s’est appuyé sur leurs travaux pour montrer en 2013 que, sans aucune hypothèse, il existait un nombre infini différant de 70 millions. Cette limite a été améliorée à 246 en 2014, et en supposant soit la conjecture d’Elliott-Halberstam, soit une forme généralisée de cette conjecture, la différence était de 12 et 6, respectivement. Ces techniques peuvent permettre de progresser sur l’hypothèse de Riemann, qui est liée au théorème des nombres premiers (une formule qui donne une approximation du nombre de nombres premiers inférieurs à une valeur donnée). Voir aussi le problème du millénaire.