Mouvement de la LuneModifier
Hipparque a également étudié le mouvement de la Lune et confirmé les valeurs précises de deux périodes de son mouvement que les astronomes chaldéens sont largement présumés avoir possédées avant lui, quelle que soit leur origine ultime. La valeur traditionnelle (du système babylonien B) pour le mois synodique moyen est de 29 jours ; 31,50,8,20 (sexagésimal) = 29,5305941… jours. Exprimée en 29 jours + 12 heures + 793/1080 heures, cette valeur a été utilisée plus tard dans le calendrier hébraïque. Les Chaldéens savaient aussi que 251 mois synodiques ≈ 269 mois anomaux. Hipparque a utilisé le multiple de cette période par un facteur 17, car cet intervalle est aussi une période d’éclipse, et est également proche d’un nombre entier d’années (4267 lunes : 4573 périodes anomales : 4630,53 périodes nodales : 4611,98 orbites lunaires : 344,996 années : 344,982 orbites solaires : 126 007,003 jours : 126 351,985 rotations). Ce qui était si exceptionnel et utile dans ce cycle, c’est que toutes les paires d’éclipses de l’intervalle de 345 ans se produisent à un peu plus de 126 007 jours d’intervalle dans une fourchette étroite de seulement ±1⁄2 heure environ, garantissant (après division par 4267) une estimation du mois synodique correcte à une partie par ordre de grandeur de 10 millions. La périodicité de 345 ans est la raison pour laquelle les anciens pouvaient concevoir un mois moyen et le quantifier avec une telle précision qu’il est aujourd’hui encore correct à une fraction de seconde de temps.
Hipparque pouvait confirmer ses calculs en comparant les éclipses de son époque (vraisemblablement le 27 janvier 141 av. J.-C. et le 26 novembre 139 av. J.-C. selon ), avec les éclipses des registres babyloniens 345 ans plus tôt (Almageste IV.2 ; ). Déjà al-Biruni (Qanun VII.2.II) et Copernic (de revolutionibus IV.4) avaient noté que la période de 4 267 lunes est en fait supérieure d’environ 5 minutes à la valeur de la période d’éclipse que Ptolémée attribue à Hipparque. Cependant, les méthodes de chronométrage des Babyloniens comportaient une erreur de pas moins de 8 minutes. Les spécialistes modernes s’accordent à dire qu’Hipparque a arrondi la période de l’éclipse à l’heure la plus proche et l’a utilisée pour confirmer la validité des valeurs traditionnelles, plutôt que d’essayer de dériver une valeur améliorée à partir de ses propres observations. À partir des éphémérides modernes et en tenant compte du changement de la durée du jour (voir ΔT), nous estimons que l’erreur dans la durée supposée du mois synodique était inférieure à 0,2 seconde au IVe siècle avant JC et inférieure à 0,1 seconde à l’époque d’Hipparque.
Orbite de la LuneModifié
On savait depuis longtemps que le mouvement de la Lune n’est pas uniforme : sa vitesse varie. Cela s’appelle son anomalie, et se répète avec une période qui lui est propre ; le mois anomal. Les Chaldéens en tenaient compte arithmétiquement, et utilisaient une table donnant le mouvement quotidien de la Lune en fonction de la date dans une longue période. Les Grecs, eux, préféraient penser en modèles géométriques du ciel. Apollonios de Perga avait à la fin du IIIe siècle avant Jésus-Christ proposé deux modèles pour le mouvement lunaire et planétaire :
- Dans le premier, la Lune se déplacerait uniformément le long d’un cercle, mais la Terre serait excentrée, c’est-à-dire à une certaine distance du centre du cercle. Donc la vitesse angulaire apparente de la Lune (et sa distance) varierait.
- La Lune elle-même se déplacerait uniformément (avec un certain mouvement moyen en anomalie) sur une orbite circulaire secondaire, appelée épicycle, qui elle-même se déplacerait uniformément (avec un certain mouvement moyen en longitude) sur l’orbite circulaire principale autour de la Terre, appelée déférent ; voir déférent et épicycle. Apollonius a démontré que ces deux modèles étaient en fait mathématiquement équivalents. Cependant, tout cela n’était que théorie et n’avait pas été mis en pratique. Hipparque fut le premier astronome que nous connaissons à tenter de déterminer les proportions relatives et les tailles réelles de ces orbites.
Hipparque a conçu une méthode géométrique pour trouver les paramètres à partir de trois positions de la Lune, à des phases particulières de son anomalie. En fait, il l’a fait séparément pour le modèle excentrique et le modèle épicycle. Ptolémée en décrit les détails dans l’Almageste IV.11. Hipparque a utilisé deux séries de trois observations d’éclipses lunaires, qu’il a soigneusement sélectionnées pour satisfaire aux exigences. Le modèle excentrique qu’il a adapté à ces éclipses provient de sa liste d’éclipses babylonienne : 22/23 décembre 383 avant J.-C., 18/19 juin 382 avant J.-C. et 12/13 décembre 382 avant J.-C. Le modèle épicycle qu’il a ajusté à des observations d’éclipses de lune faites à Alexandrie au 22 septembre 201 av. J.-C., au 19 mars 200 av. J.-C. et au 11 septembre 200 av. J.-C..
- Pour le modèle excentrique, Hipparque a trouvé pour le rapport entre le rayon de l’excentrique et la distance entre le centre de l’excentrique et le centre de l’écliptique (c’est-à-dire, l’observateur sur Terre) : 3144 : 327 2⁄3 ;
- et pour le modèle de l’épicycle, le rapport entre le rayon du déférent et l’épicycle : 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
Les chiffres un peu bizarres sont dus à l’unité encombrante qu’il a utilisée dans sa table d’accord selon un groupe d’historiens, qui expliquent l’incapacité de leur reconstruction à s’accorder avec ces quatre chiffres comme étant en partie due à quelques erreurs d’arrondi et de calcul bâclées par Hipparque, pour lesquelles Ptolémée l’a critiqué (il a lui-même fait des erreurs d’arrondi aussi). Une reconstruction alternative plus simple est en accord avec les quatre chiffres. Quoi qu’il en soit, Hipparque a trouvé des résultats incohérents ; il a ensuite utilisé le rapport du modèle épicycle (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), qui est trop petit (60 : 4 ; 45 sexagésimal). Ptolémée a établi un rapport de 60 : 5 1⁄4. (L’écart angulaire maximal que peut produire cette géométrie est l’arc sinus de 5 1⁄4 divisé par 60, soit environ 5° 1′, chiffre qui est donc parfois cité comme l’équivalent de l’équation du centre de la Lune dans le modèle hipparchien.)
Mouvement apparent du SoleilEdit
Avant qu’Hipparque, Meton, Euctemon et leurs élèves à Athènes n’aient fait une observation du solstice (c’est-à-dire, chronométré le moment du solstice d’été) le 27 juin 432 avant J.-C. (calendrier julien proleptique). Aristarque de Samos l’aurait fait en 280 av. J.-C., et Hipparque avait également une observation d’Archimède. Comme le montre un article de 1991, en 158 avant J.-C., Hipparque a calculé un solstice d’été très erroné à partir du calendrier de Callippus. Il a observé le solstice d’été en 146 et 135 avant J.-C., avec une précision de quelques heures dans les deux cas, mais les observations du moment de l’équinoxe étaient plus simples, et il en a fait vingt au cours de sa vie. Ptolémée discute longuement des travaux d’Hipparque sur la durée de l’année dans l’Almageste III.1, et cite de nombreuses observations faites ou utilisées par Hipparque, entre 162 et 128 av. L’analyse des dix-sept observations d’équinoxe faites par Hipparque à Rhodes montre que l’erreur moyenne de déclinaison est de sept minutes d’arc, ce qui correspond presque à la somme de la réfraction de l’air et de la parallaxe de Swerdlow. Le bruit aléatoire est de deux minutes d’arc ou plus près d’une minute d’arc si l’on tient compte de l’arrondi, ce qui correspond à peu près à l’acuité de l’œil. Ptolémée cite une date d’équinoxe d’Hipparque (le 24 mars 146 av. J.-C. à l’aube) qui diffère de 5 heures de l’observation faite sur le grand anneau équatorial public d’Alexandrie le même jour (à 1 heure avant midi) : Hipparque a peut-être visité Alexandrie mais il n’y a pas fait ses observations d’équinoxe ; il était probablement à Rhodes (à presque la même longitude géographique). Ptolémée affirme que ses observations solaires ont été faites sur un instrument de transit réglé sur le méridien.
La récente traduction et analyse experte par Anne Tihon du papyrus P. Fouad 267 A a confirmé la conclusion de 1991 citée ci-dessus selon laquelle Hipparque a obtenu un solstice d’été en 158 av. J.-C. Mais le papyrus donne la date du 26 juin, soit plus d’un jour avant la conclusion de l’article de 1991, soit le 28 juin. Le §M de l’étude précédente a révélé qu’Hipparque n’a pas adopté les solstices du 26 juin avant 146 avant J.-C., lorsqu’il a fondé l’orbite du Soleil que Ptolémée a ensuite adoptée. La concordance de ces données suggère qu’Hipparque a extrapolé le solstice du 26 juin de 158 av. J.-C. à partir de son solstice de 145 ans plus tard, une procédure qui n’entraînerait qu’une erreur minuscule. Le papyrus a également confirmé qu’Hipparque avait utilisé le mouvement solaire callippique en 158 av. J.-C., une nouvelle découverte en 1991 mais qui n’a pas été attestée directement avant P. Fouad 267 A. Une autre table sur le papyrus est peut-être pour le mouvement sidéral et une troisième table est pour le mouvement tropical métonique, utilisant une année inconnue jusqu’alors de 365 1⁄4 – 1⁄309 jours. Celle-ci a vraisemblablement été trouvée en divisant les 274 années de 432 à 158 av. J.-C., dans l’intervalle correspondant de 100077 jours et 14 3⁄4 heures entre le lever du soleil de Méton et le coucher du soleil d’Hipparque.
À la fin de sa carrière, Hipparque a écrit un livre intitulé Peri eniausíou megéthous (« Sur la longueur de l’année ») sur ses résultats. La valeur établie pour l’année tropique, introduite par Callippus au plus tard en 330 av. J.-C., était de 365 1⁄4 jours. L’hypothèse d’une origine babylonienne pour l’année de Callippe est difficile à défendre, puisque Babylone n’observait pas les solstices ; ainsi, la seule longueur d’année du Système B existante était basée sur les solstices grecs (voir ci-dessous). Les observations d’équinoxe d’Hipparque ont donné des résultats variables, mais il souligne lui-même (cité dans l’Almagest III.1(H195)) que les erreurs d’observation par lui-même et ses prédécesseurs ont pu atteindre 1⁄4 jour. Il a utilisé d’anciennes observations du solstice, et a déterminé une différence d’environ un jour sur environ 300 ans. Il a donc fixé la durée de l’année tropicale à 365 1⁄4 – 1⁄300 jours (= 365,24666… jours = 365 jours 5 heures 55 min, ce qui diffère de la valeur réelle (estimation moderne, incluant l’accélération de la rotation terrestre) à son époque d’environ 365,2425 jours, soit une erreur d’environ 6 min par an, une heure par décennie, 10 heures par siècle.
Entre l’observation du solstice de Meton et la sienne, il y a eu 297 années s’étendant sur 108 478 jours. D. Rawlins a noté que cela implique une année tropicale de 365,24579… jours = 365 jours;14,44,51 (sexagésimal ; = 365 jours + 14/60 + 44/602 + 51/603) et que cette longueur exacte d’année a été trouvée sur l’une des rares tablettes d’argile babyloniennes qui spécifie explicitement le mois du système B. C’est une indication que le travail d’Hipparque était connu des Chaldéens.
Une autre valeur pour l’année qui est attribuée à Hipparque (par l’astrologue Vettius Valens au 1er siècle) est 365 + 1/4 + 1/288 jours (= 365,25347… jours = 365 jours 6 heures 5 min), mais cela peut être une corruption d’une autre valeur attribuée à une source babylonienne : 365 + 1/4 + 1/144 jours (= 365.25694… jours = 365 jours 6 heures 10 min). Il n’est pas clair s’il s’agirait d’une valeur pour l’année sidérale (valeur réelle à son époque (estimation moderne) environ 365,2565 jours), mais la différence avec la valeur d’Hipparque pour l’année tropicale est cohérente avec son taux de précession (voir ci-dessous).
Orbite du SoleilEdit
Avant Hipparque, les astronomes savaient que les longueurs des saisons ne sont pas égales. Hipparque a fait des observations de l’équinoxe et du solstice, et selon Ptolémée (Almagest III.4) a déterminé que le printemps (de l’équinoxe de printemps au solstice d’été) durait 94½ jours, et l’été (du solstice d’été à l’équinoxe d’automne) 92 1⁄2 jours. Ceci est incompatible avec un postulat selon lequel le Soleil se déplace autour de la Terre dans un cercle à vitesse uniforme. La solution d’Hipparque consistait à placer la Terre non pas au centre du mouvement du Soleil, mais à une certaine distance du centre. Ce modèle décrivait assez bien le mouvement apparent du Soleil. On sait aujourd’hui que les planètes, y compris la Terre, se déplacent dans des ellipses approximatives autour du Soleil, mais cela n’a pas été découvert avant que Johannes Kepler ne publie ses deux premières lois du mouvement planétaire en 1609. La valeur de l’excentricité attribuée à Hipparque par Ptolémée est que le décalage est de 1⁄24 du rayon de l’orbite (ce qui est un peu trop grand), et la direction de l’apogée serait à la longitude 65,5° de l’équinoxe vernal. Hipparque peut également avoir utilisé d’autres séries d’observations, qui conduiraient à des valeurs différentes. Les longitudes solaires de l’un de ses deux trios d’éclipses sont cohérentes avec le fait qu’il avait initialement adopté des longueurs inexactes pour le printemps et l’été de 95 3⁄4 et 91 1⁄4 jours. Son autre triplet de positions solaires est cohérent avec 94 1⁄4 et 92 1⁄2 jours, une amélioration des résultats (94 1⁄2 et 92 1⁄2 jours) attribués à Hipparque par Ptolémée, dont quelques érudits contestent encore la paternité. Ptolémée ne fit aucun changement trois siècles plus tard, et exprima des longueurs pour les saisons d’automne et d’hiver qui étaient déjà implicites (comme le montre, par exemple, A. Aaboe).
Distance, parallaxe, taille de la Lune et du SoleilEditer
Hipparque a également entrepris de trouver les distances et les tailles du Soleil et de la Lune. Ses résultats apparaissent dans deux ouvrages : Perí megethōn kaí apostēmátōn (« Sur les tailles et les distances ») de Pappus et dans le commentaire de Pappus sur l’Almageste V.11 ; Théon de Smyrne (IIe siècle) mentionne l’ouvrage en ajoutant « du Soleil et de la Lune ».
Hipparque mesura les diamètres apparents du Soleil et de la Lune avec sa dioptrie. Comme d’autres avant et après lui, il a constaté que la taille de la Lune varie en fonction de son déplacement sur son orbite (excentrique), mais il n’a pas trouvé de variation perceptible du diamètre apparent du Soleil. Il a constaté qu’à la distance moyenne de la Lune, le Soleil et la Lune avaient le même diamètre apparent ; à cette distance, le diamètre de la Lune rentre 650 fois dans le cercle, c’est-à-dire, les diamètres apparents moyens sont de 360⁄650 = 0°33′14″.
Comme d’autres avant et après lui, il a aussi remarqué que la Lune a une parallaxe notable, c’est-à-dire qu’elle apparaît décalée par rapport à sa position calculée (par rapport au Soleil ou aux étoiles), et que la différence est plus grande quand on se rapproche de l’horizon. Il savait que cela était dû au fait que, dans les modèles de l’époque, la Lune tourne autour du centre de la Terre, mais que l’observateur se trouve à la surface – la Lune, la Terre et l’observateur forment un triangle avec un angle aigu qui change tout le temps. À partir de la taille de cette parallaxe, on peut déterminer la distance de la Lune, mesurée en rayons terrestres. Pour le Soleil cependant, il n’y avait pas de parallaxe observable (nous savons maintenant qu’elle est d’environ 8,8″, plusieurs fois plus petite que la résolution de l’œil non aidé).
Dans le premier livre, Hipparque suppose que la parallaxe du Soleil est 0, comme s’il était à une distance infinie. Il analyse ensuite une éclipse de Soleil, que Toomer (contre l’avis de plus d’un siècle d’astronomes) présume être l’éclipse du 14 mars 190 avant JC. Elle fut totale dans la région de l’Hellespont (et dans sa ville natale, Nicée) ; À l’époque, selon Toomer, les Romains se préparaient à la guerre avec Antiochus III dans la région, et l’éclipse est mentionnée par Tite-Live dans son Ab Urbe Condita Libri VIII.2. L’éclipse est mentionnée par Tite-Live dans son Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Elle a également été observée à Alexandrie, où l’on rapporte que le Soleil était obscurci aux 4/5e par la Lune. Alexandrie et Nicée sont sur le même méridien. Alexandrie est à environ 31° Nord, et la région de l’Hellespont à environ 40° Nord. (On a prétendu que des auteurs comme Strabon et Ptolémée avaient des valeurs assez décentes pour ces positions géographiques, et qu’Hipparque devait donc les connaître aussi. Cependant, les latitudes dépendantes d’Hipparque pour cette région, selon Strabon, sont au moins 1° trop élevées, et Ptolémée semble les copier, plaçant Byzance 2° plus haut en latitude). Hipparque a pu dessiner un triangle formé par les deux lieux et la Lune, et à partir d’une géométrie simple a pu établir une distance de la Lune, exprimée en rayons terrestres. L’éclipse ayant eu lieu le matin, la Lune n’était pas dans le méridien, et il a été proposé qu’en conséquence la distance trouvée par Hipparque était une limite inférieure. Quoi qu’il en soit, selon Pappus, Hipparque a trouvé que la distance la plus faible est de 71 (à partir de cette éclipse), et la plus grande de 81 rayons terrestres.
Dans le deuxième livre, Hipparque part de l’hypothèse extrême opposée : il attribue au Soleil une distance (minimale) de 490 rayons terrestres. Cela correspondrait à une parallaxe de 7′, qui est apparemment la plus grande parallaxe dont Hipparque pensait qu’elle ne serait pas remarquée (pour comparaison : la résolution typique de l’œil humain est d’environ 2′ ; Tycho Brahe a fait des observations à l’œil nu avec une précision allant jusqu’à 1′). Dans ce cas, l’ombre de la Terre est un cône et non un cylindre comme dans la première hypothèse. Hipparque a observé (lors des éclipses de Lune) qu’à la distance moyenne de la Lune, le diamètre du cône d’ombre est de 2 1⁄2 diamètres lunaires. Ce diamètre apparent est, comme il l’avait observé, de 360⁄650 degrés. Avec ces valeurs et une géométrie simple, Hipparque a pu déterminer la distance moyenne ; comme elle a été calculée pour une distance minimale du Soleil, elle est la distance moyenne maximale possible pour la Lune. Avec sa valeur pour l’excentricité de l’orbite, il a pu calculer la distance minimale et la distance maximale de la Lune. Selon Pappus, il a trouvé une distance minimale de 62, une moyenne de 67 1⁄3, et par conséquent une distance maximale de 72 2⁄3 rayons terrestres. Avec cette méthode, comme la parallaxe du Soleil diminue (c’est-à-dire que sa distance augmente), la limite minimale de la distance moyenne est de 59 rayons terrestres – exactement la distance moyenne que Ptolémée a dérivée plus tard.
Hipparque avait donc le résultat problématique que sa distance minimale (du livre 1) était plus grande que sa distance moyenne maximale (du livre 2). Il était intellectuellement honnête au sujet de cette divergence, et s’est probablement rendu compte que surtout la première méthode est très sensible à la précision des observations et des paramètres. (En fait, les calculs modernes montrent que la taille de l’éclipse solaire de 189 av. J.-C. à Alexandrie devait être plus proche de 9⁄10èmes et non des 4⁄5èmes rapportés, une fraction correspondant plus étroitement au degré de totalité à Alexandrie des éclipses survenues en 310 et 129 av. J.-C. qui étaient également presque totales dans l’Hellespont et sont considérées par beaucoup comme des possibilités plus probables pour l’éclipse utilisée par Hipparque pour ses calculs.)
Ptolémée a plus tard mesuré directement la parallaxe lunaire (Almagest V.13.), et a utilisé la deuxième méthode d’Hipparque avec les éclipses lunaires pour calculer la distance du Soleil (Almageste V.15). Il reproche à Hipparque de faire des hypothèses contradictoires et d’obtenir des résultats contradictoires (Almageste V.11), mais il n’a apparemment pas compris la stratégie d’Hipparque qui consiste à établir des limites cohérentes avec les observations, plutôt qu’une valeur unique pour la distance. Ses résultats étaient les meilleurs jusqu’à présent : la distance moyenne réelle de la Lune est de 60,3 rayons terrestres, dans ses limites du deuxième livre d’Hipparque.
Théon de Smyrne a écrit que selon Hipparque, le Soleil est 1 880 fois la taille de la Terre, et la Terre vingt-sept fois la taille de la Lune ; apparemment, cela fait référence aux volumes, et non aux diamètres. De la géométrie du livre 2, il résulte que le Soleil est à 2 550 rayons terrestres, et la distance moyenne de la Lune est de 60 1⁄2 rayons. De même, Cleomedes cite Hipparque pour les tailles du Soleil et de la Terre comme étant de 1050:1 ; cela conduit à une distance lunaire moyenne de 61 rayons. Apparemment, Hipparque a plus tard affiné ses calculs, et a dérivé des valeurs uniques précises qu’il pouvait utiliser pour les prédictions des éclipses solaires.
Voir pour une discussion plus détaillée.
EclipsesEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) nous dit qu’Hipparque a démontré que les éclipses lunaires peuvent se produire à cinq mois d’intervalle, et les éclipses solaires à sept mois (au lieu des six mois habituels) ; et que le Soleil peut être caché deux fois en trente jours, mais comme vu par des nations différentes. Ptolémée en parle longuement un siècle plus tard dans l’Almageste VI.6. La géométrie, et les limites des positions du Soleil et de la Lune lorsqu’une éclipse solaire ou lunaire est possible, sont expliquées dans l’Almageste VI.5. Hipparque a apparemment fait des calculs similaires. Le résultat selon lequel deux éclipses de Soleil peuvent se produire à un mois d’intervalle est important, car il ne peut être basé sur des observations : l’une est visible sur l’hémisphère nord et l’autre sur l’hémisphère sud – comme l’indique Pline – et ce dernier était inaccessible au Grec.
La prédiction d’une éclipse de Soleil, c’est-à-dire le moment et le lieu exacts où elle sera visible, nécessite une solide théorie lunaire et un traitement approprié de la parallaxe lunaire. Hipparque a dû être le premier à être capable de le faire. Un traitement rigoureux nécessite la trigonométrie sphérique, donc ceux qui restent certains qu’Hipparque ne l’avait pas, doivent spéculer qu’il a pu se contenter d’approximations planes. Il a peut-être discuté de ces choses dans Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (« Sur le mouvement mensuel de la Lune en latitude »), un ouvrage mentionné dans le Suda.
Pliny remarque également qu' »il a également découvert pour quelle raison exacte, bien que l’ombre provoquant l’éclipse doive à partir du lever du soleil être en dessous de la terre, il est arrivé une fois dans le passé que la Lune soit éclipsée à l’ouest alors que les deux luminaires étaient visibles au-dessus de la terre » (traduction H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Selon Toomer (1980), il doit s’agir de la grande éclipse lunaire totale du 26 novembre 139 avant J.-C., lorsque, sur un horizon marin dégagé, vu de Rhodes, la Lune s’est éclipsée au nord-ouest juste après le lever du Soleil au sud-est. Il s’agirait de la deuxième éclipse de l’intervalle de 345 ans qu’Hipparque a utilisé pour vérifier les périodes babyloniennes traditionnelles : cela place une date tardive au développement de la théorie lunaire d’Hipparque. Nous ne savons pas quelle » raison exacte » Hipparque a trouvé pour voir la Lune éclipsée alors qu’elle n’était apparemment pas en opposition exacte avec le Soleil. La parallaxe abaisse l’altitude des luminaires ; la réfraction les élève, et d’un point de vue élevé, l’horizon est abaissé.