(J’ai écrit une introduction à l’informatique quantique qui se trouve ici. Si vous êtes tout nouveau dans le domaine, ce sera un meilleur endroit pour commencer.)
Si vous voulez vous lancer dans l’informatique quantique, il n’y a aucun moyen de le contourner : vous devrez maîtriser le concept nébuleux de la porte quantique. Comme tout ce qui concerne l’informatique quantique, sans parler de la mécanique quantique, les portes quantiques sont enveloppées dans un brouillard inconnu de jargon et de mathématiques matricielles qui reflètent le mystère quantique. L’objectif de ce billet est d’éplucher quelques couches de ce mystère. Mais je vous épargne le suspense : personne ne peut s’en débarrasser complètement. Du moins, pas en 2018. Tout ce que nous pouvons faire aujourd’hui est de révéler les similitudes frappantes et les différences alarmantes entre les portes classiques et les portes quantiques, et d’explorer les implications pour l’avenir proche et lointain de l’informatique.
Similitudes frappantes
Si rien d’autre, les portes logiques classiques et les portes logiques quantiques sont toutes deux des portes logiques. Commençons donc par là. Une porte logique, qu’elle soit classique ou quantique, est une structure ou un système physique qui prend un ensemble d’entrées binaires (qu’il s’agisse de 0 et de 1, de pommes et d’oranges, d’électrons de spin-up et d’électrons de spin-down, etc.) et qui produit une sortie binaire unique : un 1, une orange, un électron de spin-up, ou même l’un des deux états de superposition. Ce qui régit la sortie est une fonction booléenne. Cela semble fantaisiste et inquiétant, mais croyez-moi, ce n’est pas le cas. Vous pouvez considérer qu’une fonction booléenne n’est rien d’autre qu’une règle de réponse aux questions Oui/Non. C’est aussi simple que ça. Les portes sont ensuite combinées en circuits, et les circuits en CPU ou autres composants informatiques. Cela est vrai que l’on parle du moteur à différences de Babbage, de l’ENIAC, du champion d’échecs à la retraite Deep Blue, ou du dernier ordinateur quantique qui remplit les salles, fait froid dans le dos et fait la une des journaux.
Différences alarmantes
Les portes classiques fonctionnent sur des bits classiques, tandis que les portes quantiques fonctionnent sur des bits quantiques (qubits). Cela signifie que les portes quantiques peuvent exploiter deux aspects clés de la mécanique quantique qui sont entièrement hors de portée des portes classiques : la superposition et l’intrication. Ce sont les deux concepts dont vous entendrez le plus souvent parler dans le contexte de l’informatique quantique, et voici pourquoi. Mais il existe un concept moins connu qui est peut-être tout aussi important : la réversibilité. En termes simples, les portes quantiques sont réversibles. Vous apprendrez beaucoup de choses sur la réversibilité à mesure que vous avancerez dans l’informatique quantique, et cela vaut donc la peine de s’y attarder. Pour l’instant, vous pouvez y penser de la manière suivante : toutes les portes quantiques sont dotées d’un bouton d’annulation, alors que de nombreuses portes classiques n’en ont pas, du moins pas encore. Cela signifie que, du moins en principe, les portes quantiques ne perdent jamais d’informations. Les qubits qui sont enchevêtrés à l’entrée de la porte quantique le restent à la sortie, conservant leurs informations en toute sécurité pendant la transition. En revanche, la plupart des portes classiques que l’on trouve dans les ordinateurs classiques perdent des informations et ne peuvent donc pas revenir sur leurs pas. Fait intéressant, cette information n’est pas finalement perdue pour l’univers, mais s’infiltre plutôt dans votre chambre ou sur vos genoux sous forme de chaleur dans votre ordinateur classique.
V est pour vecteur
Nous ne pouvons pas parler de portes quantiques sans parler de matrices, et nous ne pouvons pas parler de matrices sans parler de vecteurs. Alors, allons-y. Dans le langage de la mécanique quantique et de l’informatique, les vecteurs sont représentés dans un paquet, certes assez bizarre, appelé un ket, qui vient de la deuxième moitié du mot braket. Et ils ont l’air de l’être. Voici un vecteur ket : |u>, où u représente les valeurs du vecteur. Pour commencer, nous utiliserons deux kets, |0> et |1>, qui représenteront des qubits sous forme d’électrons dans les états spin-up (|0>) et spin-down (|1>). Ces vecteurs peuvent couvrir n’importe quel nombre de chiffres, pour ainsi dire. Mais dans le cas d’un état binaire tel qu’un qubit électronique de spin haut/bas, ils ne sont que deux. Ainsi, au lieu de ressembler à d’imposants vecteurs colonnes, ils ressemblent à des nombres empilés sur deux hauteurs. Voici à quoi ressemble |0>:
/ 1 \
\ 0 /
Maintenant, ce que font les portes/matrices, c’est transformer ces états, ces vecteurs, ces kets, ces colonnes de nombres, en de tout nouveaux états. Par exemple, une porte peut transformer un état haut (|0>) en un état bas (|1>), comme par magie :
/ 1 \ → / 0 \
\ 0 / \ 1 /
M est pour matrice
Cette transformation d’un vecteur en un autre se fait par la magie à peine comprise de la multiplication matricielle, qui est complètement différente du type de multiplication que nous avons tous appris à l’école pré-quantique. Cependant, une fois que vous maîtrisez ce type de mathématiques, c’est extrêmement gratifiant, car vous pouvez l’appliquer encore et encore à d’innombrables équations autrement incompréhensibles qui laissent les non-initiés stupéfaits. Si vous avez besoin d’un peu plus de motivation, rappelez-vous que c’est grâce au langage des mathématiques matricielles qu’Heisenberg a percé les secrets du principe d’incertitude global.
Tout de même, si vous n’êtes pas familier avec cet outil mathématique de type jet-fuel, vos yeux vont se voiler si je commence à remplir ce post avec de grands tableaux carrés de chiffres à ce stade. Et nous ne pouvons pas laisser cela se produire. Attendons donc quelques paragraphes de plus pour les mathématiques et la notation des matrices. Il suffit de dire, pour l’instant, que nous utilisons généralement une matrice pour remplacer une porte quantique. La taille et le facteur de peur de la matrice dépendent du nombre de qubits sur lesquels elle fonctionne. S’il n’y a qu’un seul qubit à transformer, la matrice sera simple et agréable, un tableau de 2 x 2 avec quatre éléments. Mais la taille de la matrice explose avec deux, trois qubits ou plus. C’est parce qu’une équation résolument exponentielle qui vaut la peine d’être mémorisée détermine la taille de la matrice (et donc la sophistication de la porte quantique) :
2^n x 2^n = the total number of matrix elements
Ici, n est le nombre de qubits sur lesquels la porte quantique fonctionne. Comme vous pouvez le voir, ce nombre s’envole au fur et à mesure que le nombre de qubits (n) augmente. Avec un qubit, c’est 4. Avec deux, c’est 16. Avec trois, c’est 64. Avec quatre, c’est… sans espoir. Donc, pour l’instant, je m’en tiens à un qubit, et il a Pauli écrit partout.
Les portes de Pauli
Les portes de Pauli sont nommées d’après Wolfgang Pauli, qui non seulement a un nom cool, mais a réussi à s’immortaliser dans deux des principes les plus connus de la physique moderne : le célèbre principe d’exclusion de Pauli et le redoutable effet Pauli.
Les portes de Pauli sont basées sur les matrices de Pauli plus connues (alias matrices de spin de Pauli) qui sont incroyablement utiles pour calculer les changements du spin d’un seul électron. Puisque le spin de l’électron est la propriété préférée à utiliser pour un qubit dans les portes quantiques actuelles, les matrices et les portes de Pauli sont tout à fait dans nos cordes. Quoi qu’il en soit, il existe essentiellement une porte/matrice de Pauli pour chaque axe de l’espace (X, Y et Z).
Vous pouvez donc imaginer que chacune d’entre elles a le pouvoir de changer la direction du spin d’un électron le long de son axe correspondant dans l’espace 3D. Bien sûr, comme pour tout ce qui concerne le monde quantique, il y a un hic : il ne s’agit pas de notre espace 3D ordinaire, car il comprend une dimension imaginaire. Mais laissons cela de côté pour l’instant, d’accord ?
Mercifulièrement, les portes de Pauli sont juste à peu près les portes quantiques les plus simples que vous allez jamais rencontrer. (Au moins les portes X et Z le sont. La Y est un peu bizarre.) Donc même si vous n’avez jamais vu une matrice dans votre vie, Pauli les rend maniables. Ses portes agissent sur un, et seulement un, qubit à la fois. Cela se traduit par des matrices simples, 2 x 2 avec seulement 4 éléments par pièce.
La Pauli X-gate
La Pauli X-gate est un rêve devenu réalité pour ceux qui ont peur des mathématiques matricielles. Pas de nombres imaginaires. Pas de signes moins. Et une simple opération : la négation. C’est tout naturel, car la Pauli X-gate correspond à une porte NOT classique. Pour cette raison, la porte X est souvent appelée aussi la porte NOT quantique.
Dans un contexte réel, la porte X transforme généralement l’état de spin-up |0> d’un électron en un état de spin-down |1> et vice-versa.
|0> --> |1> OR |1> --> |0>
Un « X » majuscule représente souvent la porte X de Pauli ou la matrice elle-même. Voici à quoi ressemble X:
/ 0 1 \
\ 1 0 /
En termes de notation correcte, l’application d’une porte quantique à un qubit consiste à multiplier un vecteur ket par une matrice. Dans ce cas, nous multiplions le vecteur ket de spin-up |0> par la porte X de Pauli ou matrice X. Voici à quoi ressemble X|0>:
/ 0 1 \ /1\
\ 1 0 / \0/
Notez que vous placez toujours la matrice à gauche du ket. Comme vous l’avez peut-être entendu, la multiplication matricielle, contrairement à la multiplication ordinaire, ne commute pas, ce qui va à l’encontre de tout ce qu’on nous a appris à l’école. C’est comme si 2 x 4 n’était pas toujours égal à 4 x 2. Mais c’est ainsi que fonctionne la multiplication matricielle, et une fois que vous l’aurez maîtrisée, vous comprendrez pourquoi. Pendant ce temps, en gardant à l’esprit le très important ordre des éléments, la notation complète pour appliquer la porte NOT quantique à notre qubit (dans ce cas, l’état de spin-up d’un électron), ressemble à ceci:
X|0> = / 0 1 \ /1\ = /0\ = |1>
\ 1 0 / \0/ \1/
Appliquée à un vecteur de spin-down, la notation complète ressemble à ceci :
X|1> = / 0 1 \ /0\ = /1\ = |0>
\ 1 0 / \1/ \0/
Malgré toute la notation étrangère, dans ces deux cas ce qui se passe réellement ici est qu’un qubit sous la forme d’un électron unique passe à travers une porte quantique et sort de l’autre côté avec son spin complètement inversé.
Les portes de Pauli Y et Z
Je vais vous épargner les mathématiques avec ces deux-là. Mais vous devriez au moins les connaître en passant.
Des trois portes de Pauli, la porte Y de Pauli est la plus fantaisiste. Elle ressemble beaucoup à la porte X, mais avec un i (oui, la racine carrée insensée de -1) à la place du 1 habituel, et un signe négatif en haut à droite. Voici à quoi ressemble la porte Y :
/ 0 -i \
\ i 0 /
La porte Z de Pauli est beaucoup plus facile à suivre. Elle ressemble un peu à une image miroir de la porte X ci-dessus, mais avec un signe négatif ajouté au mélange. Voici à quoi ressemble Z:
/ 1 0 \
\ 0 -1 /
La porte Y et la porte Z changent aussi le spin de notre électron qubit. Mais il faudrait probablement que je me plonge dans les mystères ésotériques de la sphère de Bloch pour vraiment expliquer comment, et j’ai une autre porte à franchir pour le moment…
La porte Hadamard
Alors que les portes de Pauli ressemblent beaucoup aux portes logiques classiques à certains égards, la porte Hadamard, ou porte H, est une véritable bête quantique. Elle apparaît partout dans l’informatique quantique, et pour une bonne raison. La porte Hadamard a la capacité quantique caractéristique de transformer un état quantique défini, comme le spin-up, en un état trouble, comme une superposition de spin-up et de spin-down en même temps.
Une fois que vous envoyez un électron de spin-up ou de spin-down à travers une H-gate, il deviendra comme un penny debout sur son extrémité, avec précisément 50/50 de chances qu’il finisse en tête (spin-up) ou en queue (spin-down) quand il est renversé et mesuré. Cette porte H est extrêmement utile pour effectuer le premier calcul de tout programme quantique, car elle transforme les qubits préétablis, ou initialisés, pour les ramener à leur état fluide naturel afin de tirer parti de leurs pleins pouvoirs quantiques.
Autres portes quantiques
Il existe un certain nombre d’autres portes quantiques que vous ne manquerez pas de rencontrer. Beaucoup d’entre elles fonctionnent sur plusieurs qubits à la fois, ce qui conduit à des matrices 4×4 ou même 8×8 avec des éléments à numérotation complexe. Ces matrices sont assez épineuses si vous n’avez pas déjà de sérieuses compétences en matière de matrices. Je vous épargne donc les détails.
Les principales portes que vous voudrez connaître sont celles que nous avons couvertes montrées dans le graphique ci-dessous :
Vous devez savoir que d’autres portes existent, alors voici une liste rapide de certaines des autres portes quantiques les plus utilisées, juste pour que vous puissiez vous faire une idée du jargon :
- Porte de ToffoliPorte de Fredkin
- Porte de Deutsch
- Porte d’échange (et racine carrée de la porte d’échange)
- Racine carrée de la porte NON
- Porte NON contrôlée (C-NOT) et autres portes contrôlées
Il y en a beaucoup plus. Mais ne vous laissez pas tromper par les chiffres. Tout comme vous pouvez effectuer n’importe quel calcul classique avec une combinaison de portes NOT + OR = NOR ou AND + NOT= NAND, vous pouvez réduire la liste des portes quantiques à un simple ensemble de portes quantiques universelles. Mais nous garderons cet acte pour un autre jour.
Vision du futur à travers la porte quantique
Comme le souligne un récent article de Quanta Magazine, les ordinateurs quantiques de 2018 ne sont pas tout à fait prêts pour le prime time. Avant de pouvoir monter sur le ring avec des ordinateurs classiques dotés de milliards de fois plus de portes logiques, ils devront affronter quelques-uns de leurs propres démons. Le plus mortel est probablement le démon de la décohérence. Actuellement, la décohérence quantique détruira votre calcul quantique en seulement « quelques microsecondes ». Cependant, plus vos portes quantiques exécutent leurs opérations rapidement, plus votre algorithme quantique a de chances de battre le démon de la décohérence jusqu’à la ligne d’arrivée, et plus la course durera longtemps. Outre la vitesse, un autre facteur important est le nombre d’opérations effectuées par les portes quantiques pour effectuer un calcul. C’est ce que l’on appelle la profondeur d’un calcul. Une autre quête actuelle consiste donc à approfondir le terrain de jeu quantique. Selon cette logique, à mesure que l’ordinateur quantique, qui évolue rapidement, devient plus rapide, que ses calculs sont plus profonds et que le compte à rebours jusqu’à la décohérence est plus long, l’ordinateur classique finira par se retrouver face à un formidable challenger, si ce n’est son successeur, dans un avenir (très probablement) pas si lointain.
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